www.wikidata.uk-ua.nina.az

Трикутна матриця Трику тна ма триця квадратна матриця всі елементи якої нижче або вище від головної діагоналі дорівнюють

Трикутна матриця

Трику́тна ма́триця — квадратна матриця, всі елементи якої нижче або вище від головної діагоналі дорівнюють нулю.

Матриця виду

називається верхньотрикутною матрицею, а матриця виду

називається нижньотрикутною матрицею. Змінна U (від англ. upper) звичайно використовується для позначення верхньотрикутної матриці, а змінна L (від англ. lower) — нижньотрикутної. Матриця, що є одночасно і верхньотрикутною, і нижньотрикутною, називається діагональною.

Властивості Редагувати

Теорема (про приведення матриць до трикутного вигляду).
Будь-яку ненульову матрицю шляхом елементарних перетворень над рядками і перестановкою стовпців можна привести до трикутного вигляду.

Трикутні матриці використовуються насамперед при розв'язку лінійних систем рівнянь, коли матриця системи (в процесі прямого ходу) зводиться до трикутного вигляду. Вирішення систем лінійних рівнянь з трикутною матрицею (зворотний хід) не представляє складнощів. Основні властивості:

  • Визначник трикутної матриці дорівнює добутку її діагональних елементів.
  • Визначник унітрикутної матриці дорівнює одиниці.
  • Власні числа трикутної матриці — це елементи головної діагоналі.
  • Множина невироджених верхньотрикутних матриць порядку n по множенню з елементами з поля k утворює групу, яка позначається ut(n, k) або utn (k).
  • Множина невироджених нижньотрикутних матриць порядку n по множенню з елементами з поля k утворює групу, яка позначається lt(n, k) або ltn (k).
  • Множина верхніх унітрикутних матриць з елементами з поля k утворює підгрупу utn (k) по множенню, яка позначається sut(n, k) або sutn (k). Аналогічна підгрупа нижніх унітрикутних матриць позначається slt(n, k) або sltn (k).
  • Множина всіх верхньотрикутних матриць з елементами з кільця до утворює підалгебру алгебри квадратних матриць. Аналогічне твердження справедливе для нижньотрикутних матриць.
  • Група utn вирішувана, а її унітрикутна підгрупа sutn нільпотентна.

Пряме та зворотне підставляння Редагувати

Матричне рівняння у вигляді або дуже легко розв'язати за допомогою ітеративного процесу відомого як пряме підставляння для нижньотрикутних матриць і, аналогічно, зворотне підставляння для верхньотрикутних мариць.

Пряме підставляння Редагувати

Матричне рівняння Lx = b можна записати як систему лінійних рівнянь

Зауважимо те, що перше рівняння () містить лише , отже його можна розв'язати для Друге рівняння містить лише і отже його можна розв'язати підставивши вже отримане значення для . Продовжуючи таким чином, -те рівняння містить лише , і його можна розв'язати щодо використовуючи попередньо отримані значення

У результаті маємо таку формулу:

Матричне рівняння для верхньотрикутної матриці можна розв'язати аналогічно, лише в зворотньому порядку.

