www.wikidata.uk-ua.nina.az

Відображення Гауса сферичне відображення нормальне відображення відображення з гладкої орієнтовної поверхні в тривимірно

Відображення Гауса

Відображення Гауса (сферичне відображення, нормальне відображення) — відображення з гладкої орієнтовної поверхні в тривимірному евклідовому просторі в одиничну сферу, при якому точка поверхні відображається у вектор одиничної нормалі в цій точці. Більш загально подібне відображення можна ввести для гіперповерхонь у евклідових просторах довільної розмірності.

Відображення Гауса ставить у відповідність кожній точці поверхні вектор одиничної нормалі в цій точці. Кінці всіх таких векторів, відкладених від однієї точки, лежать на сфері одиничного радіусу.

Диференціал відображення Гауса називається відображенням Вейнгартена. Оскільки дотичні площини до поверхні в деякій точці p і до одиничної сфери в образі точки p відображення Гауса є паралельними, відображення Вейнгартена можна інтерпретувати як лінійне відображення на дотичній площині до точки p.

Для підмноговидів евклідового простору довільної розмірності і корозмірності природним аналогом відображення Гауса є відображення, що зіставляє точці підмноговидів точку грассманіана, відповідну дотичному простору в цій точці.

Означення ред.

Нехай S — регулярна диференційовна орієнтовна поверхня. В кожній точці p цієї поверхні існує два одиничні вектори, що є ортогональними до дотичної поверхні у точці p. Вибір одного з цих векторів задає орієнтацію. Оскільки поверхня є орієнтовною, то можна однозначно зробити вибір одиничних нормалей у кожній точці так, що в результаті одержується неперервне нормальне векторне поле. Якщо для точки позначити відповідний нормальний вектор як N(p), то відображення:

називається відображенням Гауса.

Відображення Гауса є диференційовним і його диференціал у деякій точці p називається відображенням Вейнгартена.

Для відображення Вейнгартена дотична площина є паралельною до дотичної площини Це легко можна побачити у локальних координатах у деякому околі точки p. Із цього запису отримується параметричний запис образу при відображенні Гауса N(u,v). Продиференціювавши рівність (N(u,v),N(u,v)) = 1 по u і v, отримаємо тобто вектори і а отже і дотична площина є ортогональними до N. Це ж справедливо за означенням і на площині S. Оскільки площини і є ортогональними до одного вектора, то вони є паралельними.

Таким чином вектори на цих двох площинах можна ототожнити і вважати відображення Вейнгартена лінійним відображенням на .

Для орієнтовної гіперповерхні у (або, більш загально, орієнтовного підмноговида корозмірності 1 у диференційовному многовиді) теж можна ввести нормальне одиничне диференційовне векторне поле (таких варіантів знову ж буде 2). Тоді відображення, що кожній точці ставить у відповідність нормаль у точці називається відображенням Гауса. Воно є диференційовним і його диференціал називається відображенням Вейнгартена.

Властивості ред.

  • У локальних координатах позначаючи відображення Гауса можна задати як Звідси очевидною є диференційовність відображення. Даний запис можна подати для довільної регулярної поверхні тому для кожної такої поверхні відображення Гауса існує локально. Але глобально його можна ввести лише для орієнтовних поверхонь.
  • Для відображення Вейнгартена
  • Диференціал (якщо його, як вище, розглядати як лінійне відображення на ) є самоспряженим на щодо скалярного добутку успадкованого із .
  • Якобіан відображення Гауса дорівнює гаусовій кривині поверхні в даній точці.
  • Більш абстрактно можна дати означення відображення Вейнгартена через коваріантні похідні (афінні зв'язності). Дані означення мають зміст для евклідового простору будь-якої розмірності і є основою для подальших узагальнень зокрема у рімановій геометрії. У евклідовому просторі коваріантна похідна для диференційовних векторних полів X, Y в околі точки p задається як де у стандартному базисі друге векторне поле через координати записується як а позначає дію векторного поля X як диференціального оператора на функції Значення в деякій точці p залежить лише від значення векторного поля X у цій точці, а також значення векторного поля Y на деякій прямій, що проходить через точку p і дотичний вектор якої в цій точці рівний X(p). Якщо — така крива то позначивши отримаємо Звідси при тих же позначеннях для гіперповерхні у евклідовому просторі і нормального поля також випливає, що

Приклади ред.

