www.wikidata.uk-ua.nina.az

Теореми про ізоморфізми це три теореми в абстрактній алгебрі що описують зв язок між гомоморфізмами фактор множинами і п

Теореми про ізоморфізми

Теореми про ізоморфізми — це три теореми в абстрактній алгебрі, що описують зв'язок між гомоморфізмами, фактор-множинами і під-об'єктами.

Існують версії цих теорем для груп, кілець, модулів, векторних просторів, алгебр Лі та інших алгебраїчних структур. В універсальній алгебрі ці теореми узагальнюються через алгебри довільної сигнатури і конгруенції.

Групи Редагувати

Перша теорема Редагувати

Якщо гомоморфізм груп, тоді:

  1. Ядро є нормальною підгрупою в ;
  2. Образ є підгрупою в ;
  3. Образ є ізоморфним до фактор-групи .

Друга теорема Редагувати

Якщо  — група,  — підгрупа в ,  — нормальна підгрупа в , тоді:

  1. Добуток є підгрупою в ;
  2. Перетин є нормальною підгрупою в ;
  3. Фактор-групи та є ізоморфними.

Третя теорема Редагувати

Якщо  — група, ,  — нормальні підгрупи в , такі що , тоді:

  1. є нормальною підгрупою в ;
  2. Фактор-група ізоморфна до .

Кільця Редагувати

Зміст теорем для кілець є подібним, але поняття нормальної підгрупи замінюється на ідеалом кільця.

Перша теорема Редагувати

Якщо гомоморфізм кілець, тоді:

  1. Ядро є ідеалом в ;
  2. Образ є підкільцем в ;
  3. Образ є ізоморфним до фактор-кільця .

Друга теорема Редагувати

Якщо  — кільце,  — підкільце в ,  — ідеал в , тоді:

  1. Сума є підкільцем в ;
  2. Перетин є ідеалом в ;
  3. Фактор-кільця та є ізоморфними.

Третя теорема Редагувати

Якщо  — кільце, ,  — ідеали , такі що , тоді:

  1. є ідеалом в ;
  2. Фактор-кільце ізоморфно до .

Модулі Редагувати

Теореми про ізоморфізм для векторних просторів та абелевих груп є частковим випадком теорем для модулів. Для векторних просторів детальніше див. Ядро та образ лінійного оператора.

Перша теорема Редагувати

Якщо гомоморфізм модулів, тоді:

  1. Ядро є підмодулем в ;
  2. Образ є підмодулем в ;
  3. Образ є ізоморфним до фактор-модуля .

Друга теорема Редагувати

Якщо  — модуль, ,  — підмодулі в , тоді:

  1. Сума є підмодулем в ;
  2. Перетин є підмодулем в ;
  3. Фактор-модулі та є ізоморфними.

Третя теорема Редагувати

Якщо  — модуль, ,  — підмодулі в , такі що , тоді:

  1. є підмодулем в ;
  2. Фактор-множина ізоморфна до .

