www.wikidata.uk-ua.nina.az

Проєктивно розширена числова пряма множина дійсних чисел R displaystyle mathbb R доповнена однією точкою званою нескінче

Проєктивно розширена числова пряма

Проєктивно розширена числова пряма — множина дійсних чисел , доповнена однією точкою, званою нескінченністю (проєктивною нескінченністю, беззнаковою нескінченністю, двосторонньою нескінченністю, нескінченно віддаленою точкою).

Візулізація проєктивно розширеної числової прямої у вигляді кола.

Нескінченно віддалену точку інтуїтивно можна розуміти як ототожнені додатну і від'ємну нескінченності. Це можна наочно продемонструвати, зобразивши множину дійсних чисел не на прямий, а на колі з однією виколотою точкою. Тоді нескінченність буде відповідати цій самій виколотій точці.

Проєктивно розширена числова пряма розширює числову пряму аналогічно тому, як розширена комплексна площина розширює комплексну площину.

Попри те, що термін розширена числова пряма зазвичай застосовують до множини дійсних чисел з двома знаковими нескінченностями, іноді його вживають і до проєктивно розширеної числової прямої. Тому для підкреслення їх відмінності числову пряму, доповнену двома нескінченностями, іноді називають афінно розширеною числовою прямою.

Проєктивно розширену числову пряму різні автори позначають як , , . У цій статті використано позначення . Проєктивну нескінченність позначають як , . Перше позначення також іноді використовують для позначення плюс нескінченності, але в цій статті його використано тільки стосовно проєктивної нескінченності.

Порядок Редагувати

На немає жодного природного лінійного порядку, оскільки немає ніякого природного способу визначити, більша нескінченність від деякого числа чи менша. Однак на визначено циклічний порядок. Його можна уявити як напрямок руху по колу від 0 до ∞ проходячи через 1. Тобто якщо вони йдуть одне за одним під час руху вздовж кола в тому ж напрямку, в якому йдуть одне за одним 0, 1 і ∞. Таким чином, під час руху по цьому порядку від 0 ми проходимо за зростанням усі додатні числа, потім нескінченність, потім усі від'ємні, а потім знову 0.

Формально цей порядок визначається такими співвідношеннями:

Тут все .

Циклічний порядок визначає на інтервали як множини вигляду (окремо визначаються інтервали вигляду ). У звичайних позначеннях це можна переписати так:

Інтервалом у називається або множина вигляду , або для деяких .

Відрізком у називається або множина вигляду , або , або , або для деяких .

Напівінтервалом у називається або множина вигляду , або , або , або , або , або , або , або для деяких .

Іноді для таких проміжків використовують звичайні позначення , які розуміються в зазначеному вище сенсі. Тобто , , , , . За таких позначень (з лівого боку рівності у визначеному вище сенсі, з правого — в звичайному) , . Запис визначається як .

Топологія Редагувати

Циклічний порядок на визначає топологію: відкритою вважається множина, подавана у вигляді об'єднання інтервалів (інтервали розуміються у визначеному вище сенсі). Ця топологія є ніщо інше, як об'єднання відкритих множин з околами нескінченності.

ε-околом ∞ називається множина . Будь-який окіл нескінченності містить деякий ε-окіл нескінченності.

Проколотим ε-околом ∞ називається множина .

Без визначення інтервалів топологію на можна було б увести в такий спосіб. Визначимо проколотий окіл нескінченності, як деяку відкриту множину в , яка містить у собі деякий ε-окіл нескінченності. Тоді околом нескінченності назвемо проколотий окіл нескінченності з доданою до нього нескінченністю. Тоді топологія на це об'єднання топології із множиною околів нескінченності.

Проєктивно розширена числова пряма є компактним гаусдорфовим простором, гомеоморфним колу. Вона є одноточковою компактифікацією числової прямої і являє собою її компактифікацію Александрова.

В можна звично визначити границю при прямуванні аргументу до нескінченності . Також, запис набуває звичньго для нього в топології сенсу.

В існують деякі границі, які не існують в і навіть в . Так, границя не існує в і в , але існує в і дорівнює . У свою чергу, якщо границя існує в , то вона існує і в . При цьому, якщо межа в скінчення, то в вона дорівнює тому ж значенню, а якщо нескінченна, то дорівнює .

Арифметичні операції Редагувати

Стандартні операції в поширюються на за неперервністю. У багатьох випадках таке поширення неможливе, тому операції стають частково визначеними.

одна з небагатьох структур, що допускають ділення на 0 .

Алгебричні властивості Редагувати

Такі рівності означають: ліві частини або обидві не визначені, або рівні:

Такі рівності істинні, якщо їх права частина визначена:

Проєктивні властивості Редагувати

Проєктивно розширена числова пряма є проєктивною прямою, отриманою з афінної прямої додаванням нескінченно віддаленої точки. Проективні перетворення цієї прямої мають вигляд

Такі перетворення називаються перетвореннями Мебіуса. Їх властивості багато в чому схожі на властивості їх комплексних аналогів:

  • Множина перетворень Мебіуса з операцією композиції утворює групу.
  • Для будь-яких двох трійок , у кожній з яких точки попарно різні, існує єдине перетворення Мебіуса, що переводить в .
  • Функція є перетворенням Мебіуса тоді й лише тоді, коли вона зберігає ангармонічне відношення.
  • Функція є перетворенням Мебіуса тоді і лише тоді, коли її можна подати у вигляді композиції відбиттів та інверсій.

Див. також Редагувати

Афінно розширена числова пряма

Примітки Редагувати

  1. ↑ Wolfram.
  2. ↑ Lee, 2020, с. 75.
  3. Emanuello, Nolder, 2015, с. 12.
  4. nLab.
  5. Tucker, 2011, с. 32.

Література Редагувати

  • Cantrell D. W. . Wolfram Math World (англ.). Weisstein E. W. Архів оригіналу за 31 січня 2021. Процитовано 18 квітня 2021. 
  • Nam-Hoon Lee. Geometry: from Isometries to Special Relativity. — Springer International Publishing, 2020. — 258 p. — (Undergraduate Texts in Mathematics) — ISBN 9783030421014.
  • Emanuello J. A., Nolder C. A. Projective Compactification of and Its Möbius Geometry // Complex Analysis and Operator Theory : журнал. — Orange, CA USA, 2015. — No. 9. — (2). — P. 329–354. — ISSN 1661-8262. — DOI:10.1007/s11785-014-0363-5.
  • Extended real numbers. nLab[en] (англ.). 
  • Warwick Tucker. Validated Numerics: A Short Introduction to Rigorous Computations. — Princeton University Press, 2011. — 152 p. — ISBN 9781400838974.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Proyektivno rozshirena chislova pryama mnozhina dijsnih chisel R displaystyle mathbb R dopovnena odniyeyu tochkoyu zvanoyu neskinchennistyu proyektivnoyu neskinchennistyu bezznakovoyu neskinchennistyu dvostoronnoyu neskinchennistyu neskinchenno viddalenoyu tochkoyu Vizulizaciya proyektivno rozshirenoyi chislovoyi pryamoyi u viglyadi kola Neskinchenno viddalenu tochku intuyitivno mozhna rozumiti yak ototozhneni dodatnu i vid yemnu neskinchennosti Ce mozhna naochno prodemonstruvati zobrazivshi mnozhinu dijsnih chisel ne na pryamij a na koli z odniyeyu vikolotoyu tochkoyu Todi neskinchennist bude vidpovidati cij samij vikolotij tochci Proyektivno rozshirena chislova pryama rozshiryuye chislovu pryamu analogichno tomu yak rozshirena kompleksna ploshina rozshiryuye kompleksnu ploshinu Popri te sho termin rozshirena chislova pryama zazvichaj zastosovuyut do mnozhini dijsnih chisel z dvoma znakovimi neskinchennostyami inodi jogo vzhivayut i do proyektivno rozshirenoyi chislovoyi pryamoyi Tomu dlya pidkreslennya yih vidminnosti chislovu pryamu dopovnenu dvoma neskinchennostyami inodi nazivayut afinno rozshirenoyu chislovoyu pryamoyu Proyektivno rozshirenu chislovu pryamu rizni avtori poznachayut yak R displaystyle mathbb R 1 R displaystyle mathbb R infty 2 R displaystyle widehat mathbb R 3 U cij statti vikoristano poznachennya R displaystyle widehat mathbb R Proyektivnu neskinchennist poznachayut yak displaystyle infty displaystyle pm infty Pershe poznachennya takozh inodi vikoristovuyut dlya poznachennya plyus neskinchennosti ale v cij statti jogo vikoristano tilki stosovno proyektivnoyi neskinchennosti Zmist 1 Poryadok 2 Topologiya 3 Arifmetichni operaciyi 4 Algebrichni vlastivosti 5 Proyektivni vlastivosti 6 Div takozh 7 Primitki 8 LiteraturaPoryadok RedaguvatiNa R displaystyle widehat mathbb R nbsp nemaye zhodnogo prirodnogo linijnogo poryadku oskilki nemaye niyakogo prirodnogo sposobu viznachiti bilsha neskinchennist vid deyakogo chisla chi mensha Odnak na R displaystyle widehat mathbb R nbsp viznacheno ciklichnij poryadok Jogo mozhna uyaviti yak napryamok ruhu po kolu vid 0 do prohodyachi cherez 1 Tobto a b c displaystyle a b c nbsp yaksho voni jdut odne za odnim pid chas ruhu vzdovzh kola v tomu zh napryamku v yakomu jdut odne za odnim 0 1 i Takim chinom pid chas ruhu po comu poryadku vid 0 mi prohodimo za zrostannyam usi dodatni chisla potim neskinchennist potim usi vid yemni a potim znovu 0 Formalno cej poryadok viznachayetsya takimi spivvidnoshennyami 4 a b c a lt b lt c displaystyle a b c Leftrightarrow a lt b lt c nbsp b c b lt c displaystyle infty b c Leftrightarrow b lt c nbsp a c a gt c displaystyle a infty c Leftrightarrow a gt c nbsp a b a lt b displaystyle a b infty Leftrightarrow a lt b nbsp vipadki koli neskinchennostej bilshe odniyeyi zavzhdi hibniTut vse a b c R displaystyle a b c in mathbb R nbsp Ciklichnij poryadok viznachaye na R displaystyle widehat mathbb R nbsp intervali yak mnozhini viglyadu x a x b displaystyle x a x b nbsp okremo viznachayutsya intervali viglyadu R a displaystyle widehat mathbb R backslash a nbsp U zvichajnih poznachennyah ce mozhna