www.wikidata.uk-ua.nina.az

Теорема Ролля У диференціальному та інтегральному численні теорема Ролля або лема Ролля стверджує що будь яка дійснознач

Теорема Ролля

У диференціальному та інтегральному численні теорема Ролля, або лема Ролля, стверджує, що будь-яка дійснозначна диференційовна функція, яка досягає рівних значень у двох різних точках, повинна мати принаймні одну стаціонарну точку між ними — тобто точку, де перша похідна (кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції) дорівнює нулю. Теорема названа на честь Мішеля Ролля[en].

Якщо дійснозначна функція неперервна на закритому інтервалі , диференційовна на відкритому інтервалі , і , тоді існує точка така, що .

Формулювання Редагувати

Нехай функція неперервна на проміжку , диференційована в усіх внутрішніх точках проміжку . Нехай, окрім того, . Тоді на проміжку знайдеться принаймні одна точка така, що значення похідної у цій точці дорівнює нулю.

Доведення Редагувати

Оскільки функція неперервна на проміжку , то, згідно з другою теоремою Вейєрштрасса, ця функція досягає на ньому свого максимального значення та мінімального значення . Отже, маємо два випадки:

  1. ;
  2. ;

У першому випадку . Тому похідна дорівнює нулю в будь-якій точці проміжку .

У випадку, коли , оскільки , можна стверджувати, що хоча б одне з двох значень чи досягається функцією в деякій внутрішній точці проміжку . Але тоді функція має у точці локальний екстремум. Оскільки функція диференційовна в точці , то за необхідною умовою локального екстремуму, .

Історія Редагувати

Індійському математику Бхаскару II (1114—1185) приписують знання теореми Ролля. Хоча теорема названа на честь Мішеля Ролля[en], доведення Ролля 1691 року охоплює лише випадок поліноміальних функцій. Його доведення не використовувало методи диференціального числення, які на той момент свого життя він вважав хибними. Теорема вперше була доведена Коші в 1823 році як наслідок доведення теореми Лагранжа. Назва «теорема Ролля» була вперше використана Морицем Вільгельмом Дробішем[en] в Німеччині в 1834 році та Джусто Беллавітісом[en] в Італії в 1846 році.

Приклади Редагувати

Перший приклад Редагувати

Півколо радіуса r.

Для радіуса розглянемо функцію

Графіком цієї функції є верхнє півколо з центром у початку координат. Функція неперервна на закритому інтервалі і диференційовна на відкритому інтервалі , але не диференційовна на кінцевих точках і . Оскільки , то можна використовувати теорему Ролля, і дійсно, є точка де похідна від функції дорівнює нулю. Зауважимо, що теорему можна використовувати навіть тоді, коли функція не є диференційовною у кінцевих точках, оскільки вимагається, щоб вона була диференційовною лише на відкритому інтервалі.

Другий приклад Редагувати

Графік функції модуля.

Якщо диференційовність порушується у внутрішній точці інтервалу, то теореми Ролля може не виконуватися. Розглянемо функцію модуля

Тут , але між та не існує такого для якого . Це тому, що ця функція, хоча і неперервна, але не є диференційовною при . Зауважимо, що похідна від функції змінює знак у точці , але без досягнення нульового значення. Теорему не можна застосувати до цієї функції тому, що вона не задовольняє умову того, що функція повинна бути диференційовною для будь-якого з відкритого інтервалу. Однак, якщо вимогу диференційовності виключити з теореми Ролля, то функція може мати критичну точку на відкритому інтервалі , але не матиме горизонтальної дотичної (як у випадку функції модуля, що зображена на рисунку).

Узагальнення Редагувати

Другий приклад ілюструє наступне узагальнення теореми Ролля: Розглянемо дійснозначну, неперервну функцію на закритому інтервалі з . Якщо для будь-якого на відкритому інтервалі існують правостороння границя

і лівостороння границя

є , а інша (на розширеній дійсній прямій). Якщо ліво- і правостороння границі узгоджуються для будь-якого , тоді вони узгоджуються зокрема для , звідси похідна функції існує у точці і дорівнює нулю.

Зауваження Редагувати

  • Якщо опукла, або увігнута, тоді ліво- та правосторонні похідні існують у будь-якій внутрішній точці, звідси існують вищенаведені границі і вони є дійсними числами.
  • Узагальнена версія теореми є достатнью для доведення опуклості функції, якщо односторонні похідні є монотонно зростаючими:

Доведення узагальненої версії Редагувати

Оскільки доведення стандартної версії теореми Ролля та її узагальнення дуже схожі, доведемо тут лише узагальнений варіант.

