www.wikidata.uk-ua.nina.az

Система рівнянь набір двох і більше рівнянь заданих функціями багатьох змінних які повинні задовольнятися одночасно Сист

Система рівнянь

Система рівнянь — набір двох і більше рівнянь, заданих функціями багатьох змінних, які повинні задовольнятися одночасно. Систему рівнянь можна записати в загальному вигляді:

Розв'язком системи рівнянь називається набір чисел , які задовольняють усім рівнянням, тобто при підстановці їх у рівняння всі рівності перетворюються в тотожності.

Система рівнянь може мати або не мати розв'язків. Цих розв'язків може бути один, кілька або нескінченно багато. Нестрого, для визначення значень N змінних потрібно мати принаймні N рівнянь.

Система лінійних рівнянь, яка має хоч один розв'язок, називається сумісною. Якщо система не має розв'язків, то вона називається несумісною.

Якщо сумісна система має лише один розв'язок, то її називають визначеною; в іншому випадку сумісну систему називають невизначеною.

Дві системи називаються рівносильними або еквівалентними, якщо вони мають одну і ту ж множину розв'язків.

Розв'язування системи рівнянь

У найпростішому випадку системи лінійних рівнянь методи розв'язку добре розроблені, а от для системи нелінійних рівнянь загальних підходів не існує. Кожна система особлива й потребує особливого аналізу. Метод підстановки й вилучення полягає в тому, щоб вибрати одне з рівнянь, виразити одну змінну в ньому через інші змінні й підставити цей вираз в інші рівняння. При цьому кількість рівнянь зменшиться. Продовжуючи цю процедуру, можна звести систему рівнянь до одного рівняння. Втім, така процедура не завжди можлива, оскільки не для кожного рівняння можна знайти аналітичний розв'язок. Ситуація ускладнюється ще й тим, що розв'язки окремих рівнянь можуть бути неоднозначні.

Іноді допомагає ітераційний метод. Для його застосування потрібно переписати систему рівнянь у формі задачі про нерухому точку. Це можна зробити різними способами, і від вдалого вибору залежить збіжність ітераційного процесу. Недоліком методу є те, що ним можна знайти тільки один розв'язок. Якщо система має кілька розв'язків, то кожна нерухома точка має свій басейн притягання, тобто знайдений розв'язок залежить від вибору початкової точки.

Деяке програмне забезпечення, що базується на інтервальних обчисленнях, зокрема безкоштовний , здатне знаходити усі розв'язки системи рівнянь у заданому регіоні lbi <= xi <= ubi

Логіка

Нехай та функції однієї змінної зі спільною областю визначення і спільною множиною прибуття (областю значень). Одномісний предикат заданий на множині , називається рівнянням з однією невідомою і позначається множина називається областю допустимих значень невідомого . Кожний елемент для якого , називається рішенням (коренем) рівняння. Тобто сукупність усіх рішень рівняння є множина істинності предиката. Якщо множина істинності предиката пуста (), то рівняння не має рішень в . Якщо множина істинності предиката дорівнює , то рівняння є тотожною рівністю на .

Нехай дані двохарні предикати та множини істинності цих рівнянь нескінченні. В якості та можна вважати, наприклад, чисельності популяцій кроликів і корів відповідно. Щоб знайти значення та , необхідно розглянути кон'юнкцію цих предикатів: У школі цю кон'юнкцію записують у вигляді і називають системою рівнянь. Взагалі, системою рівнянь та називають кон'юнкцію цих рівнянь, або, що те саме, Множина істиності кон'юнкції двох предикатів є перетином множин істинності самих предикатів. Точно так само множина рішень системи рівнянь є перетином множин істинності рівняння та . Геометрично цю множину можна віднайти наступним чином: намалювати графіки рівнянь та й знайти точки їх перетину. Координати цих точок і будуть шуканими значеннями та .

У випадку більшої кількості змінних доводиться мати справу із поліедрами, коли будь-який опуклий -вимірний багатогранник із точністю до афінної еквівалентності може бути реалізований як перетин

-вимірної площини й невід'ємного ортанту де дорівнює числу гіперграней Опуклим -вимірним поліедром називається фігура у евклідовому просторі задана скінченною системою лінійних нерівностей

і яка не міститься у жодній гіперплощині. Обмежений опуклий поліедр називається опуклим багатогранником. Іншими словами, нехай - невироджений поліедр, заданий виділеною системою лінійних нерівностей у Тоді віднайдеться така -вимірна площина що поліедр є афінно еквівалентним поліедру Лінійне відображення