perepisati tak 5 Intervalom u R displaystyle widehat mathbb R nbsp nazivayetsya abo mnozhina viglyadu a b displaystyle a b nbsp abo a b displaystyle a infty cup infty cup infty b nbsp dlya deyakih a b R displaystyle a b in overline mathbb R nbsp Vidrizkom u R displaystyle widehat mathbb R nbsp nazivayetsya abo mnozhina viglyadu a b displaystyle a b nbsp abo b displaystyle infty cup infty b nbsp abo a displaystyle a infty cup infty nbsp abo a b displaystyle a infty cup infty cup infty b nbsp dlya deyakih a b R displaystyle a b in mathbb R nbsp Napivintervalom u R displaystyle widehat mathbb R nbsp nazivayetsya abo mnozhina viglyadu a b displaystyle a b nbsp abo a b displaystyle a b nbsp abo a displaystyle a infty nbsp abo b displaystyle infty b nbsp abo a displaystyle a infty cup infty nbsp abo b displaystyle infty b cup infty nbsp abo a b displaystyle a infty cup infty cup infty b nbsp abo a b displaystyle a infty cup infty cup infty b nbsp dlya deyakih a b R displaystyle a b in mathbb R nbsp Inodi dlya takih promizhkiv vikoristovuyut zvichajni poznachennya a b a b a b displaystyle a b a b a b nbsp yaki rozumiyutsya v zaznachenomu vishe sensi Tobto a b x a x b displaystyle a b x a x b nbsp a b a b a b displaystyle a b a b cup a b nbsp a b a b b displaystyle a b a b cup b nbsp a b a b a displaystyle a b a b cup a nbsp a b displaystyle a neq b nbsp Za takih poznachen z livogo boku rivnosti u viznachenomu vishe sensi z pravogo v zvichajnomu 0 1 0 1 displaystyle 0 1 0 1 nbsp 1 0 1 0 displaystyle 1 0 1 infty cup infty cup infty 0 nbsp Zapis a a displaystyle a a nbsp viznachayetsya yak R a displaystyle widehat mathbb R backslash a nbsp Topologiya RedaguvatiCiklichnij poryadok na R displaystyle widehat mathbb R nbsp viznachaye topologiyu vidkritoyu vvazhayetsya mnozhina podavana u viglyadi ob yednannya intervaliv intervali rozumiyutsya u viznachenomu vishe sensi Cya topologiya ye nisho inshe yak ob yednannya vidkritih mnozhin R displaystyle mathbb R nbsp z okolami neskinchennosti e okolom nazivayetsya mnozhina 1 e 1 e displaystyle left frac 1 varepsilon infty right cup infty cup left infty frac 1 varepsilon right nbsp Bud yakij okil neskinchennosti mistit deyakij e okil neskinchennosti Prokolotim e okolom nazivayetsya mnozhina 1 e 1 e displaystyle left frac 1 varepsilon infty right cup left infty frac 1 varepsilon right nbsp Bez viznachennya intervaliv topologiyu na R displaystyle widehat mathbb R nbsp mozhna bulo b uvesti v takij sposib Viznachimo prokolotij okil neskinchennosti yak deyaku vidkritu mnozhinu v R displaystyle mathbb R nbsp yaka mistit u sobi deyakij e okil neskinchennosti Todi okolom neskinchennosti nazvemo prokolotij okil neskinchennosti z dodanoyu do nogo neskinchennistyu Todi topologiya na R displaystyle widehat mathbb R nbsp ce ob yednannya topologiyi R displaystyle mathbb R nbsp iz mnozhinoyu okoliv neskinchennosti Proyektivno rozshirena chislova pryama ye kompaktnim gausdorfovim prostorom gomeomorfnim kolu Vona ye odnotochkovoyu kompaktifikaciyeyu chislovoyi pryamoyi i yavlyaye soboyu yiyi kompaktifikaciyu Aleksandrova V R displaystyle widehat mathbb R nbsp mozhna zvichno viznachiti granicyu pri pryamuvanni argumentu do neskinchennosti lim x f x displaystyle lim x to infty f x nbsp Takozh zapis lim B f x displaystyle lim mathfrak B f x infty nbsp nabuvaye zvichngo dlya nogo v topologiyi sensu V R displaystyle widehat mathbb R nbsp isnuyut deyaki granici yaki ne isnuyut v R displaystyle mathbb R nbsp i navit v R displaystyle overline mathbb R nbsp Tak granicya lim x 0 1 x displaystyle lim x to 0 frac 1 x nbsp ne isnuye v R displaystyle mathbb R nbsp i v R displaystyle overline mathbb R nbsp ale isnuye v R displaystyle widehat mathbb R nbsp i dorivnyuye displaystyle infty nbsp U svoyu chergu yaksho granicya isnuye v R displaystyle overline mathbb R nbsp to vona isnuye i v R displaystyle widehat mathbb R nbsp Pri comu yaksho mezha v R displaystyle overline mathbb R nbsp