Див. також Редагувати

Примітки Редагувати

  1. ↑ Булдигін, 2011, с. 10.
  2. The Cayley-Hamilton Theorem

Джерела Редагувати

  • Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е. — М: : Физматлит, 2010. — 559 с. — ISBN 5-9221-0524-8.(рос.)
  • В. В. Булдигін, І. В. Алєксєєва, В. О. Гайдей, О. О. Диховичний, Н. Р. Коновалова, Л. Б. Федорова. Лінійна алгебра та аналітична геометрія. — Київ : ТВіМС, 2011. — 224 с.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Triku tna ma tricya kvadratna matricya vsi elementi yakoyi nizhche abo vishe vid golovnoyi diagonali dorivnyuyut nulyu Verhnotrikutna matricya kvadratna matricya vsi elementi yakoyi nizhche vid golovnoyi diagonali dorivnyuyut nulyu 1 Nizhnotrikutna matricya kvadratna matricya vsi elementi yakoyi vishe vid golovnoyi diagonali dorivnyuyut nulyu 1 Unitrikutna matricya trikutna matricya diagonalni elementi yakoyi dorivnyuyut odinici Matricya vidu U u 1 1 u 1 2 u 1 n 0 u 2 2 u 2 n 0 0 u n n displaystyle U begin bmatrix u 1 1 amp u 1 2 amp ldots amp u 1 n 0 amp u 2 2 amp ldots amp u 2 n vdots amp vdots amp ddots amp vdots 0 amp 0 amp ldots amp u n n end bmatrix nazivayetsya verhnotrikutnoyu matriceyu a matricya vidu L l 1 1 0 0 l 2 1 l 2 2 0 l n 1 l n 2 l n n displaystyle L begin bmatrix l 1 1 amp 0 amp ldots amp 0 l 2 1 amp l 2 2 amp ldots amp 0 vdots amp vdots amp ddots amp vdots l n 1 amp l n 2 amp ldots amp l n n end bmatrix nazivayetsya nizhnotrikutnoyu matriceyu Zminna U vid angl upper zvichajno vikoristovuyetsya dlya poznachennya verhnotrikutnoyi matrici a zminna L vid angl lower nizhnotrikutnoyi Matricya sho ye odnochasno i verhnotrikutnoyu i nizhnotrikutnoyu nazivayetsya diagonalnoyu Zmist 1 Vlastivosti 2 Pryame ta zvorotne pidstavlyannya 2 1 Pryame pidstavlyannya 3 Div takozh 4 Primitki 5 DzherelaVlastivosti RedaguvatiTeorema pro privedennya matric do trikutnogo viglyadu Bud yaku nenulovu matricyu a n n displaystyle a n times n nbsp shlyahom elementarnih peretvoren nad ryadkami i perestanovkoyu stovpciv mozhna privesti do trikutnogo viglyadu Trikutni matrici vikoristovuyutsya nasampered pri rozv yazku linijnih sistem rivnyan koli matricya sistemi v procesi pryamogo hodu zvoditsya do trikutnogo viglyadu Virishennya sistem linijnih rivnyan z trikutnoyu matriceyu zvorotnij hid ne predstavlyaye skladnoshiv Osnovni vlastivosti Viznachnik trikutnoyi matrici dorivnyuye dobutku yiyi diagonalnih elementiv Viznachnik unitrikutnoyi matrici dorivnyuye odinici Vlasni chisla trikutnoyi matrici ce elementi golovnoyi diagonali 2 Mnozhina nevirodzhenih verhnotrikutnih matric poryadku n po mnozhennyu z elementami z polya k utvoryuye grupu yaka poznachayetsya ut n k abo utn k Mnozhina nevirodzhenih nizhnotrikutnih matric poryadku n po mnozhennyu z elementami z polya k utvoryuye grupu yaka poznachayetsya lt n k abo ltn k Mnozhina verhnih unitrikutnih matric z elementami z polya k utvoryuye pidgrupu utn k po mnozhennyu yaka poznachayetsya sut n k abo sutn k Analogichna pidgrupa nizhnih unitrikutnih matric poznachayetsya slt n k abo sltn k Mnozhina vsih verhnotrikutnih matric z elementami z kilcya do utvoryuye pidalgebru algebri kvadratnih matric Analogichne tverdzhennya spravedlive dlya nizhnotrikutnih matric Grupa utn virishuvana a yiyi unitrikutna pidgrupa sutn nilpotentna Pryame ta zvorotne pidstavlyannya RedaguvatiMatrichne rivnyannya u viglyadi L x b displaystyle mathbf L mathbf x mathbf b nbsp abo U x b displaystyle mathbf U mathbf x mathbf b nbsp duzhe legko rozv yazati za dopomogoyu iterativnogo procesu vidomogo yak pryame pidstavlyannya dlya nizhnotrikutnih matric i analogichno zvorotne pidstavlyannya dlya verhnotrikutnih maric Pryame pidstavlyannya Redaguvati Matrichne rivnyannya Lx b mozhna zapisati yak sistemu linijnih rivnyan l 1 1 x 1 b 1 l 2 1 x 1 l 2 2 x 2 b 2 l m 1 x 1 l m 2 x 2 l m m x m b m displaystyle begin matrix l 1 1 x 1 amp amp amp amp amp amp b 1 l 2 1 x 1 amp amp l 2 2 x 2 amp amp amp amp b 2 vdots amp amp vdots amp ddots amp amp amp vdots l m 1 x 1 amp amp l m 2 x 2 amp dotsb amp l m m x m amp amp b m end matrix nbsp Zauvazhimo te sho pershe rivnyannya l 1 1 x 1 b 1 displaystyle l 1 1 x 1 b 1 nbsp mistit lishe x 1 displaystyle x 1 nbsp otzhe jogo mozhna rozv yazati dlya x 1 displaystyle x 1 nbsp Druge rivnyannya mistit lishe x 1 displaystyle x 1 nbsp i x 2 displaystyle x 2 nbsp otzhe jogo mozhna rozv yazati pidstavivshi vzhe otrimane znachennya dlya x 1 displaystyle x 1 nbsp Prodovzhuyuchi takim chinom k displaystyle k nbsp te rivnyannya mistit lishe x 1 x k displaystyle x 1 dots x k nbsp i jogo mozhna rozv yazati shodo x k displaystyle x k nbsp vikoristovuyuchi poperedno otrimani znachennya x 1 x k 1 displaystyle x 1 dots x k 1 nbsp U rezultati mayemo taku formulu x 1 b 1 l 1 1 displaystyle x 1 frac b 1 l 1 1 nbsp x 2 b 2 l 2 1 x 1 l 2 2 displaystyle x 2 frac b 2 l 2 1 x 1 l 2 2 nbsp displaystyle vdots nbsp dd x m b m i 1 m 1 l m i x i l m m displaystyle x m frac b m sum i 1 m 1 l m i x i l m m nbsp Matrichne rivnyannya dlya verhnotrikutnoyi matrici U displaystyle U nbsp mozhna rozv yazati analogichno lishe v zvorotnomu poryadku Div takozh RedaguvatiSistema linijnih rivnyan algebri Elementarni peretvorennya matrici Matricya GessenbergaPrimitki Redaguvati a b Buldigin 2011 s 10 The Cayley Hamilton TheoremDzherela RedaguvatiGantmaher F R Teoriya matric 5 e M Fizmatlit 2010 559 s ISBN 5 9221 0524 8 ros V V Buldigin I V Alyeksyeyeva V O Gajdej O O Dihovichnij N R Konovalova L B Fedorova Linijna algebra ta analitichna geometriya Kiyiv TViMS 2011 224 s Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Trikutna matricya amp oldid 33190042