www.wikidata.uk-ua.nina.az

Теорема Меньє У диференційній геометрії теоремою Меньє називається твердження про властивості кривини на поверхні яке бу

Теорема Меньє

У диференційній геометрії теоремою Меньє називається твердження про властивості кривини на поверхні, яке було доведено у 1776 році (опубліковано 1785 році) французьким вченим Жаном Батістом Меньє.

Необхідні означення Редагувати

Нехай — регулярна поверхня у тривимірному евклідовому просторі і — регулярна крива, образ якої належить поверхні S і Нехай крива параметризується своєю довжиною. Тоді в усіх точках кривої. Якщо то вектор називається одиничною нормаллю, а — кривиною кривої у точці p. Також нехай N позначає одиничний нормальний вектор до площини S у точці p (тобто одиничний вектор, що є ортогональним до дотичної площини поверхні у даній точці із певним вибором напрямку).

Нормальною кривиною кривої у точці у цьому випадку називається довжина ортогональної проєкції на пряму задану вектором N. Якщо кривина прямої у точці рівна нулю, то і її нормальна кривина рівна нулю.

Якщо — кут між векторами N і n то можна явно записати або через скалярний добуток

Теорема Меньє Редагувати

Теорема Меньє стверджує, що нормальна кривина кривої у точці залежить лише від напрямку дотичного вектора у цій точці. Тобто якщо дві регулярні криві (параметризовані своїми довжинами) мають однаковий дотичний вектор у точці p, то і їх нормальні криві у цій точці будуть однаковими.

Доведення Редагувати

Нехай N(t) — одиничні нормалі до поверхні S у точках Згідно означення нормальні кривини у точках прямої тоді є рівними За означеннями і продиференціювавши цю рівність отримуємо де — диференціал у точці p нормального відображення із поверхні S на одиничну сферу, що кожній точці поверхні співставляє одиничну нормаль у цій точці. При означенні дотичні поверхні до S і у відповідній точці сфери ототожнюються (загалом вони є паралельними). Таким чином нормальна кривина залежить тільки від

Наслідки Редагувати

  • З теореми Меньє випливає, що поняття нормальної кривини має значення для одиничних векторів на дотичній площині Кожен такий вектор x, разом із нормаллю N задає деяку площину перетин якої із S утворює регулярну криву для якої (при параметризації довжиною) x є дотичним вектором і кривина якої у точці p є рівною нормальній кривині. Крива називається нормальним перетином поверхні S із дотичним вектором x.
  • З теореми Меньє також випливає те, що для регулярної кривої із дотичним вектором x у точці p кривина залежить тільки від нормалі до прямої оскільки нормаль до поверхні і нормальна кривина у цьому випадку задані однозначно. Зокрема нормальну кривину можна однозначно визначити як звичайну кривину нормального перерізу.
  • Для нормального перетину із дотичним вектором x центром стичного кола є точка і його радіус очевидно є рівним Для довільної іншої кривої у S із дотичним вектором x у точці p стичне коло у цій точці за означенням належить площині заданій векторами x і n, центром стичного кола є точка і радіус кола є рівним 1/k. Згідно теореми Меньє кривина кривої визначається лише кутом між N і n і . Тому радіуси стичних кіл задовольняють співвідношення Як наслідок всі такі стичні кола лежать на сфері із центром у точці і радіусом

Примітки Редагувати

  1. Meusnier J. Mémoire sur la courbure des surface // Mémoires de Mathématique et de Physique présentés à l'Académie Royale des Sciences, par Divers Savants, & lûs dans ses Assemblées (Paris), 1785, v. 10, p. 477–510.

