Головне значення інтеграла за Коші

Головне́ зна́чення інтегра́ла за Коші́ — це узагальнення поняття інтеграла Рімана, яке дозволяє обчислювати деякі розбіжні невласні інтеграли. Ідея головного значення інтеграла за Коші полягає в тому, що при наближенні інтервалів інтегрування до особливої точки з обох боків «з однаковою швидкістю» особливості нівелюють одна одну (за рахунок різних знаків ліворуч та праворуч), і в результаті можна отримати скінченну границю, яка і називається головним значенням інтегралу за Коші.

Так, наприклад, інтеграл як невласний інтеграл ІІ роду не існує, однак він існує в сенсі головного значення інтеграла за Коші.

Означення головного значення інтеграла за Коші

Означення (для особливої точки «∞»)

Означення (для особливої точки «∞»). Нехай f(x) визначена на (−∞, +∞) та f ∈ R([−A, A]) для всіх A > 0, але невласний інтеграл І роду є розбіжним. Якщо існує скінченна границя

то ця границя називається головним значенням інтеграла за Коші (або головним значенням в сенсі Коші) для функції f по проміжку (−∞, +∞) і позначається символом

При цьому кажуть, що функція f(x) інтегрована на (−∞, +∞) за Коші (або інтегрована на (−∞, +∞) в сенсі Коші).

Приклад. Розглянемо невласний інтеграл Цей інтеграл є розбіжним, бо розбіжним є, наприклад, інтеграл але існує головне значення даного інтеграла в сенсі Коші:

Теорема.}

• Якщо f(x) — непарна на (−∞, +∞) та f ∈ R([−A, A]) для всіх A > 0, то f інтегровна на (−∞, +∞) за Коші.
• Якщо f(x) — парна на (−∞, +∞) та f ∈ R([−A, A]) для всіх A > 0, то збіжність інтеграла еквівалентна збіжності інтеграла

Означення (для скінченної особливої точки)

Значення площ фігур ліворуч та праворуч рівні при всіх ε ∈ (0, 2), тому головне значення інтеграла за Коші дорівнює нулю

Означення (для скінченної особливої точки). Нехай функція f : [a, b] → R задовольняє умовам:

1. існує δ > 0 таке, що f ∈ R([a, c − ε]) та f ∈ R([c + ε, b]) для всіх ε ∈ (0, δ);
2. розбіжним є невласний інтеграл другого роду

Якщо існує скінченна границя

то ця границя називається головним значенням інтеграла за Коші (або головним значенням в сенсі Коші) для функції f по відрізку [a, b] і позначається символом

При цьому кажуть, що функція f(x) інтегрована на [a, b] за Коші (або інтегрована на [a, b] в сенсі Коші).

Приклад. Розглянемо невласний інтеграл ІІ роду (див. Рис.) Він є розбіжним, оскільки розбіжним є, наприклад, інтеграл При цьому у розумінні головного значення за Коші даний інтеграл існує і дорівнює нулю:

Випадок декількох особливих точок на проміжку інтегрування

Сума площ фігур верхньої півплощини збігається з сумою площ фігур нижньої півплощини при всіх ε ∈ (0, 1), тому головне значення інтеграла в сенсі Коші дорівнює нулю

Приклад. Розглянемо невласний інтеграл (див. Рис.). Особливими точками підінтегральної функції f(x) = 2x / (x²−1) є точки −1, 1 та ∞. Даний інтеграл є розбіжним, бо розбіжним є, наприклад, інтеграл

Очевидно, що f ∈ R([1/ε, −1−ε]) ∩ R([−1+ε, 1−ε]) ∩ R([1+ε, 1/ε]) для всіх ε ∈ (0, 1) (бо є обмеженою на кожному з цих відрізків). Перевіримо інтегровність функції f в сенсі Коші:

Отже, функція f є інтегровною в сенсі Коші на проміжку (−∞, +∞).

Див. також

• Портал «Математика»

• Невизначений інтеграл функції комплексної змінної
• Первісна
• Інтегральне числення
  • Визначений інтеграл
    • Інтеграл Рімана
    • Інтеграл Стілтьєса (або інтеграл Рімана—Стілтьєса)
    • Інтеграл Лебега
    • Інтеграл Даніелла
    • Інтеграл Бохнера
    • Невласний інтеграл
• Метод Самокиша — чисельний метод для обчислення інтегралів з особливостями.

Джерела

• Дороговцев А. Я. Математический анализ. — Київ, Вища школа, 1985.