www.wikidata.uk-ua.nina.az

Система лінійних алгебраїчних рівнянь СЛАР в лінійній алгебрі система лінійних рівнянь яка має вигляд Система трьох рівн

Система лінійних алгебраїчних рівнянь

Система лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) — в лінійній алгебрі система лінійних рівнянь, яка має вигляд:

Система трьох рівнянь (3 площини) з трьома невідомими (тривимірність простору). Розв'язком є точка перетину площин.
Абревіатура СЛР може також означати Серцево-легенева реанімація.

Це система m лінійних рівнянь з n невідомими, де

Якщо кількість рівнянь співпадає з кількістю невідомих, таку систему лінійних рівнянь називають квадратною.

Системи лінійних алгебраїчних рівнянь відіграють важливу роль у математиці, оскільки до них зводиться велика кількість задач лінійної алгебри, теорії диференціальних рівнянь, математичної фізики тощо, та областей фізики й техніки, де застосовуються ці математичні теорії.

Векторний запис Редагувати

Систему лінійних алгебраїчних рівнянь можна записати у вигляді, де кожна невідома є ваговим коефіцієнтом в лінійній комбінації вектор-стовпців.

Що дозволяє переформулювати задачу в термінах векторного простору: рівняння має розв'язок тоді і тільки тоді, коли лінійна комбінація (лінійна оболонка) векторів лівої частини включає вектор правої частини.

Матричний запис Редагувати

Векторна форма еквівалентна матричній формі запису

де A — матриця m×n, x — вектор з n компонент, b — вектор з m компонент.

Число векторів в базисі лінійної оболонки векторів є рангом матриці.

Множина розв'язків Редагувати

Розв'язком системи лінійних алгебраїчних рівнянь є будь-яка сукупність дійсних чисел , яка при підстановці в кожне рівняння системи перетворює його в тотожність.

Якщо система має хоча б один розв'язок, то вона називається сумісною, і несумісною, якщо не має жодного. Відповідь на питання сумісності системи дає теорема Кронекера-Капеллі.

Сумісна система називається визначеною, якщо вона має єдиний розв'язок, і невизначеною, якщо вона має безліч розв'язків. В останньому випадку кожен її розв'язок називають частковим розв'язком системи. Сукупність усіх часткових розв'язків називають загальним розв'язком системи.

Якщо всі вільні члени , система лінійних алгебраїчних рівнянь називається однорідною. Однорідна система має очевидний розв'язок, у якому всі . Цей розв'язок заведено називати тривіальним. Відмінні від тривіального розв'язки існують тільки тоді, коли матриця вироджена.

Еквівалентні системи лінійних алгебраїчних рівнянь Редагувати

Системи лінійних алгебраїчних рівнянь називаються еквівалентними, якщо множина їхніх розв'язків збігається, тобто будь-який розв'язок однієї системи є водночас розв'язком іншої, і навпаки.

Систему, еквівалентну даній, можна отримати, зокрема, замінивши одне з рівнянь на це ж рівняння, помножене на будь-яке відмінне від нуля число. Еквівалентну систему можна отримати також, замінивши одне з рівнянь сумою цього рівняння з іншим рівнянням системи. Загалом, заміна рівняння системи на лінійну комбінацію рівнянь дає систему, еквівалентну початковій.

Система лінійних алгебраїчних рівнянь

еквівалентна системі

де - невироджена матриця.

Зокрема, якщо сама матриця - невироджена, і для неї існує обернена матриця , то розв'язок системи рівнянь можна формально записати у вигляді

Методи розв'язання Редагувати

Методи розв'язку систем лінійних алгебраїчних рівнянь можна досить чітко поділити на три групи: точні, ітераційні та ймовірнісні. За Бахваловим (1987 рік), точні методи застосовні до систем з числом змінних до порядку 104, ітераційні — 107.

Точні методи Редагувати

До точних методів належать методи, що дають точний результат у припущенні ідеальної арифметики (див. IEEE754). Точні методи можна застосовувати й тоді, коли коефіцієнти й вільні члени рівняння задані в аналітичній, символьній формі.

