www.wikidata.uk-ua.nina.az

Група кіс 1 2 група що абстрактно описує плетіння кіс Подібним чином теорія вузлів пов язана з вузлами Групу кіс на n ни

Група кіс

Група кіс — група, що абстрактно описує плетіння кіс. Подібним чином теорія вузлів пов'язана з вузлами.

Групу кіс на n нитках зазвичай позначають Bn.

Історія Редагувати

Групу кіс уперше явно описав Еміль Артін 1925 року.

Інтуїтивний опис Редагувати

Розглянемо випадок n = 4, з цього прикладу легко буде зрозуміти, що являє собою довільна група кіс. Розглянемо дві паралельні прямі (на малюнку вони розташовані вертикально), на кожній з яких лежить по чотири пронумеровані точки, так що точки з однаковими номерами знаходяться одна проти одної. Розіб'ємо точки на пари і за допомогою ниток з'єднаємо їх. Якщо зобразити картинку на площині, деякі нитки можуть під іншими (можна вважати, що нитки завжди перетинаються трансверсально). При цьому важливо враховувати порядок проходження ниток у точці перетину:

     відрізняється від  

З іншого боку, дві такі конфігурації, які можна зробити однаковими, переміщенням ниток, що не зачіпає кінцеві точки, ми вважатимемо однаковими:

     не відрізняється від  

Всі нитки повинні бути напрямлені зліва направо, тобто кожна з ниток може перетинати вертикальну пряму (паралельну до прямих з пронумерованими точками) не більше ніж в одній точці:

      не є косою.

Для двох кіс можна розглянути їх композицію, намалювавши другу поряд з першою, тобто склеївши відповідні чотири пари кінцевих точок:

     ×      =   

Множину всіх кіс із 4 ниток позначають B4. Описане з'єднання ниток є груповою операцією.

Група B4 — це фактор-множина всіх таких конфігурацій на чотирьох парах точок за відношенням еквівалентності, заданим неперервними перетвореннями площини, на якому зазначеним вище способом задано групову операцію. Ця операція задовольняє всім аксіомам групи; зокрема, нейтральний елемент — клас еквівалентності чотирьох паралельних ниток і для кожного елемента обернений до нього можна отримати симетрією відносно вертикальної прямої.

Визначення Редагувати

Строго формалізувати наведений вище опис можна кількома способами:

Зокрема, будь-який елемент B4 можна записати як композицію таких трьох елементів (і обернених до них):

        
  σ1
  σ2
  σ3

Щоб зрозуміти, чому це інтуїтивно очевидно, «проскануємо» картинку, переміщуючи вертикальну пряму зліва направо. Кожен раз, коли i-а зверху (на даній прямій) нитка проходить під (i + 1)-ю, будемо писати σi, а якщо над (i + 1)-ю, то σi−1.

Очевидно, що виконується співвідношення σ1σ3 = σ3σ1, тоді як трохи складніше побачити, що σ1σ2σ1 = σ2σ1σ2 (переконатися в цьому найпростіше, намалювавши лінії на аркуші паперу).

Можна довести, що всі співвідношення між елементами групи кіс випливають зі співвідношень такого вигляду.

Властивості Редагувати

  • Група B1 тривіальна, B2 нескінченна (як і всі наступні групи кіс) і ізоморфна Z, B3 ізоморфна групі вузла трилисника.
  • Всі елементи Bn, крім нейтрального, мають нескінченний порядок; тобто Bn не має кручення.
  • Існує сюр'єктивний гомоморфізм Bn → Sn з групи кіс у групу перестановок. Дійсно, кожному елементу групи Bn можна зіставити перестановку множини n вершин, за якої лівому кінцю кожної «нитки» зіставляється правий її кінець.
  • Групу кіс можна визначити як групу класів відображень диска з виколотими точками. Точніше, група кіс із n нитками природним чином ізоморфна групі класів перетворень диска n виколотими точками.

Примітки Редагувати

  1. Волошина Т.В. Групи кіс, способи їх задання та застосування / Т.В. Волошина, Б.Б. Кочулап // Збірник тез IX Міжнародної науково-практичної конференції «Математика. Інформаційні технології. Освіта». – Луцьк, 2020. – С. 11-13.
  2. Робоча програма навчальної дисципліни "Екзотичні статистики"
  3. Artin E. Theorie der Zopfe, Abh. Math. Sem. Hamburg Univ. 4(1925), 47-72.

