Persha kvadratichna forma abo metrichnij tenzor poverhni kvadratichna forma vid diferencialiv koordinat na poverhni yaka viznachaye vnutrishnyu geometriyu poverhni v okoli danoyi tochki Nayavnosti pershoyi kvadratichnoyi formi dostatno dlya obchislennya dovzhin dug kutiv mizh krivimi ploshi oblastej na poverhni Zmist 1 Viznachennya 1 1 Sho mozhna obchisliti za dopomogoyu pershoyi kvadratichnoyi formi 2 Vlastivosti 3 Obchislennya dovzhini ta ploshi 3 1 Priklad 3 1 1 Dovzhina krivoyi na sferi 3 1 2 Plosha oblasti na sferi 4 LiteraturaViznachennya RedaguvatiNehaj poverhnya zadana rivnyannyam r r u v displaystyle r r u v nbsp de u displaystyle u nbsp i v displaystyle v nbsp vnutrishni koordinati na poverhni d r r u d u r v d v displaystyle dr r u du r v dv nbsp Diferencial radius vektora r displaystyle r nbsp uzdovzh obranogo napryamku zmishennya z tochki M displaystyle M nbsp v neskinchenno blizku tochku M displaystyle M nbsp Kvadrat golovnoyi lipshicevoyi chastini prirostu dovzhini M M displaystyle MM nbsp virazhayetsya kvadratom diferenciala d r displaystyle dr nbsp d r 2 r u 2 d u 2 2 r u r v d u d v r v 2 d v 2 displaystyle dr 2 r u 2 du 2 2 langle r u r v rangle dudv r v 2 dv 2 nbsp i nazivayetsya pershoyu osnovnoyu kvadratichnoyu formoyu poverhni Koeficiyenti pershoyi kvadratichnoyi formi zazvichaj poznachayut cherez E r u 2 F r u r v G r v 2 displaystyle E r u 2 F langle r u r v rangle G r v 2 nbsp abo v tenzornih simvolah d r 2 g 1 1 d u 2 2 g 1 2 d u d v g 2 2 d v 2 displaystyle dr 2 g 1 1 du 2 2g 1 2 dudv g 2 2 dv 2 nbsp Tenzor g i j displaystyle g i j nbsp nazivayetsya osnovnim abo metrichnim tenzorom poverhni Sho mozhna obchisliti za dopomogoyu pershoyi kvadratichnoyi formi Redaguvati Dovzhina krivoyi na poverhni Kut mizh krivimi na poverhni Plosha poverhni Vlastivosti RedaguvatiPersha kvadratichna forma ye dodatno viznachenoyu formoyu v zvichajnih tochkah poverhni E G F 2 gt 0 displaystyle EG F 2 gt 0 nbsp Obchislennya dovzhini ta ploshi RedaguvatiPersha kvadratichna forma povnistyu opisuye metrichni vlastivosti poverhni Takim chinom vona dozvolyaye obchisliti dovzhini krivih na poverhni ta ploshi oblastej na poverhni Linijnij element ds mozhe buti virazhenij v terminah koeficiyentiv pershoyi kvadratichnoyi formi u viglyadi d s 2 E d u 2 2 F d u d v G d v 2 displaystyle ds 2 Edu 2 2Fdudv Gdv 2 nbsp Klasichna plosha elementa zadayetsya d A X u X v d u d v displaystyle dA X u times X v du dv nbsp mozhe buti virazhena v terminah pershoyi kvadratichnoyi formi za dopomogoyu totozhnosti Lagranzha d A X u X v d u d v X u X u X v X v X u X v 2 d u d v E G F 2 d u d v displaystyle dA X u times X v du dv sqrt langle X u X u rangle langle X v X v rangle langle X u X v rangle 2 du dv sqrt EG F 2 du dv nbsp Priklad Redaguvati Sfera odinichnogo radiusa v R 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp mozhe buti parametrizovana yak X u v cos u sin v sin u sin v cos v u v 0 2 p 0 p displaystyle X u v begin pmatrix cos u sin v sin u sin v cos v end pmatrix u v in 0 2 pi times 0 pi nbsp diferenciyuyuchi X u v displaystyle X u v nbsp po zminnih u displaystyle u nbsp ta v displaystyle v nbsp otrimuyemo X u sin u sin v cos u sin v 0 X v cos u cos v sin u cos v sin v displaystyle X u begin pmatrix sin u sin v cos u sin v 0 end pmatrix X v begin pmatrix cos u cos v sin u cos v sin v end pmatrix nbsp Koeficiyenti pershoyi kvadratichnoyi formi mozhna znajti za dopomogoyu skalyarnogo dobutku chastkovih pohidnih E X u X u sin 2 v displaystyle E X u cdot X u sin 2 v nbsp F X u X v 0 displaystyle F X u cdot X v 0 nbsp G X v X v 1 displaystyle G X v cdot X v 1 nbsp Dovzhina krivoyi na sferi Redaguvati Ekvator sferi ye parametrizovana kriva zadana u t v t t p 2 displaystyle u t v t t pi 2 nbsp z t displaystyle t nbsp v diapazoni vid 0 displaystyle 0 nbsp do 2 p displaystyle 2 pi nbsp Linijnij element mozhe buti vikoristanij shob obchisliti dovzhinu ciyeyi krivoyi 0 2 p E d u d t 2 2 F d u d t d v d t G d v d t 2 d t 0 2 p sin v d t 2 p sin p 2 2 p displaystyle int 0 2 pi sqrt E left frac du dt right 2 2F frac du dt frac dv dt G left frac dv dt right 2 dt int 0 2 pi sin v dt 2 pi sin frac pi 2 2 pi nbsp Plosha oblasti na sferi Redaguvati Plosha elementa mozhe buti vikoristana dlya obchislennya ploshi oblasti 0 p 0 2 p E G F 2 d u d v 0 p 0 2 p sin v d u d v 2 p cos v 0 p 4 p displaystyle int 0 pi int 0 2 pi sqrt EG F 2 du dv int 0 pi int 0 2 pi sin v du dv 2 pi left cos v right 0 pi 4 pi nbsp Literatura RedaguvatiBorisenko O A Diferencialna geometriya i topologiya Navch posibnik dlya stud Harkiv Osnova 1995 304 s Prishlyak O Diferencialna geometriya Kurs lekcij K Kiyivskij universitet 2004 68 s Arhivovano 14 kvitnya 2010 u Wayback Machine nbsp Ce nezavershena stattya z geometriyi Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Persha kvadratichna forma amp oldid 39297813
