www.wikidata.uk-ua.nina.az

Асимптотичний розклад функції f x формальний функціональний ряд такий що сума довільної скінченної кількості членів цьог

Асимптотичний розклад

Асимптотичний розклад функції f(x) — формальний функціональний ряд такий, що сума довільної скінченної кількості членів цього ряду апроксимує функцію f(x) в околі деякої (можливо нескінченно віддаленої) її граничної точки. Поняття асимптотичного розкладу функції і асимптотичного ряду були введені Анрі Пуанкаре при розвязуванні задач небесної механіки. Окремі випадки асимптотичного розкладу були відкриті і застосовувалися ще в 18 ст. Асимптотичні розклади і ряди відіграють важливу роль в різних задачах математики, механіки і фізики.

Визначення Редагувати

Нехай функції задовольняють властивість: для деякої граничної точки L області визначення функції f(x). Послідовність функцій , що задовольняє вказані умови називається асимптотичною послідовністю. Ряд: для якого виконуються умови

чи еквівалентно:

називається асимптотичним розкладом функції f(x) або її асимптотичним рядом.

Цей факт позначається:

Асимптотичний розклад Ердеї Редагувати

Більш загально визначається асимптотичний розклад Ердеї. Ряд називається асимптотичним розкладом Ердеї функції f(x), якщо існує така асимптотична послідовність ,що

Цей факт позначається:

Такий узагальнений розклад має багато спільних властивостей із звичайним асимптотичним розкладом проте теорія такий розкладів не є добре вивченою і багато з них є малокорисними для числових обчислень, що спричинило невелике їх використання.

Приклади Редагувати

  • Прикладом асимптотичного розкладу Ердеї, що не є звичайним розкладом є:

Примітки Редагувати

  1. Roderick Wong. Asymptotic approximations of integrals. Academic Press, London, 1989 ст. 13

Література Редагувати

  • Українська радянська енциклопедія : у 12 т. / гол. ред. М. П. Бажан ; редкол.: О. К. Антонов та ін. — 2-ге вид. — К. : Головна редакція УРЕ, 1974–1985.
  • Вступ до асимптотичних методів: Інтеграли та ряди : конспект лекцій / О. В. Барабаш. – К. : Київський ун-т, 2010. – 111 с.
  • Математическая энциклопедия / Под ред. И. М. Виноградова. — М. : Советская энциклопедия, 1979. — Т. 2. — 1103 с.
  • Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. — М. : Мир, 1968. — 464 с.
  • Риекстыньш Э. Я. Асимптотические разложения интегралов. — Rīga : Zinātne, 1974-1981. — 390+463+369 с.
  • Уиттекер Э., Ватсон Дж. Курс современного анализа. — М. : ГИФМЛ, 1963. — 344+516 с.
  • Харди Г. Расходящиеся ряды. — М. : ИЛ, 1951. — 504 с.
  • Эрдейи А. Асимптотические разложения. — М. : ГИФМЛ, 1962. — 128 с.
  • Bleistein N., Handlesman R. Asymptotic Expansions of Integrals. — N. Y. : Dover, 1975.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Asimptotichnij rozklad funkciyi f x formalnij funkcionalnij ryad takij sho suma dovilnoyi skinchennoyi kilkosti chleniv cogo ryadu aproksimuye funkciyu f x v okoli deyakoyi mozhlivo neskinchenno viddalenoyi yiyi granichnoyi tochki Ponyattya asimptotichnogo rozkladu funkciyi i asimptotichnogo ryadu buli vvedeni Anri Puankare pri rozvyazuvanni zadach nebesnoyi mehaniki Okremi vipadki asimptotichnogo rozkladu buli vidkriti i zastosovuvalisya she v 18 st Asimptotichni rozkladi i ryadi vidigrayut vazhlivu rol v riznih zadachah matematiki mehaniki i fiziki Zmist 1 Viznachennya 1 1 Asimptotichnij rozklad Erdeyi 2 Prikladi 3 Primitki 4 LiteraturaViznachennya RedaguvatiNehaj funkciyi f n displaystyle varphi n nbsp zadovolnyayut vlastivist f n 1 x o f n x x L n N displaystyle varphi n 1 x o varphi n x x rightarrow L quad forall n in mathbb N nbsp dlya deyakoyi granichnoyi tochki L oblasti viznachennya funkciyi f x Poslidovnist funkcij f n displaystyle varphi n nbsp sho zadovolnyaye vkazani umovi nazivayetsya asimptotichnoyu poslidovnistyu Ryad n 0 a n f n x displaystyle sum n 0 infty a n varphi n x nbsp dlya yakogo vikonuyutsya umovi f x n 0 N 1 a n f n x O f N x x L displaystyle f x sum n 0 N 1 a n varphi n x O varphi N x x rightarrow L nbsp chi ekvivalentno f x n 0 N 1 a n f n x o f N 1 x x L displaystyle f x sum n 0 N 1 a n varphi n x o varphi N 1 x x rightarrow L nbsp nazivayetsya asimptotichnim rozkladom funkciyi f x abo yiyi asimptotichnim ryadom Cej fakt poznachayetsya f x n 0 a n f n x x L displaystyle f x sim sum n 0 infty a n varphi n x x rightarrow L nbsp Asimptotichnij rozklad Erdeyi Redaguvati Bilsh zagalno viznachayetsya asimptotichnij rozklad Erdeyi Ryad n 0 a n f n x displaystyle sum n 0 infty a n varphi n x nbsp nazivayetsya asimptotichnim rozkladom Erdeyi funkciyi f x yaksho isnuye taka asimptotichna poslidovnist ps n displaystyle psi n nbsp sho f x n 0 N a n f n x o ps N x x L displaystyle f x sum n 0 N a n varphi n x o psi N x x rightarrow L nbsp Cej fakt poznachayetsya f x n 0 a n f n x x L ps n x displaystyle f x sim sum n 0 infty a n varphi n x x rightarrow L quad psi n x nbsp Takij uzagalnenij rozklad maye bagato spilnih vlastivostej iz zvichajnim asimptotichnim rozkladom prote teoriya takij rozkladiv ne ye dobre vivchenoyu i bagato z nih ye malokorisnimi dlya chislovih obchislen sho sprichinilo nevelike yih vikoristannya Prikladi RedaguvatiGamma funkciyae x x x 2 p x G x 1 1 1 12 x 1 288 x 2 139 51840 x 3 x displaystyle frac e x x x sqrt 2 pi x Gamma x 1 sim 1 frac 1 12x frac 1 288x 2 frac 139 51840x 3 cdots x rightarrow infty nbsp dd Integralna pokaznikova funkciyax e x E 1 x n 0 1 n n x n x displaystyle xe x E 1 x sim sum n 0 infty frac 1 n n x n x rightarrow infty nbsp dd Dzeta funkciya Rimanaz s n 1 N 1 n s N 1 s s 1 N s m 1 B 2 m s 2 m 1 2 m N 2 m 1 displaystyle zeta s sim sum n 1 N 1 n s frac N 1 s s 1 N s sum m 1 infty frac B 2m s overline 2m 1 2m N 2m 1 nbsp de B 2 m displaystyle B 2m nbsp chisla Bernulli i s 2 m 1 s s 1 s 2 s 2 m 2 displaystyle s overline 2m 1 s s 1 s 2 cdots s 2m 2 nbsp Cej rozklad spravedlivij dlya vsih kompleksnih s dd Funkciya pomilokp x e x 2 e r f c x 1 n 1 1 n 2 n n 2 x 2 n displaystyle sqrt pi xe x 2 rm erfc x sim 1 sum n 1 infty 1 n frac 2n n 2x 2n nbsp dd Prikladom asimptotichnogo rozkladu Erdeyi sho ne ye zvichajnim rozkladom ye 1 sin x x n 0 n e n 1 x 2 n log x n x log x n displaystyle frac sin x x sim sum n 0 infty frac n e n 1 x 2n log x n quad x rightarrow infty log x n nbsp dd Primitki Redaguvati Roderick Wong Asymptotic approximations of integrals Academic Press London 1989 st 13Literatura RedaguvatiUkrayinska radyanska enciklopediya u 12 t gol red M P Bazhan redkol O K Antonov ta in 2 ge vid K Golovna redakciya URE 1974 1985 Vstup do asimptotichnih metodiv Integrali ta ryadi konspekt lekcij O V Barabash K Kiyivskij un t 2010 111 s Matematicheskaya enciklopediya Pod red I M Vinogradova M Sovetskaya enciklopediya 1979 T 2 1103 s Vazov V Asimptoticheskie razlozheniya reshenij obyknovennyh differencialnyh uravnenij M Mir 1968 464 s Riekstynsh E Ya Asimptoticheskie razlozheniya integralov Riga Zinatne 1974 1981 390 463 369 s Uitteker E Vatson Dzh Kurs sovremennogo analiza M GIFML 1963 344 516 s Hardi G Rashodyashiesya ryady M IL 1951 504 s Erdeji A Asimptoticheskie razlozheniya M GIFML 1962 128 s Bleistein N Handlesman R Asymptotic Expansions of Integrals N Y Dover 1975 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Asimptotichnij rozklad amp oldid 29765141