  • Для площини заданої рівнянням відображення Гауса є константою рівною Відповідно відображення Вейнгартена є нульовим лінійним відображенням.
  • Для одиничної сфери у точці одиничними нормальними векторами є і Зазвичай обирається обернений нормальний вектор, тоді Для відображення Вейнгартена для будь-якої кривої і на одиничній сфері. Тоді
  • Для циліндра у довільній точці дотична площина задається векторами v паралельним осі z і w, що є дотичним до кола , що проходить через цю точку. Подібно до попереднього прикладу і для введених базисних векторів дотичної площини

Див. також ред.

Література ред.

  • Carmo, Manfredo Perdigão do (1976). Differential geometry of curves and surfaces. Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall. ISBN 0-13-212589-7. 
  • Hicks, Noel (1965), Notes on Differential Geometry, Van Nostrand, Princeton, N. J, ISBN 0442034105 
  • Kuhnel, Wolfgang (2005), Differential Geometry: Curves - Surfaces - Manifolds (вид. 2nd), American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-3988-1 
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Vidobrazhennya Gausa sferichne vidobrazhennya normalne vidobrazhennya vidobrazhennya z gladkoyi oriyentovnoyi poverhni v trivimirnomu evklidovomu prostori v odinichnu sferu pri yakomu tochka poverhni vidobrazhayetsya u vektor odinichnoyi normali v cij tochci Bilsh zagalno podibne vidobrazhennya mozhna vvesti dlya giperpoverhon u evklidovih prostorah dovilnoyi rozmirnosti Vidobrazhennya Gausa stavit u vidpovidnist kozhnij tochci poverhni vektor odinichnoyi normali v cij tochci Kinci vsih takih vektoriv vidkladenih vid odniyeyi tochki lezhat na sferi odinichnogo radiusu Diferencial vidobrazhennya Gausa nazivayetsya vidobrazhennyam Vejngartena Oskilki dotichni ploshini do poverhni v deyakij tochci p i do odinichnoyi sferi v obrazi tochki p vidobrazhennya Gausa ye paralelnimi vidobrazhennya Vejngartena mozhna interpretuvati yak linijne vidobrazhennya na dotichnij ploshini do tochki p Dlya pidmnogovidiv evklidovogo prostoru dovilnoyi rozmirnosti i korozmirnosti prirodnim analogom vidobrazhennya Gausa ye vidobrazhennya sho zistavlyaye tochci pidmnogovidiv tochku grassmaniana vidpovidnu dotichnomu prostoru v cij tochci Zmist 1 Oznachennya 2 Vlastivosti 3 Prikladi 4 Div takozh 5 LiteraturaOznachennya red Nehaj S regulyarna diferencijovna oriyentovna poverhnya V kozhnij tochci p ciyeyi poverhni isnuye dva odinichni vektori sho ye ortogonalnimi do dotichnoyi poverhni u tochci p Vibir odnogo z cih vektoriv zadaye oriyentaciyu Oskilki poverhnya ye oriyentovnoyu to mozhna odnoznachno zrobiti vibir odinichnih normalej u kozhnij tochci tak sho v rezultati oderzhuyetsya neperervne normalne vektorne pole Yaksho dlya tochki p S displaystyle p in S nbsp poznachiti vidpovidnij normalnij vektor yak N p to vidobrazhennya N S S 2 p N p displaystyle mathrm N S to mathbb S 2 quad p to mathrm N p nbsp nazivayetsya vidobrazhennyam Gausa Vidobrazhennya Gausa ye diferencijovnim i jogo