Див. також Редагувати

Джерела Редагувати

  • Кон П. Универсальная алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 351 с.(рос.)
  • Джозеф Ротман[en]. An Introduction to the Theory of Groups. — 4th. — Springer (Graduate Texts in Mathematics), 1994. — 532 с. — ISBN 978-0387942858.(англ.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Teoremi pro izomorfizmi ce tri teoremi v abstraktnij algebri sho opisuyut zv yazok mizh gomomorfizmami faktor mnozhinami i pid ob yektami Isnuyut versiyi cih teorem dlya grup kilec moduliv vektornih prostoriv algebr Li ta inshih algebrayichnih struktur V universalnij algebri ci teoremi uzagalnyuyutsya cherez algebri dovilnoyi signaturi i kongruenciyi Zmist 1 Grupi 1 1 Persha teorema 1 2 Druga teorema 1 3 Tretya teorema 2 Kilcya 2 1 Persha teorema 2 2 Druga teorema 2 3 Tretya teorema 3 Moduli 3 1 Persha teorema 3 2 Druga teorema 3 3 Tretya teorema 4 Div takozh 5 DzherelaGrupi RedaguvatiPersha teorema Redaguvati Yaksho f G H displaystyle varphi colon G to H nbsp gomomorfizm grup todi Yadro f displaystyle varphi nbsp ye normalnoyu pidgrupoyu v G displaystyle G nbsp Obraz f displaystyle varphi nbsp ye pidgrupoyu v H displaystyle H nbsp Obraz f displaystyle varphi nbsp ye izomorfnim do faktor grupi G ker f displaystyle G big ker varphi nbsp Druga teorema Redaguvati Yaksho G displaystyle G nbsp grupa S displaystyle S nbsp pidgrupa v G displaystyle G nbsp N displaystyle N nbsp normalna pidgrupa v G displaystyle G nbsp todi Dobutok S N displaystyle SN nbsp ye pidgrupoyu v G displaystyle G nbsp Peretin S N displaystyle S cap N nbsp ye normalnoyu pidgrupoyu v S displaystyle S nbsp Faktor grupi S N N displaystyle SN N nbsp ta S S N displaystyle S S cap N nbsp ye izomorfnimi Tretya teorema Redaguvati Yaksho G displaystyle G nbsp grupa N displaystyle N nbsp K displaystyle K nbsp normalni pidgrupi v G displaystyle G nbsp taki sho K N displaystyle K subseteq N nbsp todi N K displaystyle N big K nbsp ye normalnoyu pidgrupoyu v G K displaystyle G big K nbsp Faktor grupa G K N K displaystyle G big K Big N big K nbsp izomorfna do G N displaystyle G big N nbsp Kilcya RedaguvatiZmist teorem dlya kilec ye podibnim ale ponyattya normalnoyi pidgrupi zaminyuyetsya na idealom kilcya Persha teorema Redaguvati Yaksho f R S displaystyle varphi colon R to S nbsp gomomorfizm kilec todi Yadro f displaystyle varphi nbsp ye idealom v R displaystyle R nbsp Obraz f displaystyle varphi nbsp ye pidkilcem v S displaystyle S nbsp Obraz f displaystyle varphi nbsp ye izomorfnim do faktor kilcya R ker f displaystyle R big ker varphi nbsp Druga teorema Redaguvati Yaksho R displaystyle R nbsp kilce S displaystyle S nbsp pidkilce v R displaystyle R nbsp I displaystyle I nbsp ideal v R displaystyle R nbsp todi Suma S I displaystyle S I nbsp ye pidkilcem v R displaystyle R nbsp Peretin S I displaystyle S cap I nbsp ye idealom v R displaystyle R nbsp Faktor kilcya S I I displaystyle S I big I nbsp ta S S I displaystyle S big S cap I nbsp ye izomorfnimi Tretya teorema Redaguvati Yaksho R displaystyle R nbsp kilce A displaystyle A nbsp B displaystyle B nbsp ideali R displaystyle R nbsp taki sho B A displaystyle B subseteq A nbsp todi A B displaystyle A big B nbsp ye idealom v R B displaystyle R big B nbsp Faktor kilce R B A B displaystyle R big B Big A big B nbsp izomorfno do R A displaystyle R big A nbsp Moduli RedaguvatiTeoremi pro izomorfizm dlya vektornih prostoriv ta abelevih grup ye chastkovim vipadkom teorem dlya moduliv Dlya vektornih prostoriv detalnishe div Yadro ta obraz linijnogo operatora Persha teorema Redaguvati Yaksho f M N displaystyle varphi colon M to N nbsp gomomorfizm moduliv todi Yadro f displaystyle varphi nbsp ye pidmodulem v M displaystyle M nbsp Obraz f displaystyle varphi nbsp ye pidmodulem v N displaystyle N nbsp Obraz f displaystyle varphi nbsp ye izomorfnim do faktor modulya M ker f displaystyle M big ker varphi nbsp Druga teorema Redaguvati Yaksho M displaystyle M nbsp modul S displaystyle S nbsp T displaystyle T nbsp pidmoduli v M displaystyle M nbsp todi Suma S T displaystyle S T nbsp ye pidmodulem v M displaystyle M nbsp Peretin S T displaystyle S cap T nbsp ye pidmodulem v M displaystyle M nbsp Faktor moduli S T T displaystyle S T big T nbsp ta S S T displaystyle S big S cap T nbsp ye izomorfnimi Tretya teorema Redaguvati Yaksho M displaystyle M nbsp modul S displaystyle S nbsp T displaystyle T nbsp pidmoduli v M displaystyle M nbsp taki sho T S displaystyle T subseteq S nbsp todi S T displaystyle S big T nbsp ye pidmodulem v M T displaystyle M big T nbsp Faktor mnozhina M T S T displaystyle M big T Big S big T nbsp izomorfna do M S displaystyle M big S nbsp Div takozh RedaguvatiTeorema pro gomomorfizmiDzherela RedaguvatiKurosh A G Obshaya algebra M Mir 1970 162 s ros Kon P Universalnaya algebra Moskva Mir 1968 351 s ros Dzhozef Rotman en An Introduction to the Theory of Groups 4th Springer Graduate Texts in Mathematics 1994 532 s ISBN 978 0387942858 angl Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Teoremi pro izomorfizmi amp oldid 38063641