Ідея доведення полягає в тому, щоб довести, що якщо , тоді функція має досягати максимуму або мінімуму десь між та , скажімо в точці , і функція має із зростаючої стати спадною (або навпаки) у точці . Зокрема, якщо похідна існує вона має дорівнювати нулю в точці .

Згідно припущення функція є неперервною на і за другою теоремою Веєрштрасса досягає максимуму і мінімуму на . Якщо максимум і мінімум досягнуто в кінцевих точках на , тоді є константою на і похідна від функції дорівнює нулю у будь-якій точці на .

Нехай максимум досягається у внутрішній точці на (випадок для мінімуму дуже схожий, лише необхідно розглянути функцію ). Потрібно розглянути вищезазначені право- та лівосторонні границі окремо.

Для дійсного такого, як , значення менше, або рівне , оскільки функція досягає максимуму в точці . Тому, для будь-якого ,

Звідси

де границя існує за припущенням (може дорівнювати мінус нескінченність). Аналогічно, для будь-якого , нерівність змінюється, оскільки знаменник тепер від'ємний, а тому отримуємо

Звідси

де границя може дорівнювати плюс нескінченність.

Нарешті, коли вищезазначені право- та лівостороння границі узгоджуються (зокрема, якщо є диференційованою), тоді похідна від у точці дорівнює нулю. (Як альтернативу, можемо застосувати теорему Ферма).

Узагальнення на випадок похідних вищих порядків Редагувати

Теорему Ролля можна узагальнити, вимагаючи, щоб функція мала більше точок з однаковими значеннями і більшу регулярність. Зокрема, нехай

  • функція разів неперервно диференційовна на замкненому інтервалі і -на похідна існує на відкритому інтервалі і
  • є інтервалів, що визначаються точками на інтервалі , такі що для будь-якого від до .

Тоді тут є число на таке, що -на похідна функції у точці дорівнює нулю.

Червона крива — це графік функції з трьома коренями на інтервалі . Таким чином, її друга похідна (зображена зеленим кольором) також має корінь на тому ж інтервалі.

Вимоги щодо -ї похідної функції можуть бути послаблені, як у вищезазначеному узагальненні, допускаючи аналогічні (можливо слабші) твердження для вищезазначених право- та лівосторонніх границь для функції замість функції .

Зокрема, ця версія теореми стверджує: якщо диференційовна достатньо разів функція має коренів (тобто існує точок у яких функція дорівнює нулю), тоді тут є внутрішня точка де дорівнює нулю.

Узагальнення на інші поля Редагувати

Теорема Ролля — властивість диференційовних функцій над полем дійсних чисел, яке є впорядкованим полем. У представленому вигляді вона не узагальнюється на інші поля, але наступне твердження має місце: якщо дійсні поліміальні множники функції (мають всі її корені) над полем дійсних чисел, тоді її похідна також має цю властивість. Можна назвати цю властивість поля — властивістю Ролля. Над більш загальними полями не завжди визначають диференційовні функції, але над ними завжди можна розглядати поліноми, які можна диференціювати у символьній формі. Аналогічним чином, над більш загальні полями не завжди визначені поняття порядку, але над цими полями завжди визначено поняття кореня полінома.

Таким чином, теорема Ролля показує, що поле дійсних чисел має властивість Ролля. Будь-яке алгебраїчно замкнене поле таке, як поле комплексних чисел, має властивість Ролля. Однак, поле раціональних чисел не має цієї властивості. Наприклад, розкладається на множники над полем раціональних чисел, але їх похідна ні:

Питання про те, які поля задовольняють властивості Ролля, було піднято у 1972 році Капланським. Щодо скінченних полів відповідь полягає в тому, що тільки поля та мають властивість Ролля.

Щодо комплексної версії використовують індекс Вурхоува[en].

Геометричний зміст теореми Редагувати

Теорема має простий геометричний зміст: якщо кінцеві ординати кривої рівні, то, згідно з теоремою Ролля, на цій кривій знайдеться точка, у якій дотична до кривої паралельна до осі .

Нехай неперервної кривої (тобто образа інтервалу або окружності при неперервному відображенні у площину) у кожній точці існує дотичний вектор. Тоді між двома точками перетину кривої із розділяючим рішенням динамічної системи є тока контакту.

Перетин кривої із розділяючим рішенням є замкненою множиною. Доповнення цієї множини розпадається на (скінченні та нескінченні) інтервали. Кожний скінченний інтервал такого роду містить точку контакту. Нехай та  — параметри кінців такого інтервалу, і передує у сенсі орієнтації кривої. Для усіх проміжних значень параметрів крива лежить у області Існує близький момент часу до , у який впорядкована пара векторів, яка складається з дотичного вектора до кривої та вектора динамічної системи, задає ту саму орієнтацію площини, що й за трансверсального входу кривої у область Оберемо локальну систему координат навколо точки кривої із параметром , у якій векторне поле динамічної системи стале. Нехай у цих локальних координатах , область визначається нерівністю динамічна система має вигляд

розділяюче рішення є а крива задається вектор-функцією По умові за (та ) й Тому у деякий момент, близький до , похідна функції буде додатною. У цей момент впорядкована пара векторів задає потрібну орієнтацію площини.

Теорема є справедливою для -гладких кривих, трансверсально перекриваючих розділяюче рішення. Нехай та  — параметри двох послідокних трансверсальних перетинів кривої із розділяючих рішенням. Це рішення ділить площину на дві (не обов'язково зв'язні) області: область орієнтованою межею якої воно є, та додаткову область Нехай у момент крива входить до області Тоді у момент крива виходить з області Впорядковані пари векторів, які складаються із дотичного вектора до кривої й вектора динамічної системи, у момент та визначають протилежні орієнтації площини. Відповідно, у деякий проміжний момент дотичний вектор та вектор динамічної системи є колінеарними.

Нехай крива, яка є гладким многовидом на площині, містить не більше ніж некомпактних (і будь-яке число компактних) компонент зв'язності й має не більше ніж точок контакту із динамічною системою. Тоді вона має не більш ніж ізольованих точок перетину із будь-яким розділяючи рішенням цієї системи.

На компактній компоненті точок перетину не більше, ніж точок контакту. На некомпактній — точок перетину може бути на одиницю більше, ніж точок контакту.

Література Редагувати

  1. Gupta, R. C. . с. 156. Архів оригіналу за 10 грудня 2019. Процитовано 26 травня 2021. 
  2. Besenyei, A. (17 вересня 2012). . Архів оригіналу за 6 травня 2021. Процитовано 26 травня 2021. 
  3. See Cajori, Florian. . с. 224. Архів оригіналу за 28 листопада 2021. Процитовано 26 травня 2021. 
  4. Хованский А.Г. - Малочлены. 

Див. також Редагувати

Вікісховище має мультимедійні дані за темою: Теорема Ролля
Ця стаття потребує додаткових посилань на джерела для поліпшення її перевірності. Будь ласка, допоможіть удосконалити цю статтю, додавши посилання на надійні (авторитетні) джерела. Зверніться на сторінку обговорення за поясненнями та допоможіть виправити недоліки.
Матеріал без джерел може бути піддано сумніву та вилучено. (жовтень 2015)
Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
U diferencialnomu ta integralnomu chislenni teorema Rollya abo lema Rollya stverdzhuye sho bud yaka dijsnoznachna diferencijovna funkciya yaka dosyagaye rivnih znachen u dvoh riznih tochkah povinna mati prinajmni odnu stacionarnu tochku mizh nimi tobto tochku de persha pohidna kutovij koeficiyent dotichnoyi do grafika funkciyi dorivnyuye nulyu Teorema nazvana na chest Mishelya Rollya en Yaksho dijsnoznachna funkciya f displaystyle f neperervna na zakritomu intervali a b displaystyle a b diferencijovna na vidkritomu intervali a b displaystyle a b i f a f b displaystyle f a f b todi isnuye tochka c a b displaystyle c in a b taka sho f c 0 displaystyle f c 0 Zmist 1 Formulyuvannya 2 Dovedennya 3 Istoriya 4 Prikladi 4 1 Pershij priklad 4 2 Drugij priklad 5 Uzagalnennya 5 1 Zauvazhennya 6 Dovedennya uzagalnenoyi versiyi 7 Uzagalnennya na vipadok pohidnih vishih poryadkiv 8 Uzagalnennya na inshi polya 9 Geometrichnij zmist teoremi 10 Literatura 11 Div takozhFormulyuvannya RedaguvatiNehaj funkciya f x displaystyle f x nbsp neperervna na promizhku a b displaystyle a b nbsp diferencijovana v usih vnutrishnih tochkah promizhku a b displaystyle a b nbsp Nehaj okrim togo f a f b displaystyle f a f b nbsp Todi na promizhku a b displaystyle a b nbsp znajdetsya prinajmni odna tochka c displaystyle c nbsp taka sho znachennya pohidnoyi u cij tochci f c displaystyle f c nbsp dorivnyuye nulyu Dovedennya RedaguvatiOskilki funkciya f x displaystyle f x nbsp neperervna na promizhku a b displaystyle a b nbsp to zgidno z drugoyu teoremoyu Vejyershtrassa cya funkciya dosyagaye na nomu svogo maksimalnogo znachennya M displaystyle M nbsp ta minimalnogo znachennya m displaystyle m nbsp Otzhe mayemo dva vipadki M m displaystyle M m nbsp M gt m displaystyle M gt m nbsp U pershomu vipadku f x M m c o n s t displaystyle f x M m const nbsp Tomu pohidna f x displaystyle f x nbsp dorivnyuye nulyu v bud yakij tochci promizhku a b displaystyle a b nbsp U vipadku koli M gt m displaystyle M gt m nbsp oskilki f a f b displaystyle f a f b nbsp mozhna stverdzhuvati sho hocha b odne z dvoh znachen M displaystyle M nbsp chi m displaystyle m nbsp dosyagayetsya funkciyeyu v deyakij vnutrishnij tochci c displaystyle c nbsp promizhku a b displaystyle a b nbsp Ale todi funkciya f x displaystyle f x nbsp maye u tochci c displaystyle c nbsp lokalnij ekstremum Oskilki funkciya f x displaystyle f x nbsp diferencijovna v tochci c displaystyle c nbsp to za neobhidnoyu umovoyu lokalnogo ekstremumu f c 0 displaystyle f c 0 nbsp Istoriya RedaguvatiIndijskomu matematiku Bhaskaru II 1114 1185 pripisuyut znannya teoremi Rollya 1 Hocha teorema nazvana na chest Mishelya Rollya en dovedennya Rollya 1691 roku ohoplyuye lishe vipadok polinomialnih funkcij Jogo dovedennya ne vikoristovuvalo metodi diferencialnogo chislennya yaki na toj moment svogo zhittya vin vvazhav hibnimi Teorema vpershe bula dovedena Koshi v 1823 roci yak naslidok dovedennya teoremi Lagranzha 2 Nazva teorema Rollya bula vpershe vikoristana Moricem Vilgelmom Drobishem en v Nimechchini v 1834 roci ta Dzhusto Bellavitisom en v Italiyi v 1846 roci 3 Prikladi RedaguvatiPershij priklad Redaguvati nbsp Pivkolo radiusa r Dlya radiusa r gt 0 displaystyle