skinchennya to v R displaystyle widehat mathbb R nbsp vona dorivnyuye tomu zh znachennyu a yaksho neskinchenna to dorivnyuye displaystyle infty nbsp Arifmetichni operaciyi RedaguvatiStandartni operaciyi v R displaystyle mathbb R nbsp poshiryuyutsya na R displaystyle widehat mathbb R nbsp za neperervnistyu U bagatoh vipadkah take poshirennya nemozhlive tomu operaciyi stayut chastkovo viznachenimi 1 a a a displaystyle a infty infty a infty quad a neq infty nbsp displaystyle infty infty nbsp ne viznacheno a a a displaystyle a infty infty a infty quad a neq infty nbsp displaystyle infty infty nbsp ne viznacheno a a a 0 displaystyle a cdot infty infty cdot a infty quad a neq 0 nbsp 0 0 displaystyle 0 cdot infty infty cdot 0 nbsp ne viznacheno a a displaystyle frac infty a infty quad a neq infty nbsp a 0 a displaystyle frac a infty 0 quad a neq infty nbsp displaystyle frac infty infty nbsp ne viznacheno a 0 a 0 displaystyle frac a 0 infty quad a neq 0 nbsp 0 0 displaystyle frac 0 0 nbsp ne viznachenoR displaystyle widehat mathbb R nbsp odna z nebagatoh struktur sho dopuskayut dilennya na 0 Algebrichni vlastivosti RedaguvatiTaki rivnosti oznachayut livi chastini abo obidvi ne viznacheni abo rivni a b c a b c a b b a a b c a b c a b b a a a 0 displaystyle begin aligned a b c amp a b c a b amp b a a cdot b cdot c amp a cdot b cdot c a cdot b amp b cdot a a cdot infty amp frac a 0 end aligned nbsp Taki rivnosti istinni yaksho yih prava chastina viznachena a b c a b a c a a b b a b b a a b b a b b displaystyle begin aligned a cdot b c amp a cdot b a cdot c a left frac a b right cdot b amp frac a cdot b b a a b b amp a b b end aligned nbsp Proyektivni vlastivosti RedaguvatiProyektivno rozshirena chislova pryama ye proyektivnoyu pryamoyu otrimanoyu z afinnoyi pryamoyi R displaystyle mathbb R nbsp dodavannyam neskinchenno viddalenoyi tochki Proektivni peretvorennya ciyeyi pryamoyi mayut viglyad f x a x b c x d x a c x a b c d R a b c d 0 displaystyle f x begin cases displaystyle frac ax b cx d amp x neq infty displaystyle frac a c amp x infty end cases quad a b c d in mathbb R quad left begin matrix a amp b c amp d end matrix right neq 0 nbsp Taki peretvorennya nazivayutsya peretvorennyami Mebiusa Yih vlastivosti bagato v chomu shozhi na vlastivosti yih kompleksnih analogiv 2 Mnozhina peretvoren Mebiusa z operaciyeyu kompoziciyi utvoryuye grupu Dlya bud yakih dvoh trijok x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 R displaystyle x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 in widehat mathbb R nbsp u kozhnij z yakih tochki poparno rizni isnuye yedine peretvorennya Mebiusa sho perevodit x 1 x 2 x 3 displaystyle x 1 x 2 x 3 nbsp v y 1 y 2 y 3 displaystyle y 1 y 2 y 3 nbsp Funkciya ye peretvorennyam Mebiusa todi j lishe todi koli vona zberigaye angarmonichne vidnoshennya Funkciya ye peretvorennyam Mebiusa todi i lishe todi koli yiyi mozhna podati u viglyadi kompoziciyi vidbittiv ta inversij Div takozh RedaguvatiAfinno rozshirena chislova pryamaPrimitki Redaguvati a b Wolfram a b Lee 2020 s 75 Emanuello Nolder 2015 s 12 nLab Tucker 2011 s 32 Literatura RedaguvatiCantrell D W Projectively Extended Real Numbers Wolfram Math World angl Weisstein E W Arhiv originalu za 31 sichnya 2021 Procitovano 18 kvitnya 2021 Nam Hoon Lee Geometry from Isometries to Special Relativity Springer International Publishing 2020 258 p Undergraduate Texts in Mathematics ISBN 9783030421014 Emanuello J A Nolder C A Projective Compactification of R 1 1 displaystyle mathbb R 1 1 nbsp and Its Mobius Geometry Complex Analysis and Operator Theory zhurnal Orange CA USA 2015 No 9 2 P 329 354 ISSN 1661 8262 DOI 10 1007 s11785 014 0363 5 Extended real numbers nLab en angl Warwick Tucker Validated Numerics A Short Introduction to Rigorous Computations Princeton University Press 2011 152 p ISBN 9781400838974 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Proyektivno rozshirena chislova pryama amp oldid 38947582