Невласний інтеграл

Невла́сний інтегра́л, невласти́вий інтегра́л — розширення поняття інтеграла Рімана. В інтегралі Рімана розглядають

• скінченний проміжок інтегрування [a, b];
• підінтегральна функція f(x) — обмежена (необхідна умова інтегровності функції за Ріманом).

Невласний інтеграл I (першого) роду розглядається на нескінченному проміжку інтегрування (і обчислюється як границя послідовності інтегралів Рімана по скінченних проміжках, які «розширюються»), а невласний інтеграл II (другого) роду — це інтеграл з необмеженою підінтегровною функцією (обчислюється як границя послідовності інтегралів Рімана по інтервалах, які наближаються до особливої точки підінтегральної функції, де ця функція прямує до нескінченності).

Подальшим узагальненням інтеграла Рімана є поняття головного значення інтеграла за Коші.

Невласний інтеграл першого роду («нескінченний інтервал»)

Означення

Невласний інтеграл першого роду є площею нескінченно широкої криволінійної трапеції

Нехай a ∈ R. Невласний інтеграл першого роду визначається на одному з таких нескінченних інтервалів:

1. (a, +∞);
2. (−∞, a);
3. (-∞, +∞).

Означення для інтервалу (a, +∞)

Означення. Нехай функція f : (a, +∞) → R така, що ∀ A > a : f ∈ R([a, A]), тобто є скінченним інтеграл Рімана

Якщо існує скінченна границя послідовності інтегралів F(A), коли A → +∞, то

• значення цієї границі називають невласним інтегралом першого роду для функції f по інтервалу (a, +∞) і позначають символом

• невласний інтеграл називають збіжним.

Якщо ж виконуються умови означення, але границя F(A) не існує або рівна ±∞, то кажуть, що невласний інтеграл першого роду для функції f розбігається (або є розбіжним).

Аналогічно можна дати означення невласного інтеграла першого роду для інтервалу (−∞, a).

Приклад. Розглянемо інтеграл

Для довільного A > 0 функція f(x) = 1/x ∉ R([-1, A]) (бо є необмеженою в околі точки 0). Отже, даний інтеграл не є невласним інтегралом першого роду.

Приклад. Розглянемо інтеграл

Для всіх A > 0 функція f(x) = 1/(1+x²) ∈ R([0, A]) як обмежена функція. Отже, даний інтеграл є невласним інтегралом першого роду. Дослідимо його збіжність:

Отже, даний невласний інтеграл є збіжним, і його значення дорівнює π/2.

Приклад. Розглянемо інтеграл

Для всіх A > 1 функція f(x) = 1/x ∈ R([1, A]) як обмежена функція. Отже, даний інтеграл є невласним інтегралом першого роду. Дослідимо його збіжність:

Отже, даний невласний інтеграл є розбіжним.

Приклад. Розглянемо інтеграл

Для всіх A > 0 функція f(x) = cos x ∈ R([0, A]) як обмежена функція. Отже, даний інтеграл є невласним інтегралом першого роду. Дослідимо його збіжність:

Оскільки не існує границі sin A при A → +∞, то даний невласний інтеграл є розбіжним.

Означення для інтервалу (−∞, +∞)

Означення. Нехай функція f : (−∞, +∞) → R така, що ∀ A, B ∈ R, A < B : f ∈ R([A, B]), тобто є скінченним інтеграл Рімана

Якщо існує скінченна подвійна границя послідовності інтегралів F(A, B), коли A → −∞ та B → +∞ незалежно одне від одного, то

• значення цієї границі називають невласним інтегралом першого роду для функції f по інтервалу (−∞, +∞) і позначають одним із символів

• невласний інтеграл називають збіжним.

Якщо ж виконується умова означення, але границя F(A, B) не існує або рівна ±∞, то кажуть, що невласний інтеграл першого роду для функції f розбігається (або є розбіжним).

Властивості

• збігається ⇔ ∀a ∈ R інтеграли є збіжними;

• розбігається ⇔ ∃a ∈ R таке, що хоча б один із інтегралів

є розбіжним.

Критерій Коші збіжності невласного інтеграла першого роду

Нехай функція f(x) задовольняє умові означення для інтервалу (a, +∞).

Невласний інтеграл збігається тоді і лише тоді, коли

Аналогічно можна сформулювати критерій Коші збіжності невласного інтеграла першого роду по інтервалу (−∞, a).

Ознаки порівняння збіжності невласних інтегралів першого роду

Нехай функція f(x) задовольняє умові означення для інтервалу (a, +∞).

• Якщо існує функція g(x) така, що
  1. |f(x)| ≤ g(x) для всіх x ≥ a та
  2. ∫_a^+∞g(x) dx збігається,

то ∫_a^+∞f(x) dx теж збігається.

• Якщо існує функція g(x) така, що
  1. 0 ≤ g(x) ≤ |f(x)| для всіх x ≥ a та
  2. ∫_a^+∞g(x) dx розбігається,

то ∫_a^+∞f(x) dx теж розбігається.

У випадку, коли f(x) — невід'ємна, ознаки порівняння можна схематично записати у вигляді:

 f(x) ≤ g(x) зб. ⇐ зб. розб. ⇒ розб. 

Аналогічні твердження мають місце для невласних інтегралів по інтервалам (−∞, a) та (−∞, +∞).