  • Метод послідовного виключення. Найпростішим, хоча важким для практичних застосувань, методом розв'язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь є метод послідовного виключення невідомих. Суть його в тому, що із першого рівняння змінна виражається через інші змінні, й підставляється в усі інші рівняння. Це можна зробити, якщо коефіцієнт відмінний від нуля. У випадку, якщо він нульовий, можна вибрати інше рівняння, оскільки перестановка рівнянь у системі дає еквівалентну систему. В результаті утворюється нова система рівнянь, в якій рівнянь на одне менше. З цією системою рівнянь можна поступити так само, отримуючи ще меншу систему рівнянь. Продовжуючи так, отримують одне лінійне рівняння, з якого можна визначити одну із змінних, а інші, виключені, виразити через неї.
  • Метод Гауса — метод, найчастіше застосовуваний при ручному розв'язку СЛАР.
  • Метод Крамера (за формулами Крамера) — чисто теоретичний метод, непридатний до практичного використання через обчислювальну складність і малу точність, оскільки вимагає обчислення визначників, а тільки в одному визначнику доданків. Метод Крамера може застосовуватися для матриць 2×2, або, щонайбільше, 3×3.
  • Матричний метод (за допомогою оберненої матриці) - певна теоретична абстракція всіх інших точних методів.
  • Метод квадратного кореня — квадратичний метод, який вимагає симетричної матриці системи.
  • Метод прогонки зручний для розв'язку систем з тридіагональною матрицею, які часто виникають в задачах математичної фізики.

Ітераційні методи Редагувати

Ітераційні методи встановлюють процедуру уточнення певного початкового наближення до розв'язку. При виконанні умов збіжності вони дозволяють досягти будь-якої точності просто повторенням ітерацій. Перевага цих методів у тому, що часто вони дозволяють досягти розв'язку з наперед заданою точністю швидше, а також розв'язувати більші системи рівнянь. Суть цих методі полягає в тому, щоб знайти нерухому точку матричного рівняння:

еквівалентного початковій системі лінійних алгебраїчних рівнянь. При ітерації в правій частині рівняння заміняється, наприклад, у методі Якобі (метод простої ітерації) на наближення, знайдене на попередньому кроці:

Збіжність ітераційної процедури досягається вибором матриці , що залежить від задачі. Умови збіжності конкретні для кожного конкретного методу.

Серед ітераційних методів можна відзначити найпопулярніші:

  • Метод Якобі (метод простої ітерації);
  • Метод Зейделя (інколи називають метод Гауса-Зейделя);
  • Метод релаксації;
  • Багатосітковий метод;
  • Метод Монтанте;
  • Метод Абрамова (використовується для розв'язування невеликих систем);
  • Метод узагальнення мінімальних лишків;
  • Метод біспряжених градієнтів;
  • Стабілізований метод біспряжених градієнтів;
  • Квадратичний метод спряжених градієнтів;
  • Метод квазі-мінімальних лишків.

Системи лінійних нерівностей Редагувати

Поряд з рівняннями суттєву роль у всіх розділах сучасної математики грають нерівності. Розв'язання багатьох задач зводиться до розв'язання нерівностей або їхніх систем.

Нерівність (1) називають алгебраїчною, якщо функції та - многочлени відповідно степеня m з n невідомими. Зокрема, якщо та - лійнійні функції, тобто многочлени першого степеня, то нерівність (1) називається лінійною. Інакше кажучи, лінійними називають нерівності, у яких невідомі тільки першого степеня. Такими, наприклад, є нерівності та . Перше з них - лінійна нерівність з трьома невідомими, друга - з двома.

Лінійна нерівність з n невідомими у загальному вигляді записується так:

Програмне забезпечення Редагувати

Методи розв'язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь входять до складу численних математичних програм на зразок Mathematica, Maple, Matlab та інших. Окремими незалежними бібліотеками підпрограм, що надають такі можливості, є, зокрема Linpack та LAPACK. Відповідний модуль є також у GNU Scientific Library, IMSL, NAG.

