Фо́рмула суму́вання А́беля, яку ввів норвезький математик Нільс Генрік Абель, часто застосовується в теорії чисел для оцінення сум скінченних і нескінченних рядів.
Формула
Нехай — послідовність дійсних або комплексних чисел і — неперервно диференційовна на промені функція. Тоді
де
В загальному випадку, якщо є неперервно диференційовною на то
Якщо часткові суми ряду обмежені, а , то граничним переходом можна отримати таку рівність
Приклади
Стала Ейлера — Маскероні
Для і легко бачити, що тоді
переносячи в ліву частину логарифм і переходячи до границі, отримуємо вираз для сталої Ейлера — Маскероні:
- , де — дробова частина число .
Подання дзета-функції Рімана
Для і аналогічно тоді
Цю формулу можна використовувати для визначення дзета-функції в області оскільки в цьому випадку інтеграл збігається абсолютно. Крім того, з неї випливає, що має простий полюс із лишком 1 у точці s = 1.
Сумування Ейлера — Маклорена
У загальному випадку, якщо є неперервно диференційовною на і всі (тоді також ) то:
Для доведення останньої рівності використано інтегрування частинами.
Рівність
називається формулою сумування Ейлера — Маклорена. Якщо є цілими числами, то вона є найпростішим випадком формул Ейлера — Маклорена. Дана формула часто використовується у аналітичній теорії чисел. Зокрема приклади вище є частковими випадками цієї формули.
Інший важливий приклад застосування можна отримати, якщо взяти і Тоді
Перший доданок у правій частині є рівним а два інші є Отже остаточно:
Посилання
- (1976), Introduction to Analytic Number Theory, , Springer-Verlag
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Fo rmula sumu vannya A belya yaku vviv norvezkij matematik Nils Genrik Abel chasto zastosovuyetsya v teoriyi chisel dlya ocinennya sum skinchennih i neskinchennih ryadiv FormulaNehaj a n displaystyle a n poslidovnist dijsnih abo kompleksnih chisel i f x displaystyle f x neperervno diferencijovna na promeni 1 x displaystyle 1 x funkciya Todi 1 n x a n f n A x f x 1 x A u f u d u displaystyle sum 1 leqslant n leqslant x a n f n A x f x int 1 x A u f u mathrm d u de A x 0 lt n x a n displaystyle A x sum 0 lt n leqslant x a n V zagalnomu vipadku yaksho f x displaystyle f x ye neperervno diferencijovnoyu na x y displaystyle x y to x lt n y a n f n A y f y A x f x x y A u f u d u displaystyle sum x lt n leqslant y a n f n A y f y A x f x int x y A u f u mathrm d u Yaksho chastkovi sumi ryadu a n displaystyle a n obmezheni a lim x f x 0 displaystyle lim limits x to infty f x 0 to granichnim perehodom mozhna otrimati taku rivnist n 1 a n f n 1 A u f u d u displaystyle sum n 1 infty a n f n int limits 1 infty A u f u mathrm d u DovedennyaPodamo obidvi chastini rivnosti yak funkciyi vid x displaystyle x Po pershe zauvazhimo sho z x 1 displaystyle x 1 rivnist istinna integral peretvoryuyetsya v nul Po druge za necilih x displaystyle x obidvi chastini mozhna prodiferenciyuvati otrimavshi pravilnu rivnist Nareshti pri cilomu x displaystyle x liva chastina maye stribok a x f x displaystyle a x f x takij samij stribok maye funkciya A x f x displaystyle A x f x a integral neperervnij tobto maye stribok rivnij nulyu Takim chinom formulu dovedeno dlya vsih x 1 