задає афінну еквівалентність поліедрів та Подіедр називається ортантним, якщо існує така (-вимірна) площина що тобто із точністю до афінної еквівалентності може бути реалізований як перетин -вимірної площини й невід'ємного ортанту де дорівнює числу гіперграней

Приклади
  • Розглянемо нерівність з областю допустимих значень в . Ця нерівність рівносильна системі:

Знайдемо область допустимих значень невідомого :

Відповідь:

  • Рівняння з ОДЗ в рішень немає, оскільки значення предикату при будь-якому є брехливе висловлювання. Якщо розглянути рівняння з ОДЗ в , то множина його рішень не пуста:

Кільця

Вивчення алгебричних рівнянь - застаріла математична наука. У нові часи мода й зручність диктують звернення до кілець. Нехай дана система рівнянь

де

Тут - незалежні змінні, а - множини індексів, - многочлени з кільця У кільці знаходяться коефіцієнти і воно називається кільцем констант. Про систему говорять, що вона визначена над Таким чином, система рівнянь складається з наступних об'єктів

  • кільця констант ;
  • "невідомих" ;
  • многочленів ("ліві частини").

Рішенням системи є набір елементів кільця такий, що для всіх

Див. також

Примітки

  1. Системи лінійних рівнянь. pirus.org (укр.). Процитовано 22 травня 2018. 
  2. Николай А. Печенкин - Ортантные полиэдры. 
  3. Ю.И.Манин - Введение в теорию схем и квантовые группы. 