diferencial d p N displaystyle d p mathrm N nbsp u deyakij tochci p nazivayetsya vidobrazhennyam Vejngartena Dlya vidobrazhennya Vejngartena dotichna ploshina T N p S 2 displaystyle T mathrm N p mathbb S 2 nbsp ye paralelnoyu do dotichnoyi ploshini T p S displaystyle T p S nbsp Ce legko mozhna pobachiti u lokalnih koordinatah S S u v displaystyle S S u v nbsp u deyakomu okoli tochki p Iz cogo zapisu otrimuyetsya parametrichnij zapis obrazu pri vidobrazhenni Gausa N u v Prodiferenciyuvavshi rivnist N u v N u v 1 po u i v otrimayemo 2 d N d u N 2 d N d v N 0 displaystyle 2 left mathrm d mathrm N over mathrm d u mathrm N right 2 left mathrm d mathrm N over mathrm d v mathrm N right 0 nbsp tobto vektori d N d u displaystyle d mathrm N over du nbsp i d N d v displaystyle mathrm d mathrm N over mathrm d v nbsp a otzhe i dotichna ploshina ye ortogonalnimi do N Ce zh spravedlivo za oznachennyam i na ploshini S Oskilki ploshini T N p S 2 displaystyle T mathrm N p mathbb S 2 nbsp i T p S displaystyle T p S nbsp ye ortogonalnimi do odnogo vektora to voni ye paralelnimi Takim chinom vektori na cih dvoh ploshinah mozhna ototozhniti i vvazhati vidobrazhennya Vejngartena linijnim vidobrazhennyam na T p S displaystyle T p S nbsp Dlya oriyentovnoyi giperpoverhni u R n displaystyle mathbb R n nbsp abo bilsh zagalno oriyentovnogo pidmnogovida korozmirnosti 1 u diferencijovnomu mnogovidi tezh mozhna vvesti normalne odinichne diferencijovne vektorne pole takih variantiv znovu zh bude 2 Todi vidobrazhennya sho kozhnij tochci stavit u vidpovidnist normal u tochci nazivayetsya vidobrazhennyam Gausa Vono ye diferencijovnim i jogo diferencial nazivayetsya vidobrazhennyam Vejngartena Vlastivosti red U lokalnih koordinatah S S u v displaystyle S S u v nbsp poznachayuchi S u d S d u S v d S d v displaystyle S u mathrm d S over du S v mathrm d S over dv nbsp vidobrazhennya Gausa mozhna zadati yak N p S u S v S u S v displaystyle mathrm N p frac S u times S v S u times S v nbsp Zvidsi ochevidnoyu ye diferencijovnist vidobrazhennya Danij zapis mozhna podati dlya dovilnoyi regulyarnoyi poverhni tomu dlya kozhnoyi takoyi poverhni vidobrazhennya Gausa isnuye lokalno Ale globalno jogo mozhna vvesti lishe dlya oriyentovnih poverhon Dlya vidobrazhennya Vejngartena d p N S u N u d p N S v N v displaystyle mathrm d p mathrm N S u mathrm N u mathrm d p mathrm N S v mathrm N v nbsp Diferencial d p N displaystyle mathrm d p mathrm N nbsp yaksho jogo yak vishe rozglyadati yak linijne vidobrazhennya na T p S displaystyle T p S nbsp ye samospryazhenim na T p S displaystyle T p S nbsp shodo skalyarnogo dobutku uspadkovanogo iz R 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp Zgidno poperednoyi vlastivosti dostatno dovesti sho N u S v S u N v displaystyle mathrm N u S v S u mathrm N v nbsp Dlya cogo slid prodiferenciyuvati rivnosti N S u 0 displaystyle mathrm N S u 0 nbsp i N S v 0 displaystyle mathrm N S v 0 nbsp po v i u vidpovidno Todi N v S u N S u v 0 N u S v N S