Посилання Редагувати

Див. також Редагувати

Джерела Редагувати

Виноски Редагувати

  1. В межах цієї статті коефіцієнти системи, вільні члени та невідомі вважаються дійсними числами, хоча вони можуть бути комплексними або, навіть, складнішими математичними об'єктами з умовою, що для них визначені операції множення і додавання.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Sistema linijnih algebrayichnih rivnyan SLAR v linijnij algebri sistema linijnih rivnyan yaka maye viglyad Sistema troh rivnyan 3 ploshini z troma nevidomimi trivimirnist prostoru Rozv yazkom ye tochka peretinu ploshin Abreviatura SLR mozhe takozh oznachati Sercevo legeneva reanimaciya a 11 x 1 a 12 x 2 a 1 n x n b 1 a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n b 2 a m 1 x 1 a m 2 x 2 a m n x n b m displaystyle left begin alignedat 7 a 11 x 1 amp amp amp amp a 12 x 2 amp amp cdots amp amp a 1n x n amp amp amp amp amp b 1 a 21 x 1 amp amp amp amp a 22 x 2 amp amp cdots amp amp a 2n x n amp amp amp amp amp b 2 vdots amp amp amp amp vdots amp amp amp amp vdots amp amp amp amp amp vdots a m1 x 1 amp amp amp amp a m2 x 2 amp amp cdots amp amp a mn x n amp amp amp amp amp b m end alignedat right Ce sistema m linijnih rivnyan z n nevidomimi de x 1 x 2 x n displaystyle x 1 x 2 ldots x n ye nevidomimi a 11 a 12 a m n displaystyle a 11 a 12 ldots a mn ye koeficiyentami sistemi b 1 b 2 b m displaystyle b 1 b 2 ldots b m vilnimi chlenami 1 Yaksho kilkist rivnyan spivpadaye z kilkistyu nevidomih taku sistemu linijnih rivnyan nazivayut kvadratnoyu Sistemi linijnih algebrayichnih rivnyan vidigrayut vazhlivu rol u matematici oskilki do nih zvoditsya velika kilkist zadach linijnoyi algebri teoriyi diferencialnih rivnyan matematichnoyi fiziki tosho ta oblastej fiziki j tehniki de zastosovuyutsya ci matematichni teoriyi Zmist 1 Vektornij zapis 2 Matrichnij zapis 3 Mnozhina rozv yazkiv 4 Ekvivalentni sistemi linijnih algebrayichnih rivnyan 5 Metodi rozv yazannya 5 1 Tochni metodi 5 2 Iteracijni metodi 6 Sistemi linijnih nerivnostej 7 Programne zabezpechennya 8 Posilannya 9 Div takozh 10 Dzherela 11 VinoskiVektornij zapis RedaguvatiSistemu linijnih algebrayichnih rivnyan mozhna zapisati u viglyadi de kozhna nevidoma ye vagovim koeficiyentom v linijnij kombinaciyi vektor stovpciv x 1 a 11 a 21 a m 1 x 2 a 12 a 22 a m 2 x n a 1 n a 2 n a m n b 1 b 2 b m displaystyle x 1 begin bmatrix a 11 a 21 vdots a m1 end bmatrix x 2 begin bmatrix a 12 a 22 vdots a m2 end bmatrix cdots x n begin bmatrix a 1n a 2n vdots a mn end bmatrix begin bmatrix b 1 b 2 vdots b m end bmatrix nbsp Sho dozvolyaye pereformulyuvati zadachu v terminah vektornogo prostoru rivnyannya maye rozv yazok todi i tilki todi koli linijna kombinaciya linijna obolonka vektoriv livoyi chastini vklyuchaye vektor pravoyi chastini Matrichnij zapis RedaguvatiVektorna forma ekvivalentna matrichnij formi zapisu A x b displaystyle A mathbf x mathbf b nbsp de A matricya m n x vektor z n komponent b vektor z m komponent A a 11 a 12 a 1 n a 21 a 22 a 2 n a m 1 a m 2 a m n x x 1 x 2 