Література Редагувати

  • Deligne, Pierre (1972). Les immeubles des groupes de tresses généralisés. Inventiones Mathematicae 17 (4): 273–302. ISSN 0020-9910. MR 0422673. doi:10.1007/BF01406236. 
  • Birman, Joan, and Brendle, Tara E., «Braids: A Survey», revised 26 February 2005. In Menasco and Thistlethwaite.
  • Carlucci, Lorenzo; Dehornoy, Patrick; and Weiermann, Andreas, «Unprovability results involving braids» [ 5 жовтня 2018 у Wayback Machine.], 23 November 2007
  • Kassel, Christian; and Turaev, Vladimir, Braid Groups, Springer, 2008. ISBN 0-387-33841-1
  • Menasco, W., and Thistlethwaite, M., (editors), Handbook of Knot Theory, Amsterdam: Elsevier, 2005. ISBN 0-444-51452-X

Посилання Редагувати

  • на Algebraic Cryptography Center Містить велику бібліотеку для обчислень за допомогою груп кіс
  • P. Fabel, , Journal of Knot Theory and its Ramifications, Vol. 14, No. 8 (2005) 979—991
  • P. Fabel, , Journal of Knot Theory and its Ramifications, Vol. 15, No. 1 (2006) 21-29
  • Chernavskii, A.V. (2001), «Braid theory», in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
  • Java-застосунок [ 4 червня 2013 у Wayback Machine.], що моделює групу B5.
  • C. Nayak і F. Wilczek про зв'язок проективних груп кіс з дробовим квантовим ефектом Холла[1] [ 5 жовтня 2018 у Wayback Machine.]
  • Презентація C. V. Nayak для FradkinFest[2]
  • Критика N. Read'ом реальності репрезентації Wilczek-Nayak[3] [ 5 жовтня 2018 у Wayback Machine.]
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Grupa kis 1 2 grupa sho abstraktno opisuye pletinnya kis Podibnim chinom teoriya vuzliv pov yazana z vuzlami Grupu kis na n nitkah zazvichaj poznachayut Bn Zmist 1 Istoriya 2 Intuyitivnij opis 3 Viznachennya 4 Vlastivosti 5 Primitki 6 Literatura 7 PosilannyaIstoriya RedaguvatiGrupu kis upershe yavno opisav Emil Artin 1925 roku 3 Intuyitivnij opis RedaguvatiRozglyanemo vipadok n 4 z cogo prikladu legko bude zrozumiti sho yavlyaye soboyu dovilna grupa kis Rozglyanemo dvi paralelni pryami na malyunku voni roztashovani vertikalno na kozhnij z yakih lezhit po chotiri pronumerovani tochki tak sho tochki z odnakovimi nomerami znahodyatsya odna proti odnoyi Rozib yemo tochki na pari i za dopomogoyu nitok z yednayemo yih Yaksho zobraziti kartinku na ploshini deyaki nitki mozhut pid inshimi mozhna vvazhati sho nitki zavzhdi peretinayutsya transversalno Pri comu vazhlivo vrahovuvati poryadok prohodzhennya nitok u tochci peretinu nbsp vidriznyayetsya vid nbsp Z inshogo boku dvi taki konfiguraciyi yaki mozhna zrobiti odnakovimi peremishennyam nitok sho ne zachipaye kincevi tochki mi vvazhatimemo odnakovimi nbsp ne vidriznyayetsya vid nbsp Vsi nitki povinni buti napryamleni zliva napravo tobto kozhna z nitok mozhe peretinati vertikalnu pryamu paralelnu do pryamih z pronumerovanimi tochkami ne bilshe nizh v odnij tochci nbsp ne ye kosoyu Dlya dvoh kis mozhna rozglyanuti yih kompoziciyu namalyuvavshi drugu poryad z pershoyu tobto skleyivshi vidpovidni chotiri pari kincevih tochok nbsp nbsp nbsp Mnozhinu vsih kis iz 4 nitok poznachayut B4 Opisane z yednannya nitok ye grupovoyu operaciyeyu Grupa B4 ce faktor mnozhina vsih takih konfiguracij na chotiroh parah tochok za vidnoshennyam ekvivalentnosti zadanim neperervnimi peretvorennyami ploshini na yakomu zaznachenim vishe sposobom zadano grupovu operaciyu Cya operaciya zadovolnyaye vsim aksiomam grupi zokrema nejtralnij element klas ekvivalentnosti chotiroh paralelnih nitok i dlya kozhnogo elementa obernenij do nogo mozhna otrimati simetriyeyu vidnosno vertikalnoyi pryamoyi Viznachennya RedaguvatiStrogo formalizuvati navedenij vishe opis mozhna kilkoma sposobami Geometrichnij sposib vikoristovuye ponyattya gomotopiyi a same Bn viznachayetsya yak fundamentalna grupa prostoru n tochkovih pidmnozhin na ploshini z prirodnoyu topologiyeyu Takozh mozhna dati chisto algebraichnij opis zadavshi tvirni i spivvidnoshennya Napriklad Bn mozhna zadati n 1 tvirnoyu i n n 1 2 displaystyle tfrac n cdot n 1 2 nbsp spivvidnoshennyami B n s 1 s n 1 s i s i 1 s i s i 1 s i s i 1 pri 1 i n 2 i s i s j s j s i dlya i j 2 displaystyle B n langle sigma 1 ldots sigma n 1 mid sigma i sigma i 1 sigma i sigma i 1 sigma i sigma i 1 text pri 1 leq i leq n 2 text i sigma i sigma j sigma j sigma i text dlya i j geq 2 rangle nbsp Zokrema bud yakij element B4 mozhna zapisati yak kompoziciyu takih troh elementiv i obernenih do nih nbsp nbsp nbsp s1 s2 s3Shob zrozumiti chomu ce intuyitivno ochevidno proskanuyemo kartinku peremishuyuchi vertikalnu pryamu zliva napravo Kozhen raz koli i a zverhu na danij pryamij nitka prohodit pid i 1 yu budemo pisati si a yaksho nad i 1 yu to si 1 Ochevidno sho vikonuyetsya spivvidnoshennya s1s3 s3s1 todi yak trohi skladnishe pobachiti sho s1s2s1 s2s1s2 perekonatisya v comu najprostishe namalyuvavshi liniyi na arkushi paperu Mozhna dovesti sho vsi spivvidnoshennya mizh elementami grupi kis viplivayut zi spivvidnoshen takogo viglyadu Vlastivosti RedaguvatiGrupa B1 trivialna B2 neskinchenna yak i vsi nastupni grupi kis i izomorfna Z B3 izomorfna grupi vuzla trilisnika Vsi elementi Bn krim nejtralnogo mayut neskinchennij poryadok tobto Bn ne maye kruchennya Isnuye syur yektivnij gomomorfizm Bn Sn z grupi kis u grupu perestanovok Dijsno kozhnomu elementu grupi Bn mozhna zistaviti perestanovku mnozhini n vershin za yakoyi livomu kincyu kozhnoyi nitki zistavlyayetsya pravij yiyi kinec Yadro cogo gomomorfizmu nazivayetsya grupoyu farbovanih kis vona zazvichaj poznachayetsya P n displaystyle P n nbsp Dlya grup farbovanih kis isnuye korotka tochna poslidovnist F n 1 P n P n 1 displaystyle F n 1 to P n to P n 1 nbsp de F n 1 displaystyle F n 1 nbsp poznachaye vilnu grupu z n 1 displaystyle n 1 nbsp tvirnoyu Grupu kis mozhna viznachiti yak grupu klasiv vidobrazhen diska z vikolotimi tochkami Tochnishe grupa kis iz n nitkami prirodnim chinom izomorfna grupi klasiv peretvoren diska n vikolotimi tochkami Primitki Redaguvati Voloshina T V Grupi kis sposobi yih zadannya ta zastosuvannya T V Voloshina B B Kochulap Zbirnik tez IX Mizhnarodnoyi naukovo praktichnoyi konferenciyi Matematika Informacijni tehnologiyi Osvita Luck 2020 S 11 13 Robocha programa navchalnoyi disciplini Ekzotichni statistiki Artin E Theorie der Zopfe Abh Math Sem Hamburg Univ 4 1925 47 72 Literatura RedaguvatiDeligne Pierre 1972 Les immeubles des groupes de tresses generalises Inventiones Mathematicae 17 4 273 302 ISSN 0020 9910 MR 0422673 doi 10 1007 BF01406236 Birman Joan and Brendle Tara E Braids A Survey revised 26 February 2005 In Menasco and Thistlethwaite Carlucci Lorenzo Dehornoy Patrick and Weiermann Andreas Unprovability results involving braids Arhivovano 5 zhovtnya 2018 u Wayback Machine 23 November 2007 Kassel Christian and Turaev Vladimir Braid Groups Springer 2008 ISBN 0 387 33841 1 Menasco W and Thistlethwaite M editors Handbook of Knot Theory Amsterdam Elsevier 2005 ISBN 0 444 51452 XPosilannya RedaguvatiCRAG CRyptography and Groups na Algebraic Cryptography Center Mistit veliku biblioteku dlya obchislen za dopomogoyu grup kis P Fabel Completing Artin s braid group on infinitely many strands Journal of Knot Theory and its Ramifications Vol 14 No 8 2005 979 991 P Fabel The mapping class group of a disk with infinitely many holes Journal of Knot Theory and its Ramifications Vol 15 No 1 2006 21 29 Chernavskii A V 2001 Braid theory in Hazewinkel Michiel Encyclopedia of Mathematics Springer ISBN 978 1 55608 010 4 Java zastosunok Arhivovano 4 chervnya 2013 u Wayback Machine sho modelyuye grupu B5 C Nayak i F Wilczek pro zv yazok proektivnih grup kis z drobovim kvantovim efektom Holla 1 Arhivovano 5 zhovtnya 2018 u Wayback Machine Prezentaciya C V Nayak dlya FradkinFest 2 Kritika N Read om realnosti reprezentaciyi Wilczek Nayak 3 Arhivovano 5 zhovtnya 2018 u Wayback Machine Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Grupa kis amp oldid 39532737