r gt 0 nbsp rozglyanemo funkciyu f x r 2 x 2 x r r displaystyle f x sqrt r 2 x 2 quad x in r r nbsp Grafikom ciyeyi funkciyi ye verhnye pivkolo z centrom u pochatku koordinat Funkciya neperervna na zakritomu intervali r r displaystyle r r nbsp i diferencijovna na vidkritomu intervali r r displaystyle r r nbsp ale ne diferencijovna na kincevih tochkah r displaystyle r nbsp i r displaystyle r nbsp Oskilki f r f r displaystyle f r f r nbsp to mozhna vikoristovuvati teoremu Rollya i dijsno ye tochka de pohidna vid funkciyi f displaystyle f nbsp dorivnyuye nulyu Zauvazhimo sho teoremu mozhna vikoristovuvati navit todi koli funkciya ne ye diferencijovnoyu u kincevih tochkah oskilki vimagayetsya shob vona bula diferencijovnoyu lishe na vidkritomu intervali Drugij priklad Redaguvati nbsp Grafik funkciyi modulya Yaksho diferencijovnist porushuyetsya u vnutrishnij tochci intervalu to teoremi Rollya mozhe ne vikonuvatisya Rozglyanemo funkciyu modulya f x x x 1 1 displaystyle f x x qquad x in 1 1 nbsp Tut f 1 f 1 displaystyle f 1 f 1 nbsp ale mizh 1 displaystyle 1 nbsp ta 1 displaystyle 1 nbsp ne isnuye takogo c displaystyle c nbsp dlya yakogo f c 0 displaystyle f c 0 nbsp Ce tomu sho cya funkciya hocha i neperervna ale ne ye diferencijovnoyu pri x 0 displaystyle x 0 nbsp Zauvazhimo sho pohidna vid funkciyi f displaystyle f nbsp zminyuye znak u tochci x 0 displaystyle x 0 nbsp ale bez dosyagnennya nulovogo znachennya Teoremu ne mozhna zastosuvati do ciyeyi funkciyi tomu sho vona ne zadovolnyaye umovu togo sho funkciya povinna buti diferencijovnoyu dlya bud yakogo x displaystyle x nbsp z vidkritogo intervalu Odnak yaksho vimogu diferencijovnosti viklyuchiti z teoremi Rollya to funkciya f displaystyle f nbsp mozhe mati kritichnu tochku na vidkritomu intervali a b displaystyle a b nbsp ale ne matime gorizontalnoyi dotichnoyi yak u vipadku funkciyi modulya sho zobrazhena na risunku Uzagalnennya RedaguvatiDrugij priklad ilyustruye nastupne uzagalnennya teoremi Rollya Rozglyanemo dijsnoznachnu neperervnu funkciyu f displaystyle f nbsp na zakritomu intervali a b displaystyle a b nbsp z f a f b displaystyle f a f b nbsp Yaksho dlya bud yakogo x displaystyle x nbsp na vidkritomu intervali a b displaystyle a b nbsp isnuyut pravostoronnya granicya f x lim h 0 f x h f x h displaystyle f x lim h to 0 frac f x h f x h nbsp i livostoronnya granicya f x lim h 0 f x h f x h displaystyle f x lim h to 0 frac f x h f x h nbsp na rozshirenij dijsnij pryamij displaystyle infty infty nbsp todi isnuye deyake chislo c displaystyle c nbsp na vidkritomu intervali a b displaystyle a b nbsp take sho odna z dvoh granic f c i f c displaystyle f c quad text i quad f c nbsp ye 0 displaystyle geq 0 nbsp a insha 0 displaystyle leq 0 nbsp na rozshirenij dijsnij pryamij Yaksho livo i pravostoronnya granici uzgodzhuyutsya dlya bud yakogo x displaystyle x nbsp todi voni uzgodzhuyutsya zokrema dlya c displaystyle c nbsp zvidsi pohidna funkciyi f displaystyle f nbsp isnuye u tochci c displaystyle c nbsp i dorivnyuye nulyu Zauvazhennya Redaguvati Yaksho f displaystyle f nbsp opukla abo uvignuta todi livo ta pravostoronni pohidni isnuyut u bud yakij vnutrishnij tochci zvidsi isnuyut vishenavedeni granici i voni ye dijsnimi chislami Uzagalnena versiya teoremi ye dostatnyu dlya dovedennya opuklosti funkciyi yaksho odnostoronni pohidni ye monotonno zrostayuchimi f x f x f y x lt y displaystyle f x leq f x leq f y qquad x lt y nbsp Dovedennya uzagalnenoyi versiyi RedaguvatiOskilki dovedennya standartnoyi versiyi teoremi Rollya ta yiyi uzagalnennya duzhe shozhi dovedemo tut lishe uzagalnenij variant Ideya dovedennya polyagaye v tomu shob dovesti sho yaksho f a f b displaystyle