Періоди́чна фу́нкція ― функція, яка повторює свої значення через деякий ненульовий період, тобто не змінює свого значення при додаванні до аргумента фіксованого ненульового числа (періоду).
Означення
Нехай — абелева група (зазвичай вважається, що — дійсні числа з операцією додавання або — комплексні числа). Функція називається періодичною з пері́одом , якщо виконується
Якщо ця рівність не виконується для всіх , то функція називається аперіоди́чною.
Якщо для функції існують два періоди , відношення яких не рівне дійсному числу, тобто є , то називається двоперіоди́чною фу́нкцією. В цьому випадку значення на всій площині визначаються значеннями в паралелограмі, натягнутому на .
Примітка
Період функції визначається неоднозначно. Так, якщо — період, то і довільний елемент вигляду , де — довільне натуральне число, теж є періодом.
Але якщо серед множини періодів є найменше значення, то воно називається головним (або основним) періодом функції.
Дії над періодичними функціями
Виконуються наступні твердження стосовно суми періодичних функцій:
- Сума двох функцій зі співрозмірними (тобто, такими, що їх відношення є раціональним числом) періодами і є функцією з основним періодом НСК.
- Сума двох функцій із неспіврозмірними періодами є неперіодичною функцією.
- Не існує періодичних функцій, не рівних константі, у яких періодами є неспіврозмірні числа.
Приклади
- Функція рівна константі є періодичною, і довільне дійсне число є її періодом. Головного періоду вона не має.
- Функція є аперіодичною.
Див. також
Посилання
- Функція періодична // Універсальний словник-енциклопедія. — 4-те вид. — К. : Тека, 2006.
- Вирченко Н. А., Ляшко И. И., Швецов К. И. Графики функций : справочник. — К. : Наукова думка, 1979. — С. 18—20.(рос.)
- Періодичні функції на MathWorld [ 26 лютого 2020 у Wayback Machine.]
| Ця стаття потребує додаткових посилань на джерела для поліпшення її перевірності. (лютий 2016) |
| Це незавершена стаття з математики. Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її. |