www.wikidata.uk-ua.nina.az

Нормальна матриця Квадратна матриця A displaystyle A з комплексними елементами називається нормальною якщо вона є перест

Нормальна матриця

Квадратна матриця з комплексними елементами називається нормальною, якщо вона є переставною зі своєю спряженою матрицею:

Розклад матриці за допомогою власних векторів Редагувати

Матриця є нормальною тоді і тільки тоді, коли існує унітарна матриця та діагональна матриця , що виконується:

Ця формула називається розкладом матриці за її власними векторами, тому що для матриць та справедливі такі властивості:

Властивості Редагувати

  • Якщо — нормальна матриця, то в матриць власні вектори будуть однаковими, а власні значення — комплексно-спряженими:
  • Нормальні матриці є переставними тоді і тільки тоді, коли всі їх власні вектори є спільними:
  • Наслідок з попередньої властивості: якщо матриці є нормальними та переставними, тоді матриці:

Часткові випадки Редагувати

Всі комплексні унітарні, ермітові косоермітові матриці є нормальними матрицями. Також всі дійсні ортогональні, симетричні кососиметричні матриці є нормальними матрицями.

Зв'язок з комплексними числами Редагувати

Якщо вважати нормальні матриці узагальненням комплексних чисел, то в такому випадку:

Приклади Редагувати

Матриця є нормальною, оскільки

Але вона не є ні унітарною, ні ермітовою, ні косо-ермітовою.

Якщо матриця є трикутною і нормальною, тоді вона — діагональна.

Див. також Редагувати

Джерела Редагувати

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Kvadratna matricya A displaystyle A z kompleksnimi elementami nazivayetsya normalnoyu yaksho vona ye perestavnoyu zi svoyeyu spryazhenoyu matriceyu A A A A displaystyle A A AA Zmist 1 Rozklad matrici za dopomogoyu vlasnih vektoriv 2 Vlastivosti 3 Chastkovi vipadki 4 Zv yazok z kompleksnimi chislami 5 Prikladi 6 Div takozh 7 DzherelaRozklad matrici za dopomogoyu vlasnih vektoriv RedaguvatiMatricya A displaystyle A nbsp ye normalnoyu todi i tilki todi koli isnuye unitarna matricya U displaystyle U nbsp ta diagonalna matricya L displaystyle Lambda nbsp sho vikonuyetsya A U L U displaystyle A U Lambda U nbsp Cya formula nazivayetsya rozkladom matrici za yiyi vlasnimi vektorami tomu sho dlya matric U displaystyle U nbsp ta L displaystyle Lambda nbsp spravedlivi taki vlastivosti L d i a g l 1 l 2 displaystyle Lambda diag lambda 1 lambda 2 dots nbsp elementi na golovnij diagonali ye vlasnimi znachennyami matrici A displaystyle A nbsp Stovpci matrici U displaystyle U nbsp ye vlasnimi vektorami matrici A displaystyle A nbsp roztashovani vidpovidno do svoyih vlasnih znachen Vlastivosti RedaguvatiYaksho A displaystyle A nbsp normalna matricya to v matric A A displaystyle A A nbsp vlasni vektori budut odnakovimi a vlasni znachennya kompleksno spryazhenimi A U L U A U L U displaystyle A U Lambda U quad Rightarrow quad A U Lambda U nbsp Dlya dovilnoyi kvadratnoyi matrici A displaystyle A nbsp isnuye polyarnij rozklad A P U displaystyle A PU nbsp Matricya A displaystyle A nbsp bude normalnoyu todi i tilki todi koli P U displaystyle P U nbsp budut perestavnimi A A A A P U U P displaystyle A A AA iff PU UP nbsp Dovilnu kvadratnu matricyu A displaystyle A nbsp mozhna predstaviti cherez dvi ermitovi matrici A H 1 i H 2 displaystyle A H 1 iH 2 nbsp Matricya A displaystyle A nbsp bude normalnoyu todi i tilki todi koli matrici H 1 H 2 displaystyle H 1 H 2 nbsp budut perestavnimi A A A A H 1 H 2 H 2 H 1 displaystyle A A AA iff H 1 H 2 H 2 H 1 nbsp Normalni matrici A B displaystyle A B nbsp ye perestavnimi todi i tilki todi koli vsi yih vlasni vektori ye spilnimi A B B A U L 1 L 2 A U L 1 U B U L 2 U displaystyle AB BA quad iff quad exists U Lambda 1 Lambda 2 quad A U Lambda 1 U quad B U Lambda 2 U nbsp cya vlastivist uzagalnyuyetsya na dovilnu kilkist poparno perestavnih normalnih matric Naslidok z poperednoyi vlastivosti yaksho matrici A B displaystyle A B nbsp ye normalnimi ta perestavnimi todi matrici A B A B k A displaystyle AB A B kA nbsp tezh budut normalnimi ta perestavnimi Chastkovi vipadki RedaguvatiVsi kompleksni unitarni ermitovi kosoermitovi matrici ye normalnimi matricyami Takozh vsi dijsni ortogonalni simetrichni kososimetrichni matrici ye normalnimi matricyami Zv yazok z kompleksnimi chislami RedaguvatiYaksho vvazhati normalni matrici uzagalnennyam kompleksnih chisel to v takomu vipadku unitarni matrici ye analogom kompleksnih chisel rivnih po modulyu odinici ermitovi matrici ye analogom dijsnih chisel dodatnooznacheni matrici ye analogom dodatnih chisel antiermitovi matrici analogom chisto uyavnih chisel Prikladi RedaguvatiMatricya A 1 1 0 0 1 1 1 0 1 displaystyle A begin pmatrix 1 amp 1 amp 0 0 amp 1 amp 1 1 amp 0 amp 1 end pmatrix nbsp ye normalnoyu oskilki A A 2 1 1 1 2 1 1 1 2 A A displaystyle AA begin pmatrix 2 amp 1 amp 1 1 amp 2 amp 1 1 amp 1 amp 2 end pmatrix A A nbsp Ale vona ne ye ni unitarnoyu ni ermitovoyu ni koso ermitovoyu Yaksho matricya ye trikutnoyu i normalnoyu todi vona diagonalna Div takozh RedaguvatiTeoriya matric Komutator matematika Dzherela RedaguvatiGantmaher F R Teoriya matric 5 e M Fizmatlit 2010 559 s ISBN 5 9221 0524 8 ros Lankaster P Teoriya matric Moskva Nauka 1973 280 s ros R Horn Ch Dzhonson Matrichnyj analiz M Mir 1989 653 s ros Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Normalna matricya amp oldid 36887599