x n b b 1 b 2 b m displaystyle A begin bmatrix a 11 amp a 12 amp cdots amp a 1n a 21 amp a 22 amp cdots amp a 2n vdots amp vdots amp ddots amp vdots a m1 amp a m2 amp cdots amp a mn end bmatrix quad mathbf x begin bmatrix x 1 x 2 vdots x n end bmatrix quad mathbf b begin bmatrix b 1 b 2 vdots b m end bmatrix nbsp Chislo vektoriv v bazisi linijnoyi obolonki vektoriv ye rangom matrici Mnozhina rozv yazkiv RedaguvatiDokladnishe Mnozhina rozv yazkivRozv yazkom sistemi linijnih algebrayichnih rivnyan ye bud yaka sukupnist dijsnih chisel x 1 x 2 x n displaystyle x 1 x 2 x n nbsp yaka pri pidstanovci v kozhne rivnyannya sistemi peretvoryuye jogo v totozhnist Yaksho sistema maye hocha b odin rozv yazok to vona nazivayetsya sumisnoyu i nesumisnoyu yaksho ne maye zhodnogo Vidpovid na pitannya sumisnosti sistemi daye teorema Kronekera Kapelli Sumisna sistema nazivayetsya viznachenoyu yaksho vona maye yedinij rozv yazok i neviznachenoyu yaksho vona maye bezlich rozv yazkiv V ostannomu vipadku kozhen yiyi rozv yazok nazivayut chastkovim rozv yazkom sistemi Sukupnist usih chastkovih rozv yazkiv nazivayut zagalnim rozv yazkom sistemi Yaksho vsi vilni chleni b i 0 displaystyle b i 0 nbsp sistema linijnih algebrayichnih rivnyan nazivayetsya odnoridnoyu Odnoridna sistema maye ochevidnij rozv yazok u yakomu vsi x i 0 displaystyle x i 0 nbsp Cej rozv yazok zavedeno nazivati trivialnim Vidminni vid trivialnogo rozv yazki isnuyut tilki todi koli matricya A displaystyle A nbsp virodzhena Ekvivalentni sistemi linijnih algebrayichnih rivnyan RedaguvatiSistemi linijnih algebrayichnih rivnyan nazivayutsya ekvivalentnimi yaksho mnozhina yihnih rozv yazkiv zbigayetsya tobto bud yakij rozv yazok odniyeyi sistemi ye vodnochas rozv yazkom inshoyi i navpaki Sistemu ekvivalentnu danij mozhna otrimati zokrema zaminivshi odne z rivnyan na ce zh rivnyannya pomnozhene na bud yake vidminne vid nulya chislo Ekvivalentnu sistemu mozhna otrimati takozh zaminivshi odne z rivnyan sumoyu cogo rivnyannya z inshim rivnyannyam sistemi Zagalom zamina rivnyannya sistemi na linijnu kombinaciyu rivnyan daye sistemu ekvivalentnu pochatkovij Sistema linijnih algebrayichnih rivnyan A x b displaystyle A mathbf x mathbf b nbsp ekvivalentna sistemi C A x C b displaystyle CA mathbf x C mathbf b nbsp de C displaystyle C nbsp nevirodzhena matricya Zokrema yaksho sama matricya A displaystyle A nbsp nevirodzhena i dlya neyi isnuye obernena matricya A 1 displaystyle A 1 nbsp to rozv yazok sistemi rivnyan mozhna formalno zapisati u viglyadi x A 1 b displaystyle mathbf x A 1 mathbf b nbsp Metodi rozv yazannya RedaguvatiMetodi rozv yazku sistem linijnih algebrayichnih rivnyan mozhna dosit chitko podiliti na tri grupi tochni iteracijni ta jmovirnisni Za Bahvalovim 1987 rik tochni metodi zastosovni do sistem z chislom zminnih do poryadku 104 iteracijni 107 Tochni metodi Redaguvati Do tochnih metodiv nalezhat metodi sho dayut tochnij rezultat u pripushenni idealnoyi arifmetiki div IEEE754 Tochni metodi mozhna zastosovuvati j todi koli koeficiyenti j vilni chleni