Посилання

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Sistema rivnyan nabir dvoh i bilshe rivnyan zadanih funkciyami bagatoh zminnih yaki povinni zadovolnyatisya odnochasno Sistemu rivnyan mozhna zapisati v zagalnomu viglyadi F 1 x 1 x 2 x M 0 F 2 x 1 x 2 x M 0 F N x 1 x 2 x M 0 displaystyle begin cases F 1 x 1 x 2 ldots x M 0 F 2 x 1 x 2 ldots x M 0 ldots F N x 1 x 2 ldots x M 0 end cases Rozv yazkom sistemi rivnyan nazivayetsya nabir chisel x 1 x 2 x M displaystyle x 1 x 2 ldots x M yaki zadovolnyayut usim rivnyannyam tobto pri pidstanovci yih u rivnyannya vsi rivnosti peretvoryuyutsya v totozhnosti Sistema rivnyan mozhe mati abo ne mati rozv yazkiv Cih rozv yazkiv mozhe buti odin kilka abo neskinchenno bagato Nestrogo dlya viznachennya znachen N zminnih potribno mati prinajmni N rivnyan Sistema linijnih rivnyan yaka maye hoch odin rozv yazok nazivayetsya sumisnoyu Yaksho sistema ne maye rozv yazkiv to vona nazivayetsya nesumisnoyu Yaksho sumisna sistema maye lishe odin rozv yazok to yiyi nazivayut viznachenoyu v inshomu vipadku sumisnu sistemu nazivayut neviznachenoyu Dvi sistemi nazivayutsya rivnosilnimi abo ekvivalentnimi yaksho voni mayut odnu i tu zh mnozhinu rozv yazkiv 1 Zmist 1 Rozv yazuvannya sistemi rivnyan 2 Logika 2 1 Prikladi 3 Kilcya 4 Div takozh 5 Primitki 6 PosilannyaRozv yazuvannya sistemi rivnyan RedaguvatiU najprostishomu vipadku sistemi linijnih rivnyan metodi rozv yazku dobre rozrobleni a ot dlya sistemi nelinijnih rivnyan zagalnih pidhodiv ne isnuye Kozhna sistema osobliva j potrebuye osoblivogo analizu Metod pidstanovki j viluchennya polyagaye v tomu shob vibrati odne z rivnyan viraziti odnu zminnu v nomu cherez inshi zminni j pidstaviti cej viraz v inshi rivnyannya Pri comu kilkist rivnyan zmenshitsya Prodovzhuyuchi cyu proceduru mozhna zvesti sistemu rivnyan do odnogo rivnyannya Vtim taka procedura ne zavzhdi mozhliva oskilki ne dlya kozhnogo rivnyannya mozhna znajti analitichnij rozv yazok Situaciya uskladnyuyetsya she j tim sho rozv yazki okremih rivnyan mozhut buti neodnoznachni Inodi dopomagaye iteracijnij metod Dlya jogo zastosuvannya potribno perepisati sistemu rivnyan u formi zadachi pro neruhomu tochku Ce mozhna zrobiti riznimi sposobami i vid vdalogo viboru zalezhit zbizhnist iteracijnogo procesu Nedolikom metodu ye te sho nim mozhna znajti tilki odin rozv yazok Yaksho sistema maye kilka rozv yazkiv to kozhna neruhoma tochka maye svij basejn prityagannya tobto znajdenij rozv yazok zalezhit vid viboru pochatkovoyi tochki Deyake programne zabezpechennya sho bazuyetsya na intervalnih obchislennyah zokrema bezkoshtovnij interalg zdatne znahoditi usi rozv yazki sistemi rivnyan u zadanomu regioni lbi lt xi lt ubiLogika RedaguvatiNehaj f X Y displaystyle varphi X rightarrow Y ta ps X Y displaystyle psi X rightarrow Y funkciyi odniyeyi zminnoyi zi spilnoyu oblastyu viznachennya X X i spilnoyu mnozhinoyu pributtya Y Y oblastyu znachen Odnomisnij predikat x d f f x ps x displaystyle wp x underset df equiv varphi x psi x zadanij na mnozhini X X nazivayetsya rivnyannyam z odniyeyu nevidomoyu x x i poznachayetsya f x ps x displaystyle varphi x psi x mnozhina X X nazivayetsya oblastyu dopustimih znachen nevidomogo x x Kozhnij element x X displaystyle x in X dlya yakogo x t r u e displaystyle wp x equiv true nazivayetsya rishennyam korenem rivnyannya Tobto sukupnist usih rishen rivnyannya ye mnozhina istinnosti displaystyle wp predikata Yaksho mnozhina istinnosti predikata pusta varnothing to rivnyannya ne maye rishen v X X Yaksho mnozhina istinnosti predikata dorivnyuye X X to rivnyannya ye totozhnoyu rivnistyu na X X Nehaj dani dvoharni predikati x y 19 displaystyle x y 19 ta 2 x 4 y 62 displaystyle 2x 4y 62 mnozhini istinnosti cih rivnyan neskinchenni V yakosti x x ta y y mozhna vvazhati napriklad chiselnosti populyacij krolikiv i koriv vidpovidno Shob znajti znachennya x x ta y y neobhidno rozglyanuti kon yunkciyu cih predikativ x y 19 2 x 4 y 62 displaystyle x y 19 land 2x 4y 62 U shkoli cyu kon yunkciyu zapisuyut u viglyadi x y 19 2 x 4 y 62 displaystyle begin cases x y 19 2x 4y 62 end cases i nazivayut sistemoyu rivnyan Vzagali sistemoyu rivnyan f x y 0 displaystyle f x y 0 ta F x y 0 displaystyle F x y 0 nazivayut kon yunkciyu cih rivnyan f x y 0 F x y 0 displaystyle f x y 0 land F x y 0 abo sho te same f x y 0 F x y 0 displaystyle begin cases f x y 0 F x y 0 end cases Mnozhina istinosti kon yunkciyi dvoh predikativ ye peretinom mnozhin istinnosti samih predikativ Tochno tak samo mnozhina rishen sistemi rivnyan ye peretinom mnozhin istinnosti rivnyannya f x y 0 displaystyle f x y 0 ta F x y 0 displaystyle F x