Див. також Редагувати

Література Редагувати

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
U diferencijnij geometriyi teoremoyu Menye nazivayetsya tverdzhennya pro vlastivosti krivini na poverhni yake bulo dovedeno u 1776 roci opublikovano 1785 roci 1 francuzkim vchenim Zhanom Batistom Menye Zmist 1 Neobhidni oznachennya 2 Teorema Menye 2 1 Dovedennya 3 Naslidki 4 Primitki 5 Div takozh 6 LiteraturaNeobhidni oznachennya RedaguvatiNehaj S R 3 displaystyle S subset mathbb R 3 nbsp regulyarna poverhnya u trivimirnomu evklidovomu prostori i a t e e S displaystyle alpha t varepsilon varepsilon to S nbsp regulyarna kriva obraz yakoyi nalezhit poverhni S i a 0 p S displaystyle alpha 0 p in S nbsp Nehaj kriva parametrizuyetsya svoyeyu dovzhinoyu Todi a t 1 displaystyle alpha t 1 nbsp v usih tochkah krivoyi Yaksho a 0 0 displaystyle alpha 0 neq 0 nbsp to vektor n a 0 a 0 displaystyle n frac alpha 0 alpha 0 nbsp nazivayetsya odinichnoyu normallyu a k a t displaystyle k alpha t nbsp krivinoyu krivoyi a t displaystyle alpha t nbsp u tochci p Takozh nehaj N poznachaye odinichnij normalnij vektor do ploshini S u tochci p tobto odinichnij vektor sho ye ortogonalnim do dotichnoyi ploshini poverhni u danij tochci iz pevnim viborom napryamku Normalnoyu krivinoyu k n displaystyle k n nbsp krivoyi a t displaystyle alpha t nbsp u tochci a 0 p displaystyle alpha 0 p nbsp u comu vipadku nazivayetsya dovzhina ortogonalnoyi proyekciyi a 0 displaystyle alpha 0 nbsp na pryamu zadanu vektorom N Yaksho krivina pryamoyi u tochci rivna nulyu to i yiyi normalna krivina rivna nulyu Yaksho ϕ displaystyle phi nbsp kut mizh vektorami N i n to mozhna yavno zapisati k n k cos ϕ displaystyle k n k operatorname cos phi nbsp abo cherez skalyarnij dobutok k n N a 0 displaystyle k n N alpha 0 nbsp Teorema Menye RedaguvatiTeorema Menye stverdzhuye sho normalna krivina krivoyi a t e e S displaystyle alpha t varepsilon varepsilon to S nbsp u tochci a 0 p S displaystyle alpha 0 p in S nbsp zalezhit lishe vid napryamku dotichnogo vektora a t displaystyle alpha t nbsp u cij tochci Tobto yaksho dvi regulyarni krivi parametrizovani svoyimi dovzhinami mayut odnakovij dotichnij vektor u tochci p to i yih normalni krivi u cij tochci budut odnakovimi Dovedennya Redaguvati Nehaj N t odinichni normali do poverhni S u tochkah a t displaystyle alpha t nbsp Zgidno oznachennya normalni krivini u tochkah pryamoyi todi ye rivnimi N t a t displaystyle N t alpha t nbsp Za oznachennyami N t a t 0 displaystyle N t alpha t 0 nbsp i prodiferenciyuvavshi cyu rivnist otrimuyemo k n N 0 a 0 N 0 a 0 d N p a 0 a 0 displaystyle k n N 0 alpha 0 N 0 alpha 0 dN p alpha 0 alpha 0 nbsp de d N p displaystyle dN p nbsp diferencial u tochci p normalnogo vidobrazhennya iz poverhni S na odinichnu sferu sho kozhnij tochci poverhni spivstavlyaye odinichnu normal u cij tochci Pri oznachenni d N p displaystyle dN p nbsp dotichni poverhni do S i u vidpovidnij tochci sferi ototozhnyuyutsya zagalom voni ye paralelnimi Takim chinom normalna krivina zalezhit tilki vid a 0 displaystyle alpha 0 nbsp Naslidki RedaguvatiZ teoremi Menye viplivaye sho ponyattya normalnoyi krivini maye znachennya dlya odinichnih vektoriv na dotichnij ploshini T p S displaystyle T p S nbsp Kozhen takij vektor x razom iz normallyu N zadaye deyaku ploshinu peretin yakoyi iz S utvoryuye regulyarnu krivu g displaystyle gamma nbsp dlya yakoyi pri parametrizaciyi dovzhinoyu x ye dotichnim vektorom i krivina yakoyi u tochci p ye rivnoyu normalnij krivini Kriva g displaystyle gamma nbsp nazivayetsya normalnim peretinom poverhni S iz dotichnim vektorom x Z teoremi Menye takozh viplivaye te sho dlya regulyarnoyi krivoyi a t e e S displaystyle alpha t varepsilon varepsilon to S nbsp iz dotichnim vektorom x u tochci p krivina zalezhit tilki vid normali do pryamoyi oskilki normal do poverhni i normalna krivina u comu vipadku zadani odnoznachno Zokrema normalnu krivinu mozhna odnoznachno viznachiti yak zvichajnu krivinu normalnogo pererizu Dlya normalnogo peretinu g displaystyle gamma nbsp iz dotichnim vektorom x centrom stichnogo kola ye tochka p 1 k n N displaystyle p 1 k n N nbsp i jogo radius ochevidno ye rivnim 1 k n displaystyle 1 k n nbsp Dlya dovilnoyi inshoyi krivoyi u S iz dotichnim vektorom x u tochci p stichne kolo u cij tochci za oznachennyam nalezhit ploshini zadanij vektorami x i n centrom stichnogo kola ye tochka p 1 k n displaystyle p 1 k n nbsp i radius kola ye rivnim 1 k Zgidno teoremi Menye krivina krivoyi viznachayetsya lishe kutom mizh N i n i 1 k 1 k n cos ϕ displaystyle 1 k 1 k n cos phi nbsp Tomu radiusi stichnih kil zadovolnyayut spivvidnoshennya R ϕ cos ϕ k n displaystyle R phi cos phi k n nbsp Yak naslidok vsi taki stichni kola lezhat na sferi iz centrom u tochci p 1 k n N displaystyle p 1 k n N nbsp i radiusom 1 k n displaystyle 1 k n nbsp Primitki Redaguvati Meusnier J Memoire sur la courbure des surface Memoires de Mathematique et de Physique presentes a l Academie Royale des Sciences par Divers Savants amp lus dans ses Assemblees Paris 1785 v 10 p 477 510 Div takozh RedaguvatiKrivina Poverhnya Stichne koloLiteratura RedaguvatiCarmo Manfredo Perdigao do 1976 Differential geometry of curves and surfaces Upper Saddle River NJ Prentice Hall ISBN 0 13 212589 7 Porteous Ian 1994 Geometric Differentiation Cambridge University Press ISBN 0 521 39063 X Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Teorema Menye amp oldid 36391819