www.wikidata.uk-ua.nina.az

Універсальна обгортуюча алгебра асоціативна алгебра яка може бути побудована для будь якої алгебри Лі переймає багато ва

Універсальна обгортуюча алгебра

Універсальна обгортуюча алгебра — асоціативна алгебра, яка може бути побудована для будь-якої алгебри Лі, переймає багато важливих властивостей вихідної алгебри, що дозволяє застосувати більш широкі засоби для вивчення вихідної алгебри.

Асоціативна алгебра над полем має природну структуру алгебри Лі над з дужкою Лі: , тобто, з асоціативного добутку можна одержати дужку Лі за допомогою простого взяття комутатора. Ця алгебру Лі позначається . Побудова універсальної обгортуючої алгебри намагається обернути цей процес: для даної алгебри Лі над знаходять «найбільш загальну» асоціативну -алгебру таку, що алгебра Лі містить .

Мотивація ред.

Важливим розділом у вивченні алгебри Лі є представлення алгебри Лі. Представлення зіставляє кожному елементу x алгебри Лі лінійний оператор . Для даних лінійних операторів можна розглядати не тільки дужки Лі але також і добутки . Суть введення універсальної обгортуючої алгебри у вивченні таких добутків для різних представленнях алгебри Лі. Відразу бачиться одна перешкода в наївній спробі зробити це: властивості добутків докорінно залежать від обраного представлення, а не тільки від самої алгебри Лі. Наприклад, для одного представлення можна отримати , тоді як для іншого цей добуток може бути ненульовим. Проте певні властивості є універсальними для всіх представлень, тобто справедливими для всіх представлень одночасно. Універсальна обгортуюча алгебра — спосіб охопити всі такі властивості і тільки їх.

Пряма побудова ред.

Побудова універсальної обгортуючої алгебри починається із тензорної алгебри на векторному просторі алгебри

Універсальна обгортуюча алгебра одержується як фактор-простір за співвідношеннями:

для всіх і в , де дужки в правій частині виразу позначають комутатор в .

Формально:

де — двосторонній ідеал , породжений елементами виду

Природне відображення зводиться до відображення .

Універсальна властивість ред.

Нехай — довільна алгебра Лі над полем . Алгебри задовольняє універсальній властивості: для будь-якої асоціативної алгебри з одиницею і гомоморфізму алгебр Лі

існує єдиний гомоморфізм асоціативних алгебр з одиницею

такий, що

Цю універсальну властивість також можна розуміти так: функтор, що відображає в її універсальну обгортуючу алгебру є спряженим зліва до функтора, що відображає асоціативну алгебру у відповідну алгебру Лі .

З універсальної властивості можна довести, що якщо алгебра Лі має універсальну обгортуючу алгебру, то ця обгортуюча алгебра єдиним чином визначається алгеброю (з точністю до ізоморфізму).

Приклади ред.

  • Якщо є абелевою (тобто, комутатор завжди рівний 0), то є коммутативною; якщо обраний базис векторного простору , то може розглядатися як алгебра многочленів над , з однією змінною для кожного базисного елемента.
  • Центр алгебри позначається через і складається з диференціальних операторів, які є інваріантними як щодо лівої дії групи, так і щодо правої; в разі некомутативності центр часто вже не породжується операторами першого порядку (наприклад, оператор Казиміра ніпівпростої алгебри Лі).
  • Алгебра Вейля диференціальних операторів від змінних з поліноміальними коефіцієнтами може бути отримана, починаючи з алгебри Лі групи Гейзенберга. Для цього необхідно профакторизувати її так, щоб центральні елементи даної алгебри Лі діяли як скаляри.

Властивості ред.

