Діагональна матриця — квадратна матриця, всі недіагональні елементи якої дорівнюють нулю.
Більш формально, діагональною називають таку матрицю , що .
Можна також записати
де — символ Кронекера.
Одинична матриця діагональна за визначенням.
Властивості Редагувати
- Сума, добуток та обернена матриця(якщо існує) діагональних матриць є діагональною матрицею. Діагональні матриці утворюють підкільце в кільці симетричних матриць:
- Визначник діагональної матриці дорівнює добутку всіх елементів головної діагоналі.
- В матриці власними значеннями є з власними векторами .
- Достатньою умовою приведення матриці до діагонального вигляду є попарна відмінність всіх власних значень матриці.
Застосування Редагувати
- Довільна квадратна матриця є подібною до діагональної матриці тоді і тільки тоді, коли в неї всі власні вектори лінійно незалежні. Такі матриці називають діагоналізовними.
Над полем дійсних чи комплексних чисел справедливі й такі твердження:
- відповідно до спектральної теореми довільна нормальна матриця унітарно подібна до діагональної матриці
- відповідно до сингулярного представлення матриці для довільної матриці існують унітарні матриці U та V такі що матриця U*AV є діагональною з додатніми елементами
Див. також Редагувати
Джерела Редагувати
- Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е. — М: : Физматлит, 2010. — 559 с. — ISBN 5-9221-0524-8.(рос.)