y 0 Geometrichno cyu mnozhinu mozhna vidnajti nastupnim chinom namalyuvati grafiki rivnyan f x y 0 displaystyle f x y 0 ta F x y 0 displaystyle F x y 0 j znajti tochki yih peretinu Koordinati cih tochok i budut shukanimi znachennyami x x ta y y U vipadku bilshoyi kilkosti zminnih dovoditsya mati spravu iz poliedrami koli bud yakij opuklij n n vimirnij bagatogrannik P P iz tochnistyu do afinnoyi ekvivalentnosti mozhe buti realizovanij yak peretinP a R 0 m R m displaystyle P alpha cap mathbb R geq 0 m subset mathbb R m k k vimirnoyi ploshini a alpha j nevid yemnogo ortantu R 0 m displaystyle mathbb R geq 0 m de m m dorivnyuye chislu gipergranej P displaystyle P Opuklim n n vimirnim poliedrom nazivayetsya figura P P u evklidovomu prostori R n displaystyle mathbb R n zadana skinchennoyu sistemoyu linijnih nerivnostej a 11 x 1 a 1 n x n b 1 a m 1 x 1 a m n x n b m displaystyle begin cases a 11 x 1 a 1n x n geq b 1 a m1 x 1 a mn x n geq b m end cases i yaka ne mistitsya u zhodnij giperploshini Obmezhenij opuklij poliedr nazivayetsya opuklim bagatogrannikom Inshimi slovami nehaj P P o l n m displaystyle P in mathrm Pol n m nevirodzhenij poliedr zadanij vidilenoyu sistemoyu linijnih nerivnostej u R n displaystyle mathbb R n Todi vidnajdetsya taka n n vimirna ploshina a R m displaystyle alpha subset mathbb R m sho poliedr Q a R 0 m displaystyle Q alpha cap mathbb R geq 0 m ye afinno ekvivalentnim poliedru P displaystyle P Linijne vidobrazhennya ϕ R n R m displaystyle phi mathbb R n to mathbb R m x 1 x n a 11 x 1 a 1 n x n b 1 a m 1 x 1 a m n x n b m displaystyle x 1 x n mapsto a 11 x 1 a 1n x n b 1 a m1 x 1 a mn x n b m zadaye afinnu ekvivalentnist poliedriv P P ta I m ϕ R 0 m displaystyle mathrm Im phi cap mathbb R geq 0 m Podiedr P P o l n m displaystyle P in mathrm Pol n m nazivayetsya ortantnim yaksho isnuye taka n n vimirna ploshina a R m displaystyle alpha subset mathbb R m sho P a R 0 m displaystyle P cong alpha cap mathbb R geq 0 m tobto P P iz tochnistyu do afinnoyi ekvivalentnosti mozhe buti realizovanij yak peretin k k vimirnoyi ploshini a alpha j nevid yemnogo ortantu R 0 m displaystyle mathbb R geq 0 m de m m dorivnyuye chislu gipergranej P displaystyle P 2 Prikladi Redaguvati Rozglyanemo nerivnist l o g 20 x l o g 20 x 1 l o g 20 2 x 6 displaystyle log 20 x log 20 x 1 leq log 20 2x 6 z oblastyu dopustimih znachen v R R Cya nerivnist rivnosilna sistemi x gt 0 x 1 gt 0 2 x 6 gt 0 log 20 x x 1 log 20 2 x 6 displaystyle begin cases x gt 0 x 1 gt 0 2x 6 gt 0 log 20 x x 1 leq log 20 2x 6 end cases Znajdemo oblast dopustimih znachen nevidomogo x x x gt 0 x x 1 2 x 6 displaystyle begin cases x gt 0 x x 1 leq 2x 6 end cases x gt 0 x 2 x 6 0 displaystyle begin cases x gt 0 x 2 x 6 leq 0 end cases x gt 0 x 3 x 2 0 displaystyle begin cases x gt 0 x 3 x 2 leq 0 end cases Vidpovid 0 3 displaystyle 0 3 Rivnyannya x 2 x 1 displaystyle x 2 x 1 z ODZ v R R rishen nemaye oskilki znachennya predikatu x d f x 2 x 1 displaystyle wp x underset df equiv x 2 x 1 pri bud yakomu x R displaystyle x in R ye brehlive vislovlyuvannya Yaksho rozglyanuti rivnyannya x 2 x 1 displaystyle x 2 x 1 z ODZ v C C to mnozhina M M jogo rishen ne pusta M 0 5 1 i 3 0 5 1 i 3 displaystyle M 0 5 1 i sqrt 3 quad 0 5 1 i sqrt 3 Kilcya RedaguvatiVivchennya algebrichnih rivnyan zastarila matematichna nauka U novi chasi moda j zruchnist diktuyut zvernennya do kilec Nehaj dana sistema rivnyan X displaystyle X F i T 0 displaystyle F i T 0 quad de i I T T j j J displaystyle i in I quad T T j j in J Tut T T j displaystyle T T j nezalezhni zminni a I J displaystyle I J mnozhini indeksiv F i displaystyle F i mnogochleni z kilcya K T displaystyle K T U kilci K K znahodyatsya koeficiyenti i vono nazivayetsya kilcem konstant Pro sistemu X X govoryat sho vona viznachena nad K displaystyle K Takim chinom sistema rivnyan skladayetsya z nastupnih ob yektiv kilcya konstant K K nevidomih T T mnogochleniv F i displaystyle F i livi chastini Rishennyam sistemi ye nabir elementiv t t j j J displaystyle t t j j in J kilcya K K takij sho F i t 0 displaystyle F i t 0 dlya vsih i I displaystyle i in I 3 Div takozh RedaguvatiAlgebrichna geometriya Algebrichnij mnogovid Shema Teorema pro morfizmi shemPrimitki Redaguvati Sistemi linijnih rivnyan pirus org ukr Procitovano 22 travnya 2018 Nikolaj A Pechenkin Ortantnye poliedry Yu I Manin Vvedenie v teoriyu shem i kvantovye gruppy Posilannya RedaguvatiSistema rivnyan Universalnij slovnik enciklopediya 4 te vid K Teka 2006 N V Durov Topologicheskie realizacii algebraicheskih mnogoobrazij Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Sistema rivnyan amp oldid 33947775