rivnyannya zadani v analitichnij simvolnij formi Metod poslidovnogo viklyuchennya Najprostishim hocha vazhkim dlya praktichnih zastosuvan metodom rozv yazuvannya sistemi linijnih algebrayichnih rivnyan ye metod poslidovnogo viklyuchennya nevidomih Sut jogo v tomu sho iz pershogo rivnyannya zminna x 1 displaystyle x 1 nbsp virazhayetsya cherez inshi zminni j pidstavlyayetsya v usi inshi rivnyannya Ce mozhna zrobiti yaksho koeficiyent a 11 displaystyle a 11 nbsp vidminnij vid nulya U vipadku yaksho vin nulovij mozhna vibrati inshe rivnyannya oskilki perestanovka rivnyan u sistemi daye ekvivalentnu sistemu V rezultati utvoryuyetsya nova sistema rivnyan v yakij rivnyan na odne menshe Z ciyeyu sistemoyu rivnyan mozhna postupiti tak samo otrimuyuchi she menshu sistemu rivnyan Prodovzhuyuchi tak otrimuyut odne linijne rivnyannya z yakogo mozhna viznachiti odnu iz zminnih a inshi viklyucheni viraziti cherez neyi Metod Gausa metod najchastishe zastosovuvanij pri ruchnomu rozv yazku SLAR Metod Gausa Zhordana modifikaciya metodu Gausa Metod Kramera za formulami Kramera chisto teoretichnij metod nepridatnij do praktichnogo vikoristannya cherez obchislyuvalnu skladnist i malu tochnist oskilki vimagaye obchislennya viznachnikiv a tilki v odnomu viznachniku n displaystyle n nbsp dodankiv Metod Kramera mozhe zastosovuvatisya dlya matric 2 2 abo shonajbilshe 3 3 Matrichnij metod za dopomogoyu obernenoyi matrici pevna teoretichna abstrakciya vsih inshih tochnih metodiv Metod kvadratnogo korenya kvadratichnij metod yakij vimagaye simetrichnoyi matrici sistemi Metod progonki zruchnij dlya rozv yazku sistem z tridiagonalnoyu matriceyu yaki chasto vinikayut v zadachah matematichnoyi fiziki Iteracijni metodi Redaguvati Dokladnishe Iteracijni metodi rozv yazuvannya SLARIteracijni metodi vstanovlyuyut proceduru utochnennya pevnogo pochatkovogo nablizhennya do rozv yazku Pri vikonanni umov zbizhnosti voni dozvolyayut dosyagti bud yakoyi tochnosti prosto povtorennyam iteracij Perevaga cih metodiv u tomu sho chasto voni dozvolyayut dosyagti rozv yazku z napered zadanoyu tochnistyu shvidshe a takozh rozv yazuvati bilshi sistemi rivnyan Sut cih metodi polyagaye v tomu shob znajti neruhomu tochku matrichnogo rivnyannya x A x b displaystyle mathbf x A prime mathbf x mathbf b prime nbsp ekvivalentnogo pochatkovij sistemi linijnih algebrayichnih rivnyan Pri iteraciyi x displaystyle mathbf x nbsp v pravij chastini rivnyannya zaminyayetsya napriklad u metodi Yakobi metod prostoyi iteraciyi na nablizhennya znajdene na poperednomu kroci x n 1 A x n b displaystyle mathbf x n 1 A prime mathbf x n mathbf b prime nbsp Zbizhnist iteracijnoyi proceduri dosyagayetsya viborom matrici A displaystyle A prime nbsp sho zalezhit vid zadachi Umovi zbizhnosti konkretni dlya kozhnogo konkretnogo metodu Sered iteracijnih metodiv mozhna vidznachiti najpopulyarnishi Metod Yakobi metod prostoyi iteraciyi Metod Zejdelya inkoli nazivayut metod Gausa Zejdelya Metod relaksaciyi Bagatositkovij metod Metod Montante Metod Abramova vikoristovuyetsya dlya rozv