Абсолютна збіжність

Означення. Невласний інтеграл називається абсолютно збіжним, якщо збіжним є невласний інтеграл

Означення. Збіжний невласний інтеграл, який не є абсолютно збіжним, називається умовно збіжним.

Теорема. Якщо невласний інтеграл збігається абсолютно, то він збігається.

Ознаки збіжності

Ознака Діріхле

Нехай для функцій {f, g} ⊂ C([a, +∞)) виконуються умови:

1. існує стала C ∈ R така, що для всіх A ≥ a:
2. функція g монотонна на [a, +∞);
3. g(x) → 0 при x → +∞.

Тоді збіжним буде невласний інтеграл

Приклад. Розглянемо інтеграл Діріхле

Цей інтеграл є збіжним за ознакою Діріхле: функції f(x) = sin x та g(x) = 1/x є неперервними на [1, +∞) та задовольняють умовам 1—3 ознаки Діріхле.

Ознака Абеля

Нехай функції f, g визначені на [a, +∞) та задовольняють умовам:

1. збіжним є невласний інтеграл
2. функція g монотонна на [a, +∞);
3. функція g — обмежена на [a, +∞).

Тоді збіжним буде невласний інтеграл

Невласний інтеграл другого роду («від необмеженої функції»)

Невласний інтеграл другого роду є площею нескінченно високої криволінійної трапеції

Невласний інтеграл другого роду є узагальненням інтеграла Рімана для випадку необмеженої функції.

Нехай функція f(x) визначена та неперервна на інтервалі [a, b).

Означення. Точка b називається особливою точкою функції f(x), якщо

• для всіх α ∈ (0, b − a) функція f є обмеженою на інтервалі [a, b − α);
• функція f — необмежена на інтервалі [a, b).

Розглянемо функцію

Означення. Нехай виконуються умови:

1. функція f(x) визначена та неперервна на інтервалі [a, b);
2. точка b — особлива точка функції f(x);
3. існує скінченна границя F(α) при α → 0.

Тоді

• значення цієї границі називають невласним інтегралом другого роду і позначають символом

• кажуть, що цей невласний інтеграл збігається (або є збіжним).

Якщо виконуються умови 1—2 означення, але границя F(α) не існує або дорівнює ±∞, то такий невласний інтеграл розбігається (називається розбіжним).

Зауваження. У випадку, коли функція f(x) має скінченну кількість особливих точок на проміжку інтегрування, то інтеграл розбивають на суму інтегралів по інтервалам, в кожному з яких присутня лише одна особлива точка на одному з кінців інтегрування.

Зв'язок між невласними інтегралами І та ІІ родів

Нижче наведено відображення, які пов'язують інтервали скінченної на нескінченної довжин:

 x заміна змінної t I [a, +∞) → x = a/(1−t) → [0, 1) II [a, b) → x = b − (b−a)/(1−t) → [0, +∞) 

У невласному інтегралі першого роду виконаємо заміну змінних згідно рядку I:

в результаті чого отримаємо інтеграл по скінченному проміжку [0, 1] від необмеженої функції, тобто невласний інтеграл другого роду.

І навпаки, виконавши заміну в невласному інтегралі другого роду згідно рядку ІІ

отримаємо невласний інтеграл першого роду по нескінченному проміжку [0, +∞).

Зауваження. Зв'язок між невласними інтегралами І та ІІ родів дозволяє звести питання про збіжність невласного інтеграла ІІ роду до питання про збіжність невласного інтеграла І роду, а саме: невласний інтеграл ІІ роду збігається тоді і лише тоді, коли збігається відповідний невласний інтеграл І роду.

Інтеграл від необмеженої функції по нескінченному проміжку

Розглянемо інтеграл

в якому підінтегральна функція f(x) має скінченну кількість особливих точок p₁ < p₂ < … < p_n всередині проміжку інтегрування. Щоб обчислити даний інтеграл, потрібно скористатися рівністю

В правій частині цієї рівності перший інтеграл — це інтеграл по скінченному проміжку інтегрування зі скінченною кількістю полюсів (див. Зауваження в розділі Невласний інтеграл другого роду («від необмеженої функції»)), а другий інтеграл — це невласний інтеграл першого роду (якщо f(x) задовольняє умові означення для інтервалу (a, +∞)). ).

Гамма-функція та бета-функція

Виділяють особливий клас функцій, які представлені у вигляді власного або невласного інтеграла, який залежить не тільки від формальної змінної, а і від параметра. Такі функції називаються інтегралами, залежними від параметра. До їх числа відносяться гамма-функція та бета-функція Ейлера.

Гамма функція представляється невласним інтегралом першого роду:

Бета функція є невласним інтегралом другого роду:

Див. також

• Портал «Математика»

• Невизначений інтеграл функції комплексної змінної
• Первісна
• Інтегральне числення
  • Визначений інтеграл
    • Інтеграл Рімана
    • Інтеграл Стілтьєса
    • Інтеграл Лебега
    • Інтеграл Даніелла
    • Інтеграл Бохнера
    • Головне значення інтеграла за Коші
• Метод Самокиша — чисельний метод для обчислення інтегралів з особливостями.

Примітки

1. Розглянемо дві послідовності A_k = 2πk та A´_k = π/2 + 2πk, k ≥ 1,. Маємо sin A_k → 0, a sin A´_k → 1 при k → +∞.

Джерела

• Дороговцев А. Я. Математический анализ. — Київ, Вища школа, 1985.
• Невласні інтеграли // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 453. — 594 с.