v u 0 displaystyle mathrm N v S u mathrm N S uv 0 mathrm N u S v mathrm N S vu 0 nbsp i tomu N v S u N S u v N u S v displaystyle mathrm N v S u mathrm N S uv mathrm N u S v nbsp dd Za dopomogoyu vidobrazhennya Vejngartena vvoditsya druga fundamentalna kvadratichna forma I I X d p N X X displaystyle II X d p mathrm N X X nbsp Zgidno teoremi Menye znachennya drugoyi fundamentalnoyi formi na odinichnomu dotichnomu vektori X ye rivnim krivini normalnogo peretinu poverhni S viznachenomu yak peretin S i ploshini zadanoyi vektorami N p i X Matricya vidobrazhennya Vejngartena u bazisi S u S v displaystyle S u S v nbsp oderzhuyetsya transponuvannyam matrici derivacijnih formul Vejngartena A same yaksho d p N a 11 a 12 a 21 a 22 displaystyle d p mathrm N begin pmatrix a 11 amp a 12 a 21 amp a 22 end pmatrix nbsp to a 11 F M G L E G F 2 a 21 F L E M E G F 2 a 12 F N G M E G F 2 a 22 F M E N E G F 2 displaystyle a 11 frac FM GL EG F 2 a 21 frac FL EM EG F 2 a 12 frac FN GM EG F 2 a 22 frac FM EN EG F 2 nbsp U poperednih formulah E S u S u F S u S v G S v S v displaystyle E S u S u F S u S v G S v S v nbsp a takozh L d N S u S u N S u u M d N S u S v N S u v N d N S v S v N S v v displaystyle L mathrm d mathrm N S u S u mathrm N S uu M mathrm d mathrm N S u S v mathrm N S uv N mathrm d mathrm N S v S v mathrm N S vv nbsp i vsi skalyarni dobutki rozglyadayutsya na dotichnij ploshini u tochci p Yakobian vidobrazhennya Gausa dorivnyuye gausovij krivini poverhni v danij tochci Bilsh abstraktno mozhna dati oznachennya vidobrazhennya Vejngartena cherez kovariantni pohidni afinni zv yaznosti Dani oznachennya mayut zmist dlya evklidovogo prostoru bud yakoyi rozmirnosti i ye osnovoyu dlya podalshih uzagalnen zokrema u rimanovij geometriyi U evklidovomu prostori R n displaystyle mathbb R n nbsp kovariantna pohidna dlya diferencijovnih vektornih poliv X Y v okoli tochki p zadayetsya yak X Y p X y 1 X y n p displaystyle bar nabla X Y p Xy 1 ldots Xy n p nbsp de u standartnomu bazisi druge vektorne pole cherez koordinati zapisuyetsya yak Y y 1 y n displaystyle Y y 1 ldots y n nbsp a X y i displaystyle Xy i nbsp poznachaye diyu vektornogo polya X yak diferencialnogo operatora na funkciyi y i displaystyle y i nbsp Znachennya X Y displaystyle bar nabla X Y nbsp v deyakij tochci p zalezhit lishe vid znachennya vektornogo polya X u cij tochci a takozh znachennya vektornogo polya Y na deyakij pryamij sho prohodit cherez tochku p i dotichnij vektor yakoyi v cij tochci rivnij X p Yaksho a t R n a 0 p a 0 X p displaystyle alpha t in mathbb R n alpha 0 p alpha 0 X p nbsp taka kriva to poznachivshi Y t y 1 t y n t Y a t displaystyle Y t y 1 t ldots y n t Y alpha t nbsp otrimayemo X Y p y 1 0 y n 0 p displaystyle bar nabla X Y p y 1 0 ldots y n 0 p nbsp Zvidsi pri tih zhe poznachennyah dlya giperpoverhni u evklidovomu prostori i normalnogo polya takozh viplivaye sho d p N X N a t t 0 X N displaystyle mathrm d p mathrm N X mathrm N alpha t t 0 bar nabla X mathrm N