Напівпрості модулі — модулі, які є прямою сумою простих модулів. Кільце, що є напівпростим модулем над самим собою, називається напівпростим кільцем. Важливий приклад напівпростих кілець — групове кільце скінченної групи над полем характеристики нуль. Структура напівпростих кілець описується теоремою Веддерберна — Артіна: всі такі кільця є прямими добутками кілець матриць.
Визначення ред.
Наводяться три еквівалентних визначення напівпростих модулів: модуль M називається напівпростим, якщо
- M ізоморфний прямій сумі простих (незвідних) модулів.
- M можна розкласти в суму простих підмодулів M.
- Якщо N — підмодуль M, то існує підмодуль P модуля M, такий що M = N ⊕ P.
Властивості ред.
- Якщо M є напівпростим і N — його підмодуль, то N і M/N також напівпрості.
- Якщо всі — напівпрості модулі, то і пряма сума є напівпростою.
- Модуль M є скінченнопородженим і напівпростим тоді і тільки тоді, коли він є артиновим і його радикал рівний нулю.
Нехай A — алгебра над полем k. Лівий модуль M над A називається абсолютно напівпростим якщо для будь-якого розширення F поля k, є напівпростим модулем над .
Напівпрості кільця ред.
Кільце називається напівпростим (зліва) якщо воно є напівпростим як (лівий) модуль над самим собою. Виявляється, що напівпрості зліва кільця напівпрості справа і навпаки, так що можна говорити про напівпрості кільця.
Будь-які ліві і праві модулі над напівпростим кільцем є напівпростими модулями.
Напівпрості кільця можна охарактеризувати в термінах гомологічної алгебри: кільце R є напівпростим тоді і тільки тоді, коли будь-яка коротка точна послідовність (лівих) R-модулів розщеплюється. Зокрема, модуль над напівпростим кільцем є ін'єктивним і проективним.
Напівпрості кільця є одночасно артиновими і нетеровими. Якщо існує гомоморфізм з поля в напівкільце, воно називається напівпростою алгеброю.
Приклади ред.
- Комутативне напівпросте кільце є ізоморфним прямому добутку полів.
- Якщо k — поле і G — скінченна група порядку n, то групове кільце k[G] є напівпростим тоді і тільки тоді, коли характеристика поля ділить n. Цей результат відомий як теорема Машке і важливий в теорії представлень груп.
Теорема Веддерберна — Артіна ред.
Теорема Веддерберна — Артіна стверджує, що будь-яке напівпросте кільце є ізоморфним прямому добутку кілець матриць ni на ni з елементами в тілі Di, причому числа ni визначені однозначно, і тіла — з точністю до ізоморфізму. Зокрема, просте кільце є ізоморфним кільцю матриць над тілом.
Оригінальний результат Джозефа Веддерберна полягав у тому, що просте кільце, яке є скінченновимірною простою алгеброю над тілом є ізоморфним кільцю матриць. Еміль Артін узагальнив теорему на випадок напівпростих (артинових) кілець.
Приклади випадків, в яких можна застосувати теорему Веддерберна — Артіна: кожна скінченновимірна проста алгебра над R є кільцем матриць над R, C або H (кватерніонами), кожна скінченновимірна проста алгебра над С є кільцем матриць над С.
Примітки ред.
- Nathan Jacobson, Basic Algebra II (Second Edition), p.120
Література ред.
- Jacobson, Nathan (1989). Basic algebra II (вид. 2nd). W. H. Freeman. ISBN 978-0-7167-1933-5.
- Lam, Tsit-Yuen (2001). A First Course in Noncommutative Rings (вид. 2nd). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-95325-0. MR1838439.
- R.S. Pierce. Associative Algebras. Graduate Texts in Mathematics vol 88.