yazuvannya nevelikih sistem Metod uzagalnennya minimalnih lishkiv Metod bispryazhenih gradiyentiv Stabilizovanij metod bispryazhenih gradiyentiv Kvadratichnij metod spryazhenih gradiyentiv Metod kvazi minimalnih lishkiv Sistemi linijnih nerivnostej RedaguvatiPoryad z rivnyannyami suttyevu rol u vsih rozdilah suchasnoyi matematiki grayut nerivnosti Rozv yazannya bagatoh zadach zvoditsya do rozv yazannya nerivnostej abo yihnih sistem Nerivnist F x 1 x 2 x n F x 1 x 2 x n displaystyle F x 1 x 2 x n lor Phi x 1 x 2 x n nbsp 1 nazivayut algebrayichnoyu yaksho funkciyi F x 1 x 2 x n displaystyle F x 1 x 2 x n nbsp ta F x 1 x 2 x n displaystyle Phi x 1 x 2 x n nbsp mnogochleni vidpovidno stepenya m z n nevidomimi Zokrema yaksho F x 1 x 2 x n displaystyle F x 1 x 2 x n nbsp ta F x 1 x 2 x n displaystyle Phi x 1 x 2 x n nbsp lijnijni funkciyi tobto mnogochleni pershogo stepenya to nerivnist 1 nazivayetsya linijnoyu Inakshe kazhuchi linijnimi nazivayut nerivnosti u yakih nevidomi tilki pershogo stepenya Takimi napriklad ye nerivnosti x 2 32 y z 3 0 displaystyle x 2 32y z sqrt 3 geqslant 0 nbsp ta 9097580232 x 98052 y 89512 0 displaystyle 9097580232x 98052y 89512 leqslant 0 nbsp Pershe z nih linijna nerivnist z troma nevidomimi druga z dvoma Linijna nerivnist z n nevidomimi u zagalnomu viglyadi zapisuyetsya tak a 1 x 1 a 2 x 2 a n x n a 0 displaystyle a 1 x 1 a 2 x 2 a n x n a leqslant 0 nbsp Programne zabezpechennya RedaguvatiMetodi rozv yazannya sistem linijnih algebrayichnih rivnyan vhodyat do skladu chislennih matematichnih program na zrazok Mathematica Maple Matlab ta inshih Okremimi nezalezhnimi bibliotekami pidprogram sho nadayut taki mozhlivosti ye zokrema Linpack ta LAPACK Vidpovidnij modul ye takozh u GNU Scientific Library IMSL NAG Posilannya RedaguvatiSistemi linijnih rivnyan Visha matematika v prikladah i zadachah Klepko V Yu Golec V L 2 ge vidannya K Centr uchbovoyi literaturi 2009 S 30 33 594 s WebApp sho rozv yazuye sistemi linijnih algebrayichnih rivnyan riznimi metodami z poyasnennyami proceduri rozv yazku nedostupne posilannya z travnya 2019 Onlajnovij rozv yazuvach She odin onlajnovij rozv yazuvach Onlajnovij kalkulyator dlya sistem linijnih rivnyanDiv takozh Redaguvati nbsp Portal Matematika Obernena matricya Psevdoobernena matricya Teorema Kronekera KapelliDzherela RedaguvatiGantmaher F R Teoriya matric 5 e M Fizmatlit 2010 559 s ISBN 5 9221 0524 8 ros Gelfand I M Lekcii po linejnoj algebre 5 e Moskva Nauka 1998 320 s ISBN 5791300158 ros Malcev A I Osnovy linejnoj algebry 3 e izd Novosibirsk Nauka 1970 400 s ros Ilin V A Poznyak E G Linejnaya algebra Uchebnik dlya vuzov 6 e izd ster M FIZMATLIT 2004 280 s Vinoski Redaguvati V mezhah ciyeyi statti koeficiyenti sistemi vilni chleni ta nevidomi vvazhayutsya dijsnimi chislami hocha voni mozhut buti kompleksnimi abo navit skladnishimi matematichnimi ob yektami z umovoyu sho dlya nih viznacheni operaciyi mnozhennya i dodavannya Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Sistema linijnih algebrayichnih rivnyan amp oldid 37009053