  • При такому представленні, елементи , що є інваріантними при дії (тобто дія на них будь-якого елемента є тривіальною), називаються інваріантними елементами. Вони породжуються інваріантами Казимира.
  • Конструкція універсальної обгортуючої алгебри є частиною пари спряжених функторів. — функтор з категорії алгебр Лі над у категорію асоціативних -алгебр з одиницею. Цей функтор є спряженим зліва до функтора, що відображає алгебру в алгебру . Проте конструкція універсальної обгортуючої алгебри не є точно оберненою до формування : якщо почати з асоціативної алгебри , то не є рівною , а є значно більшою.
  • Побудова групової алгебри деякої групи багато в чому є аналогічною побудові універсальної обгортуючої алгебри для заданої алгебри Лі. Обидві побудови є універсальними і переносять теорію представлень в теорію модулів. Більш того, як групові алгебри, так і універсальні обгортуючі алгебри мають природну структуру комноження, які перетворюють їх в алгебру Хопфа.

Див. також ред.

Література ред.

  • Dixmier, Jacques (1996) [1974]. Enveloping algebras. Graduate Studies in Mathematics 11. Providence, R.I.: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-0560-2. MR 0498740. 
  • Kirillov, A. (2008). An Introduction to Lie Groups and Lie Algebras. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 113. Cambridge University Press. ISBN 978-0521889698. 
  • Musson, Ian M. (2012). Lie Superalgebras and Enveloping Algebras. Graduate Studies in Mathematics 131. Providence, R.I.: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-6867-5. Zbl 1255.17001. 
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Universalna obgortuyucha algebra asociativna algebra yaka mozhe buti pobudovana dlya bud yakoyi algebri Li perejmaye bagato vazhlivih vlastivostej vihidnoyi algebri sho dozvolyaye zastosuvati bilsh shiroki zasobi dlya vivchennya vihidnoyi algebri Asociativna algebra A displaystyle A nad polem K displaystyle K maye prirodnu strukturu algebri Li nad K displaystyle K z duzhkoyu Li a b a b b a displaystyle a b ab ba tobto z asociativnogo dobutku mozhna oderzhati duzhku Li za dopomogoyu prostogo vzyattya komutatora Cya algebru Li poznachayetsya A L displaystyle A L Pobudova universalnoyi obgortuyuchoyi algebri namagayetsya obernuti cej proces dlya danoyi algebri Li g displaystyle mathfrak g nad K displaystyle K znahodyat najbilsh zagalnu asociativnu K displaystyle K algebru U g displaystyle U mathfrak g taku sho algebra Li U L displaystyle U L mistit g displaystyle mathfrak g Zmist 1 Motivaciya 2 Pryama pobudova 2 1 Universalna vlastivist 3 Prikladi 4 Vlastivosti 5 Div takozh 6 LiteraturaMotivaciya red Vazhlivim rozdilom u vivchenni algebri Li ye predstavlennya algebri Li Predstavlennya r displaystyle rho nbsp zistavlyaye kozhnomu elementu x algebri Li linijnij operator r x displaystyle rho x nbsp Dlya danih linijnih operatoriv mozhna rozglyadati ne tilki duzhki Li ale takozh i dobutki r x r y displaystyle rho x rho y nbsp Sut vvedennya universalnoyi obgortuyuchoyi algebri u vivchenni takih dobutkiv dlya riznih predstavlennyah algebri Li Vidrazu bachitsya odna pereshkoda v nayivnij sprobi zrobiti ce vlastivosti dobutkiv dokorinno zalezhat vid obranogo predstavlennya a ne tilki vid samoyi algebri Li Napriklad dlya odnogo predstavlennya mozhna otrimati r x r y 0 displaystyle rho x rho y 0 nbsp todi yak dlya inshogo cej dobutok mozhe buti nenulovim Prote pevni vlastivosti ye universalnimi dlya vsih predstavlen tobto spravedlivimi dlya vsih predstavlen