nbsp Takim chinom dlya dovedennya vlastivostej vidobrazhennya Vejngartena takozh mozhna vikoristovuvati vlastivosti kovariantnih pohidnih Dlya cogo u vipadku giperpoverhon vazhlivim ye toj fakt sho normalni i dotichni vektorni polya N X na okoli tochki p na giperpoverhni mozhna prodovzhiti do vektornih poliv N X displaystyle bar mathrm N bar X nbsp v okoli ciyeyi tochki u evklidovomu prostori Zokrema dlya dovedennya samospryazhenosti X N Y p X Y N p X N Y p X Y N p displaystyle bar nabla X mathrm N Y p X bar nabla Y mathrm N p bar nabla bar X bar mathrm N bar Y p bar X bar nabla bar Y bar mathrm N p nbsp X p N Y N X Y p Y p N X N Y X p displaystyle bar X p bar mathrm N bar Y bar N bar nabla bar X bar Y p bar Y p bar mathrm N bar X bar mathrm N bar nabla bar Y bar X p nbsp N X Y p N Y X p N Y X p N p Y p X p 0 displaystyle bar mathrm N bar nabla bar X bar Y p bar mathrm N bar nabla bar Y bar X p bar mathrm N bar Y bar X p mathrm N p Y p X p 0 nbsp dd Prikladi red Dlya ploshini zadanoyi rivnyannyam a x b y c z d 0 displaystyle ax by cz d 0 nbsp vidobrazhennya Gausa ye konstantoyu rivnoyu N a b c a 2 b 2 c 2 displaystyle N frac a b c sqrt a 2 b 2 c 2 nbsp Vidpovidno vidobrazhennya Vejngartena ye nulovim linijnim vidobrazhennyam Dlya odinichnoyi sferi S 2 displaystyle mathbb S 2 nbsp u tochci x y z displaystyle x y z nbsp odinichnimi normalnimi vektorami ye x y z displaystyle x y z nbsp i x y z displaystyle x y z nbsp Zazvichaj obirayetsya obernenij normalnij vektor todi N x y z x y z displaystyle mathrm N x y z x y z nbsp Dlya vidobrazhennya Vejngartena d N x t y t z t N t x t y t z t displaystyle mathrm d mathrm N x t y t z t mathrm N t x t y t z t nbsp dlya bud yakoyi krivoyi x t y t z t displaystyle x t y t z t nbsp i N t N x t y t z t displaystyle mathrm N t mathrm N x t y t z t nbsp na odinichnij sferi Todi d p S 2 v v v T p S 2 displaystyle mathrm d p mathbb S 2 v v v in T p mathbb S 2 nbsp Dlya cilindra C x y z R 3 x 2 z 2 1 displaystyle C x y z in mathbb R 3 x 2 z 2 1 nbsp u dovilnij tochci dotichna ploshina zadayetsya vektorami v paralelnim osi z i w sho ye dotichnim do kola x y z 0 R 3 x 2 z 2 1 displaystyle x y z 0 in mathbb R 3 x 2 z 2 1 nbsp sho prohodit cherez cyu tochku Podibno do poperednogo prikladu N x y z x y 0 displaystyle mathrm N x y z x y 0 nbsp i dlya vvedenih bazisnih vektoriv dotichnoyi ploshini d p C v 0 d p C w w displaystyle mathrm d p C v 0 mathrm d p C w w nbsp Div takozh red Derivacijni formuli Vejngartena Druga kvadratichna forma Poverhnya Teorema MenyeLiteratura red Carmo Manfredo Perdigao do 1976 Differential geometry of curves and surfaces Upper Saddle River NJ Prentice Hall ISBN 0 13 212589 7 Hicks Noel 1965 Notes on Differential Geometry Van Nostrand Princeton N J ISBN 0442034105 Kuhnel Wolfgang 2005 Differential Geometry Curves Surfaces Manifolds vid 2nd American Mathematical Society ISBN 978 0 8218 3988 1 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Vidobrazhennya Gausa amp oldid 31528580