f a f b nbsp todi funkciya f displaystyle f nbsp maye dosyagati maksimumu abo minimumu des mizh a displaystyle a nbsp ta b displaystyle b nbsp skazhimo v tochci c displaystyle c nbsp i funkciya maye iz zrostayuchoyi stati spadnoyu abo navpaki u tochci c displaystyle c nbsp Zokrema yaksho pohidna isnuye vona maye dorivnyuvati nulyu v tochci c displaystyle c nbsp Zgidno pripushennya funkciya f displaystyle f nbsp ye neperervnoyu na a b displaystyle a b nbsp i za drugoyu teoremoyu Veyershtrassa dosyagaye maksimumu i minimumu na a b displaystyle a b nbsp Yaksho maksimum i minimum dosyagnuto v kincevih tochkah na a b displaystyle a b nbsp todi f displaystyle f nbsp ye konstantoyu na a b displaystyle a b nbsp i pohidna vid funkciyi f displaystyle f nbsp dorivnyuye nulyu u bud yakij tochci na a b displaystyle a b nbsp Nehaj maksimum dosyagayetsya u vnutrishnij tochci c displaystyle c nbsp na a b displaystyle a b nbsp vipadok dlya minimumu duzhe shozhij lishe neobhidno rozglyanuti funkciyu f displaystyle f nbsp Potribno rozglyanuti vishezaznacheni pravo ta livostoronni granici okremo Dlya dijsnogo h displaystyle h nbsp takogo yak c h a b displaystyle c h in a b nbsp znachennya f c h displaystyle f c h nbsp menshe abo rivne f c displaystyle f c nbsp oskilki funkciya f displaystyle f nbsp dosyagaye maksimumu v tochci c displaystyle c nbsp Tomu dlya bud yakogo h gt 0 displaystyle h gt 0 nbsp f c h f c h 0 displaystyle frac f c h f c h leq 0 nbsp Zvidsi f c lim h 0 f c h f c h 0 displaystyle f c lim h to 0 frac f c h f c h leq 0 nbsp de granicya isnuye za pripushennyam mozhe dorivnyuvati minus neskinchennist Analogichno dlya bud yakogo h lt 0 displaystyle h lt 0 nbsp nerivnist zminyuyetsya oskilki znamennik teper vid yemnij a tomu otrimuyemo f c h f c h 0 displaystyle frac f c h f c h geq 0 nbsp Zvidsi f c lim h 0 f c h f c h 0 displaystyle f c lim h to 0 frac f c h f c h geq 0 nbsp de granicya mozhe dorivnyuvati plyus neskinchennist Nareshti koli vishezaznacheni pravo ta livostoronnya granici uzgodzhuyutsya zokrema yaksho f displaystyle f nbsp ye diferencijovanoyu todi pohidna vid f displaystyle f nbsp u tochci c displaystyle c nbsp dorivnyuye nulyu Yak alternativu mozhemo zastosuvati teoremu Ferma Uzagalnennya na vipadok pohidnih vishih poryadkiv RedaguvatiTeoremu Rollya mozhna uzagalniti vimagayuchi shob funkciya f displaystyle f nbsp mala bilshe tochok z odnakovimi znachennyami i bilshu regulyarnist Zokrema nehaj funkciya f displaystyle f nbsp n 1 displaystyle n 1 nbsp raziv neperervno diferencijovna na zamknenomu intervali a b displaystyle a b nbsp i n displaystyle n nbsp na pohidna isnuye na vidkritomu intervali a b displaystyle a b nbsp i ye n displaystyle n nbsp intervaliv sho viznachayutsya tochkami a 1 lt b 1 a 2 lt b 2 a n lt b n displaystyle a 1 lt b 1 leq a 2 lt b 2 leq cdots leq a n lt b n nbsp na intervali a b displaystyle a b nbsp taki sho f a k f b k displaystyle f a k f b k nbsp dlya bud yakogo k displaystyle k nbsp vid 1 displaystyle 1 nbsp do n displaystyle n nbsp Todi tut ye chislo c displaystyle c nbsp na a b displaystyle a b nbsp take sho n displaystyle n nbsp na pohidna funkciyi f displaystyle f nbsp u tochci c displaystyle c nbsp dorivnyuye nulyu nbsp Chervona kriva ce grafik funkciyi z troma korenyami na intervali 3 2 displaystyle 3 2 nbsp Takim chinom yiyi druga pohidna zobrazhena zelenim kolorom takozh maye korin na tomu zh intervali Vimogi shodo n displaystyle n nbsp yi pohidnoyi funkciyi f displaystyle f nbsp mozhut buti poslableni yak u vishezaznachenomu uzagalnenni dopuskayuchi analogichni mozhlivo slabshi tverdzhennya dlya vishezaznachenih pravo ta livostoronnih granic dlya funkciyi f n 1 