Квадратна матриця з комплексними елементами називається ермітовою (на честь Шарля Ерміта) чи само-спряженою, якщо вона дорівнює своїй ермітово-спряженій матриці, тобто
Це еквівалентно до системи рівнянь для елементів матриці
Властивості ред.
- Ермітова матриця є частковим випадком нормальної матриці.
- Діагональні елементи ермітової матриці є дійсними числами.
- Визначник ермітової матриці — дійсне число.
- Власні значення ермітової матриці є дійсними числами.
- Обернена матриця до ермітової, якщо існує, то є ермітовою матрицею.
- Сума ермітових матриць є ермітовою матрицею.
- Добуток ермітових матриць A і B є ермітовою матрицею тоді і тільки тоді, коли вони є переставними ( ).
- Матриця ермітова оператора в ермітовому просторі відносно будь-якого ортонормального базису є ермітовою.
- Жорданова форма ермітової матриці діагональна.
Часткові випадки ред.
Частковими випадками ермітових матриць є:
- додатньоозначені матриці — у них всі власні значення додатні;
- невід'ємноозначені матриці — у них всі власні значення невід'ємні;
- від'ємноозначені матриці — у них всі власні значення від'ємні.
Зв'язок з комплексними числами ред.
Довільну квадратну матрицю можна представити як суму деякої ермітової та антиермітової матриць:
де:
Також справедливо, що матриця є нормальною тоді і тільки тоді, коли матриці переставні:
Вищенаведена властивість вводить аналогію між комплексними числами та нормальними матрицями.
Отже, якщо розглядати нормальні матриці як узагальнення комплексних чисел, то:
- ермітові матриці в такому випадку відіграватимуть роль дійсних чисел;
- антиермітові — чисто уявних комплексних чисел;
- і вищенаведені часткові випадки ермітових матриць будуть аналогом додатних, невід'ємних і від'ємних дійсних чисел.
Приклад ред.
— ермітова матриця тому, що
або
Див. також ред.
Джерела ред.
- Гантмахер Ф. Р. (1967). IX. Теория матриц (вид. друге). Москва: Наука. с. 576 с.