www.wikidata.uk-ua.nina.az

Розклад Холецького представлення симетричної додатноозначеної матриці у вигляді A L L T displaystyle A LL T де L display

Розклад Холецького

Розклад Холецького — представлення симетричної додатноозначеної матриці у вигляді де — нижня трикутна матриця з додатніми елементами на діагоналі.

Для симетричних матриць розклад Холецького завжди існує і, для додатноозначених матриць, він єдиний. Для невід'ємновизначених матриць розклад не єдиний.

Для матриць з комплексними елементами: якщо — додатноозначена ермітова матриця, то існує розклад

Розклад названий в честь французького математика Андре-Луї Холецького[en] (1875-1918).

Алгоритм Редагувати

Елементи матриці можна обчислити, починаючи з верхнього лівого кута, за формулами:

Вираз під коренем завжди додатній, якщо — дійсна додатновизначена матриця.

Для комплекснозначних ермітових матриць використовуються формули:

LDL-розклад Редагувати

Пов'язаним із розкладом Холецького є LDL-розклад:

де — одинична нижня трикутна матриця; — діагональна матриця.

Застосування Редагувати

Розклад Холецького може застосовуватись для розв'язку системи лінійних рівнянь з симетричною додатноозначеною матрицею. Такі матриці часто виникають, наприклад, при використанні методу найменших квадратів чи числовому розв'язуванні диференціальних рівнянь.

Виконавши розклад , розв'язок отримаємо послідовно розв'язавши дві трикутні СЛАР: та . Такий спосіб розв'язку називають методом квадратних коренів. Порівняно з загальнішими методами: метод Гауса чи LU-розклад матриці, він стійкіший і потребує вдвічі менше арифметичних операцій.

Джерела Редагувати

  • Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е. — М: : Физматлит, 2010. — 559 с. — ISBN 5-9221-0524-8.(рос.)


Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Rozklad Holeckogo predstavlennya simetrichnoyi dodatnooznachenoyi matrici u viglyadi A L L T displaystyle A LL T de L displaystyle L nizhnya trikutna matricya z dodatnimi elementami na diagonali Dlya simetrichnih matric rozklad Holeckogo zavzhdi isnuye i dlya dodatnooznachenih matric vin yedinij Dlya nevid yemnoviznachenih matric rozklad ne yedinij Dlya matric z kompleksnimi elementami yaksho A displaystyle A dodatnooznachena ermitova matricya to isnuye rozklad A L L displaystyle A LL Rozklad nazvanij v chest francuzkogo matematika Andre Luyi Holeckogo en 1875 1918 Zmist 1 Algoritm 2 LDL rozklad 3 Zastosuvannya 4 DzherelaAlgoritm RedaguvatiElementi matrici L displaystyle L nbsp mozhna obchisliti pochinayuchi z verhnogo livogo kuta za formulami L i i A i i k 1 i 1 L i k 2 displaystyle L ii sqrt A ii sum k 1 i 1 L ik 2 nbsp L i j 1 L j j A i j k 1 j 1 L i k L j k displaystyle L ij frac 1 L jj left A ij sum k 1 j 1 L ik L jk right nbsp yaksho j lt i displaystyle j lt i nbsp Viraz pid korenem zavzhdi dodatnij yaksho A displaystyle A nbsp dijsna dodatnoviznachena matricya Dlya kompleksnoznachnih ermitovih matric vikoristovuyutsya formuli L i i A i i k 1 i 1 L i k L i k displaystyle L ii sqrt A ii sum k 1 i 1 L ik L i k nbsp L i j 1 L j j A i j k 1 j 1 L i k L j k displaystyle L ij frac 1 L jj left A ij sum k 1 j 1 L ik L jk right nbsp yaksho j lt i displaystyle j lt i nbsp LDL rozklad RedaguvatiPov yazanim iz rozkladom Holeckogo ye LDL rozklad A L D L T displaystyle A LDL T nbsp de L displaystyle L nbsp odinichna nizhnya trikutna matricya D displaystyle D nbsp diagonalna matricya D j A j j k 1 j 1 L j k 2 D k displaystyle D j A jj sum k 1 j 1 L jk 2 D k nbsp L i j 1 D j A i j k 1 j 1 L i k L j k D k displaystyle L ij frac 1 D j left A ij sum k 1 j 1 L ik L jk D k right nbsp yaksho j lt i displaystyle j lt i nbsp Zastosuvannya RedaguvatiRozklad Holeckogo mozhe zastosovuvatis dlya rozv yazku sistemi linijnih rivnyan A x b displaystyle Ax b nbsp z simetrichnoyu dodatnooznachenoyu matriceyu Taki matrici chasto vinikayut napriklad pri vikoristanni metodu najmenshih kvadrativ chi chislovomu rozv yazuvanni diferencialnih rivnyan Vikonavshi rozklad A L L T displaystyle A LL T nbsp rozv yazok x displaystyle x nbsp otrimayemo poslidovno rozv yazavshi dvi trikutni SLAR L y b displaystyle Ly b nbsp ta L T x y displaystyle L T x y nbsp Takij sposib rozv yazku nazivayut metodom kvadratnih koreniv Porivnyano z zagalnishimi metodami metod Gausa chi LU rozklad matrici vin stijkishij i potrebuye vdvichi menshe arifmetichnih operacij Dzherela RedaguvatiGantmaher F R Teoriya matric 5 e M Fizmatlit 2010 559 s ISBN 5 9221 0524 8 ros nbsp Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Rozklad Holeckogo amp oldid 40538738