displaystyle f n 1 nbsp zamist funkciyi f displaystyle f nbsp Zokrema cya versiya teoremi stverdzhuye yaksho diferencijovna dostatno raziv funkciya maye n displaystyle n nbsp koreniv tobto isnuye n displaystyle n nbsp tochok u yakih funkciya dorivnyuye nulyu todi tut ye vnutrishnya tochka de f n 1 displaystyle f n 1 nbsp dorivnyuye nulyu Uzagalnennya na inshi polya RedaguvatiTeorema Rollya vlastivist diferencijovnih funkcij nad polem dijsnih chisel yake ye vporyadkovanim polem U predstavlenomu viglyadi vona ne uzagalnyuyetsya na inshi polya ale nastupne tverdzhennya maye misce yaksho dijsni polimialni mnozhniki funkciyi mayut vsi yiyi koreni nad polem dijsnih chisel todi yiyi pohidna takozh maye cyu vlastivist Mozhna nazvati cyu vlastivist polya vlastivistyu Rollya Nad bilsh zagalnimi polyami ne zavzhdi viznachayut diferencijovni funkciyi ale nad nimi zavzhdi mozhna rozglyadati polinomi yaki mozhna diferenciyuvati u simvolnij formi Analogichnim chinom nad bilsh zagalni polyami ne zavzhdi viznacheni ponyattya poryadku ale nad cimi polyami zavzhdi viznacheno ponyattya korenya polinoma Takim chinom teorema Rollya pokazuye sho pole dijsnih chisel maye vlastivist Rollya Bud yake algebrayichno zamknene pole take yak pole kompleksnih chisel maye vlastivist Rollya Odnak pole racionalnih chisel ne maye ciyeyi vlastivosti Napriklad x 3 x x x 1 x 1 displaystyle x 3 x x x 1 x 1 nbsp rozkladayetsya na mnozhniki nad polem racionalnih chisel ale yih pohidna ni 3 x 2 1 3 x 1 3 x 1 3 displaystyle 3x 2 1 3 left x tfrac 1 sqrt 3 right left x tfrac 1 sqrt 3 right nbsp Pitannya pro te yaki polya zadovolnyayut vlastivosti Rollya bulo pidnyato u 1972 roci Kaplanskim Shodo skinchennih poliv vidpovid polyagaye v tomu sho tilki polya F 2 displaystyle mathbb F 2 nbsp ta F 4 displaystyle mathbb F 4 nbsp mayut vlastivist Rollya Shodo kompleksnoyi versiyi vikoristovuyut indeks Vurhouva en Geometrichnij zmist teoremi RedaguvatiTeorema maye prostij geometrichnij zmist yaksho kincevi ordinati krivoyi y f x displaystyle y f x nbsp rivni to zgidno z teoremoyu Rollya na cij krivij znajdetsya tochka u yakij dotichna do krivoyi paralelna do osi O X displaystyle OX nbsp Nehaj y displaystyle y nbsp neperervnoyi krivoyi tobto y displaystyle y nbsp obraza intervalu abo okruzhnosti pri neperervnomu vidobrazhenni u ploshinu u kozhnij tochci isnuye dotichnij vektor Todi mizh dvoma tochkami peretinu krivoyi iz rozdilyayuchim rishennyam dinamichnoyi sistemi ye toka kontaktu Peretin krivoyi iz rozdilyayuchim rishennyam ye zamknenoyu mnozhinoyu Dopovnennya ciyeyi mnozhini rozpadayetsya na skinchenni ta neskinchenni intervali Kozhnij skinchennij interval takogo rodu mistit tochku kontaktu Nehaj t 1 displaystyle t 1 nbsp ta t 2 displaystyle t 2 nbsp parametri kinciv takogo intervalu i t 1 displaystyle t 1 nbsp pereduye t 2 displaystyle t 2 nbsp u sensi oriyentaciyi krivoyi Dlya usih promizhnih znachen parametriv kriva lezhit u oblasti U 1 displaystyle U 1 nbsp Isnuye blizkij moment chasu do t 1 displaystyle t 1 nbsp u yakij vporyadkovana para vektoriv yaka skladayetsya z dotichnogo vektora do krivoyi ta vektora dinamichnoyi sistemi zadaye tu samu oriyentaciyu ploshini sho j za transversalnogo vhodu krivoyi u oblast U 1 displaystyle U 1 nbsp Oberemo lokalnu sistemu koordinat navkolo tochki krivoyi iz parametrom t 1 displaystyle t 1 nbsp u yakij vektorne pole dinamichnoyi sistemi stale Nehaj u cih lokalnih koordinatah y 1 displaystyle y 1 nbsp y 2 displaystyle y 2 nbsp oblast U 1 displaystyle U 1 nbsp viznachayetsya nerivnistyu y 2 displaystyle y 2 nbsp dinamichna sistema maye viglyad y 1 1 y 2 0 displaystyle begin cases dot y 1 1 dot y 2 0 end cases nbsp rozdilyayuche