odnochasno Universalna obgortuyucha algebra sposib ohopiti vsi taki vlastivosti i tilki yih Pryama pobudova red Pobudova universalnoyi obgortuyuchoyi algebri pochinayetsya iz tenzornoyi algebri T g displaystyle T mathfrak g nbsp na vektornomu prostori algebri g displaystyle mathfrak g nbsp T g K g g g g g g displaystyle T mathfrak g K oplus mathfrak g oplus mathfrak g otimes mathfrak g oplus mathfrak g otimes mathfrak g otimes mathfrak g oplus cdots nbsp Universalna obgortuyucha algebra U g displaystyle U mathfrak g nbsp oderzhuyetsya yak faktor prostir T g displaystyle T mathfrak g nbsp za spivvidnoshennyami a b b a a b displaystyle a otimes b b otimes a a b nbsp dlya vsih a displaystyle a nbsp i b displaystyle b nbsp v g displaystyle mathfrak g nbsp de duzhki v pravij chastini virazu poznachayut komutator v g displaystyle mathfrak g nbsp Formalno U g T g I displaystyle U mathfrak g T mathfrak g I nbsp de I displaystyle I nbsp dvostoronnij ideal T g displaystyle T mathfrak g nbsp porodzhenij elementami vidu a b b a a b a b g displaystyle a otimes b b otimes a a b quad a b in mathfrak g nbsp Prirodne vidobrazhennya g T g displaystyle mathfrak g to T mathfrak g nbsp zvoditsya do vidobrazhennya h g U L displaystyle h colon mathfrak g to U L nbsp Universalna vlastivist red Nehaj g displaystyle mathfrak g nbsp dovilna algebra Li nad polem K displaystyle K nbsp Algebri U displaystyle U nbsp zadovolnyaye universalnij vlastivosti dlya bud yakoyi asociativnoyi algebri A displaystyle A nbsp z odiniceyu i gomomorfizmu algebr Li f g A L displaystyle f colon mathfrak g to A L nbsp isnuye yedinij gomomorfizm asociativnih algebr z odiniceyu g U A displaystyle g colon U to A nbsp takij sho f g h displaystyle f gh nbsp Cyu universalnu vlastivist takozh mozhna rozumiti tak funktor sho vidobrazhaye g displaystyle mathfrak g nbsp v yiyi universalnu obgortuyuchu algebru ye spryazhenim zliva do funktora sho vidobrazhaye asociativnu algebru A displaystyle A nbsp u vidpovidnu algebru Li A L displaystyle A L nbsp Z universalnoyi vlastivosti mozhna dovesti sho yaksho algebra Li maye universalnu obgortuyuchu algebru to cya obgortuyucha algebra yedinim chinom viznachayetsya algebroyu g displaystyle mathfrak g nbsp z tochnistyu do izomorfizmu Prikladi red Yaksho g displaystyle mathfrak g nbsp ye abelevoyu tobto komutator zavzhdi rivnij 0 to U g displaystyle U mathfrak g nbsp ye kommutativnoyu yaksho obranij bazis vektornogo prostoru g displaystyle mathfrak g nbsp to U g displaystyle U mathfrak g nbsp mozhe rozglyadatisya yak algebra mnogochleniv nad K displaystyle K nbsp z odniyeyu zminnoyu dlya kozhnogo bazisnogo elementa Yaksho g displaystyle mathfrak g nbsp algebra Li grupi Li G displaystyle G nbsp U g displaystyle U mathfrak g nbsp mozhe rozglyadatisya yak algebra livoinvariantnih diferencialnih operatoriv vsih poryadkiv na G displaystyle G nbsp sho mistit g displaystyle mathfrak g nbsp yak diferencialnih operatoriv pershogo poryadku yaki znahodyatsya pid vzayemnij vidpovidnosti z livoinvariantnimi vektornimi polyami na G displaystyle G nbsp Centr algebri U g displaystyle U mathfrak g nbsp poznachayetsya cherez Z g displaystyle Z mathfrak g nbsp i skladayetsya z diferencialnih operatoriv yaki ye invariantnimi yak shodo livoyi diyi grupi tak i shodo pravoyi v razi nekomutativnosti G displaystyle G nbsp centr chasto vzhe ne porodzhuyetsya operatorami pershogo poryadku napriklad operator Kazimira nipivprostoyi algebri Li Takozh U g displaystyle U mathfrak g nbsp mozhna