displaystyle x geq 1 PrikladiStala Ejlera Maskeroni Dokladnishe Stala Ejlera Maskeroni Dlya a n 1 displaystyle a n 1 i f x 1 x displaystyle f x frac 1 x legko bachiti sho A x x displaystyle A x lfloor x rfloor todi n 1 x 1 n x x 1 x u u 2 d u x x l n x 1 x u u 2 d u displaystyle sum n 1 x frac 1 n frac lfloor x rfloor x int 1 x frac lfloor u rfloor u 2 mathrm d u frac lfloor x rfloor x mathrm ln x int 1 x frac u u 2 mathrm d u perenosyachi v livu chastinu logarifm i perehodyachi do granici otrimuyemo viraz dlya staloyi Ejlera Maskeroni g 1 1 u u 2 d u displaystyle gamma 1 int limits 1 infty frac u u 2 du de t displaystyle left t right drobova chastina chislo t displaystyle t Podannya dzeta funkciyi Rimana Div takozh Dzeta funkciya Rimana Dlya a n 1 displaystyle a n 1 i f x 1 x s displaystyle f x frac 1 x s analogichno A x x displaystyle A x lfloor x rfloor todi 1 1 n s s 1 u u 1 s d u s 1 u u 1 s d u 1 u u 1 s d u 1 1 s 1 s 1 u u 1 s d u displaystyle sum 1 infty frac 1 n s s int 1 infty frac lfloor u rfloor u 1 s mathrm d u s left int 1 infty frac u u 1 s mathrm d u int 1 infty frac u u 1 s mathrm d u right 1 frac 1 s 1 s int 1 infty frac u u 1 s mathrm d u Cyu formulu mozhna vikoristovuvati dlya viznachennya dzeta funkciyi v oblasti ℜ s gt 0 displaystyle Re s gt 0 oskilki v comu vipadku integral zbigayetsya absolyutno Krim togo z neyi viplivaye sho z s displaystyle zeta s maye prostij polyus iz lishkom 1 u tochci s 1 Sumuvannya Ejlera Maklorena U zagalnomu vipadku yaksho f x displaystyle f x ye neperervno diferencijovnoyu na x y displaystyle x y i vsi a n 1 displaystyle a n 1 todi takozh A x x displaystyle A x lfloor x rfloor to x lt n y f n f y y f x x x y u f u d u f y y y f x x x x y u u f u d u f x x f y y x y u f u d u f y y f x x x y u f u f x x f y y x y u f u d u x y f u displaystyle begin aligned sum x lt n leqslant y f n amp f y lfloor y rfloor f x lfloor x rfloor int x y lfloor u rfloor f u mathrm d u amp f y y y f x x x int x y u u f u mathrm d u amp f x x f y y int x y u f u mathrm d u f y y f x x int x y uf u amp f x x f y y int x y u f u mathrm d u int x y f u end aligned Dlya dovedennya ostannoyi rivnosti vikoristano integruvannya chastinami Rivnist x lt n y f n f x x f y y x y u f u d u x y f u d u displaystyle sum x lt n leqslant y f n f x x f y y int x y u f u mathrm d u int x y f u mathrm d u nazivayetsya formuloyu sumuvannya Ejlera Maklorena Yaksho x y displaystyle x y ye cilimi chislami to vona ye najprostishim vipadkom formul Ejlera Maklorena Dana formula chasto vikoristovuyetsya u analitichnij teoriyi chisel Zokrema prikladi vishe ye chastkovimi vipadkami ciyeyi formuli Inshij vazhlivij priklad zastosuvannya mozhna otrimati yaksho vzyati x 1 displaystyle x 1 i f u ln u displaystyle f u ln u Todi n y ln n 1 y ln u d u 1 y u u d u y ln y displaystyle sum n leqslant y ln n int 1 y ln u mathrm d u int 1 y frac u u mathrm d u y ln y Pershij dodanok u pravij chastini ye rivnim y ln y y displaystyle y ln y y a dva inshi ye O ln y displaystyle O ln y Otzhe ostatochno n y ln n y ln y y O ln y displaystyle sum n leqslant y ln n y ln y y O ln y Posilannya 1976 Introduction to Analytic Number Theory Springer Verlag