rishennya ye y 2 0 displaystyle y 2 0 nbsp a kriva zadayetsya vektor funkciyeyu y 1 t y 2 t displaystyle y 1 t y 2 t nbsp Po umovi y 2 t gt 0 displaystyle y 2 t gt 0 nbsp za t gt t 1 displaystyle t gt t 1 nbsp ta t lt t 2 displaystyle t lt t 2 nbsp j y 2 t 1 0 displaystyle y 2 t 1 0 nbsp Tomu u deyakij moment blizkij do t 1 displaystyle t 1 nbsp pohidna funkciyi y 2 t displaystyle y 2 t nbsp bude dodatnoyu U cej moment vporyadkovana para vektoriv zadaye potribnu oriyentaciyu ploshini Teorema ye spravedlivoyu dlya C 1 displaystyle mathbb C 1 nbsp gladkih krivih transversalno perekrivayuchih rozdilyayuche rishennya Nehaj t 1 displaystyle t 1 nbsp ta t 2 displaystyle t 2 nbsp parametri dvoh poslidoknih transversalnih peretiniv krivoyi iz rozdilyayuchih rishennyam Ce rishennya dilit ploshinu na dvi ne obov yazkovo zv yazni oblasti oblast U 1 displaystyle U 1 nbsp oriyentovanoyu mezheyu yakoyi vono ye ta dodatkovu oblast U 2 R 2 U 1 displaystyle U 2 mathbb R 2 setminus bar U 1 nbsp Nehaj u moment t 1 displaystyle t 1 nbsp kriva vhodit do oblasti U 1 displaystyle U 1 nbsp Todi u moment t 2 displaystyle t 2 nbsp kriva vihodit z oblasti U 1 displaystyle U 1 nbsp Vporyadkovani pari vektoriv yaki skladayutsya iz dotichnogo vektora do krivoyi j vektora dinamichnoyi sistemi u moment t 1 displaystyle t 1 nbsp ta t 2 displaystyle t 2 nbsp viznachayut protilezhni oriyentaciyi ploshini Vidpovidno u deyakij promizhnij moment dotichnij vektor ta vektor dinamichnoyi sistemi ye kolinearnimi Nehaj kriva yaka ye gladkim mnogovidom na ploshini mistit ne bilshe nizh N displaystyle N nbsp nekompaktnih i bud yake chislo kompaktnih komponent zv yaznosti j maye ne bilshe nizh k displaystyle k nbsp tochok kontaktu iz dinamichnoyu sistemoyu Todi vona maye ne bilsh nizh N k displaystyle N k nbsp izolovanih tochok peretinu iz bud yakim rozdilyayuchi rishennyam ciyeyi sistemi Na kompaktnij komponenti tochok peretinu ne bilshe nizh tochok kontaktu Na nekompaktnij tochok peretinu mozhe buti na odinicyu bilshe nizh tochok kontaktu 4 Literatura Redaguvati Gupta R C Encyclopaedia of the History of Science Technology and Medicine in Non Western Cultures s 156 Arhiv originalu za 10 grudnya 2019 Procitovano 26 travnya 2021 Besenyei A 17 veresnya 2012 A brief history of the mean value theorem Arhiv originalu za 6 travnya 2021 Procitovano 26 travnya 2021 See Cajori Florian A History of Mathematics s 224 Arhiv originalu za 28 listopada 2021 Procitovano 26 travnya 2021 Hovanskij A G Malochleny Grigorij Mihajlovich Fihtengolc Kurs diferencialnogo ta integralnogo chislennya 2023 1300 s ukr Zavalo S T 1972 Elementi analizu Algebra mnogochleniv Kiyiv Radyanska shkola s 462 ukr Ilin V A Poznyak E G Osnovy matematicheskogo analiza 7 e M Fizmatlit 2004 T 1 644 s ISBN 5 9221 0536 1 ros Leithold Louis 1972 The Calculus with Analytic Geometry vid 2nd New York Harper amp Row s 201 207 ISBN 0 06 043959 9 Taylor Angus E 1955 Advanced Calculus Boston Ginn and Company s 30 37 Div takozh RedaguvatiVikishovishe maye multimedijni dani za temoyu Teorema Rollya nbsp Portal Matematika Druga teorema Veyershtrassa Ekstremum Dotichna Pohidna Mishel Roll en Karl Vejyershtrass Teorema Lagranzha Teorema Bolcano Koshi Linijna interpolyaciya Teorema Gausa LyukaCya stattya potrebuye dodatkovih posilan na dzherela dlya polipshennya yiyi perevirnosti Bud laska dopomozhit udoskonaliti cyu stattyu dodavshi posilannya na nadijni avtoritetni dzherela Zvernitsya na storinku obgovorennya za poyasnennyami ta dopomozhit vipraviti nedoliki Material bez dzherel mozhe buti piddano sumnivu ta vilucheno zhovten 2015 nbsp Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Teorema Rollya amp oldid 40598044