oharakterizuvati yak algebru uzagalnenih funkcij z nosiyem na odinichnomu elementi e displaystyle e nbsp grupi G displaystyle G nbsp z operaciyeyu zgortki Algebra Vejlya diferencialnih operatoriv vid n displaystyle n nbsp zminnih z polinomialnimi koeficiyentami mozhe buti otrimana pochinayuchi z algebri Li grupi Gejzenberga Dlya cogo neobhidno profaktorizuvati yiyi tak shob centralni elementi danoyi algebri Li diyali yak skalyari Vlastivosti red Fundamentalna teorema Puankare Birkgofa Vitta daye tochnij opis U g displaystyle U mathfrak g nbsp najbilsh vazhlivij naslidok z neyi ce te sho g displaystyle mathfrak g nbsp mozhe rozglyadatisya yak linijnij pidprostir U g displaystyle U mathfrak g nbsp Bilsh tochno kanonichne vidobrazhennya h g U g displaystyle h colon mathfrak g to U mathfrak g nbsp zavzhdi ye in yektivnim Okrim togo U g displaystyle U mathfrak g nbsp porodzhuyetsya g displaystyle mathfrak g nbsp yak asociativna algebra z odiniceyu g displaystyle mathfrak g nbsp diye na sobi za dopomogoyu priyednanogo predstavlennya algebri Li i cya diya mozhe buti rozshireno na predstavlennya g displaystyle mathfrak g nbsp v endomorfizmi U g displaystyle U mathfrak g nbsp g displaystyle mathfrak g nbsp diye yak algebra pohidnih na T g displaystyle T mathfrak g nbsp i cya diya zberigaye nakladeni spivvidnoshennya tomu vona faktichno diye na U g displaystyle U mathfrak g nbsp Pri takomu predstavlenni elementi U g displaystyle U mathfrak g nbsp sho ye invariantnimi pri diyi g displaystyle mathfrak g nbsp tobto diya na nih bud yakogo elementa g displaystyle mathfrak g nbsp ye trivialnoyu nazivayutsya invariantnimi elementami Voni porodzhuyutsya invariantami Kazimira Konstrukciya universalnoyi obgortuyuchoyi algebri ye chastinoyu pari spryazhenih funktoriv U displaystyle U nbsp funktor z kategoriyi algebr Li nad K displaystyle K nbsp u kategoriyu asociativnih K displaystyle K nbsp algebr z odiniceyu Cej funktor ye spryazhenim zliva do funktora sho vidobrazhaye algebru A displaystyle A nbsp v algebru A L displaystyle A L nbsp Prote konstrukciya universalnoyi obgortuyuchoyi algebri ne ye tochno obernenoyu do formuvannya A L displaystyle A L nbsp yaksho pochati z asociativnoyi algebri A displaystyle A nbsp to U A L displaystyle U A L nbsp ne ye rivnoyu A displaystyle A nbsp a ye znachno bilshoyu Abeleva kategoriya vsih predstavlen g displaystyle mathfrak g nbsp ye izomorfnoyu abelevij kategoriyi vsih livih moduliv nad U g displaystyle U mathfrak g nbsp Pobudova grupovoyi algebri deyakoyi grupi bagato v chomu ye analogichnoyu pobudovi universalnoyi obgortuyuchoyi algebri dlya zadanoyi algebri Li Obidvi pobudovi ye universalnimi i perenosyat teoriyu predstavlen v teoriyu moduliv Bilsh togo yak grupovi algebri tak i universalni obgortuyuchi algebri mayut prirodnu strukturu komnozhennya yaki peretvoryuyut yih v algebru Hopfa Div takozh red Predstavlennya algebri LiLiteratura red Dixmier Jacques 1996 1974 Enveloping algebras Graduate Studies in Mathematics 11 Providence R I American Mathematical Society ISBN 978 0 8218 0560 2 MR 0498740 Kirillov A 2008 An Introduction to Lie Groups and Lie Algebras Cambridge Studies in Advanced Mathematics 113 Cambridge University Press ISBN 978 0521889698 Musson Ian M 2012 Lie Superalgebras and Enveloping Algebras Graduate Studies in Mathematics 131 Providence R I American Mathematical Society ISBN 0 8218 6867 5 Zbl 1255 17001 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Universalna obgortuyucha algebra amp oldid 30815416