Двовимірні багатовиди мають деяку специфіку в порівнянні з багатовидами вищих розмірностей.
Одновимірність тензора Рімана
Оскільки в двовимірному випадку антисиметрична пара індексів може тільки одну (з точністю до знаку) комбінацію , то (тензор Рімана) з двома антисиметричними парами індексів має лише одну ненульову компоненту:
легко перевірити, що (алгебраїчна) та (диференціальна) тотожності Біанкі не накладають на цю компненту ніяких обмежень. Дійсно, алгебраїчна тотожність з циклічною перестановкою перших трьох індексів:
задовольняється, оскільки другий протилежний першому (внаслідок антисиметрії по першій парі індексів), а третій доданок дорівнює нулю. Те саме зауваження стосується і диференціальної тотожності Біанкі:
В цій формулі друга пара індексів теж дорівнює , але ми таку підстановку навмисне не зробили, щоб підкреслити, що ця пара індексів не бере участі в циклічній перестановці.
Оскільки наведені вище міркування стосуються також тензора (метричної матрьошки):
То тензор Рімана будь-якого двовимірного багатовида виявляється пропорційним тензору метричної матрьошки:
Цікаво, що у вищих розмірностях формула (5) може бути справедливою лише для просторів постійної кривини. Дійсно, нехай буквою позначено розмірність багатовида. Тоді послідовними згортками із формули (5) знаходимо тензор Річчі і скалярну кривину:
Ці два вирази ми можемо підставити в згорнуту диференціальну тотжність Біанкі:
При перші два множника в формулі (8b) ненульові, а тому:
тобто коефіцієнт однаковий для всього багатовида з розмірністю більшою двох.
Для двовимірних багатовидів () формула (8b) перетворюється на тотожний нуль, тому коефіцієнт може змінюватися. Із формули (7) знаходимо, що дорівнює (Ґаусовій кривині) другого степеня:
Маємо такі формули для двовимірного багатовида:
Ізотермічні координати
В вудь-якому двовимірному багатовиді можна вибрати (локально звичайно з огляду на топологію, в околі будь-якої точки) таку систему координат, що метричний тензор буде пропорційним одиничній матриці:
Такі координати називаються ізотермічними. Квадрат елемента відстані дорівнює:
Теорема Ґауса — Бонне
Для будь-якого гладкого замкнутого контуру на двовимірному багатовиді і обмеженої цим контуром області справедлива наступна формула:
де перший інтеграл береться від геодезичної кривини контуру , другий інтеграл береться від Ґаусової кривини, а є цілим числом - характеристикою Ейлера для області . Докладніше ця теорема описана в статті (Теорема Ґауса-Бонне).
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет