www.wikidata.uk-ua.nina.az

Алгебрична комбінаторика це галузь математики що використовує методи загальної алгебри особливо теорії груп і теорії пре

Алгебрична комбінаторика

Алгебрична комбінаторика — це галузь математики, що використовує методи загальної алгебри, особливо теорії груп і теорії представлень, у різних комбінаторних контекстах і, навпаки, застосовує комбінаторні техніки до задач в алгебрі.

Матроїд Фано, отриманий з площини Фано. Матроїди — одна з багатьох галузей, які вивчаються в алгебричній комбінаториці.

Історія Редагувати

В 1990-х роках типові комбінаторні об'єкти, які розглядалися в алгебричній комбінаториці, або мали велику кількість загальновизнаних симетрій (схема відношень[en], сильно регулярні графи, частково впорядковані множини з дією групи), або мали багату алгебричну структуру, що, як правило, мала теоретичні джерела (симетричні функції, діаграми Юнга). Цей період відбито в розділі 05E, «Алгебрична комбінаторика», математичної предметної класифікації AMS, запропонованої в 1991 році.

Сфера застосування Редагувати

Алгебричну комбінаторику можна розглядати як галузь математики, де особливо суттєвою є взаємодія комбінаторних і алгебричних методів. Такими комбінаторними темами є перерахування за властивостями або галузі, що залучають матроїди, багатогранники, частково впорядковані множини або скінченні геометрії. З боку алгебри, крім теорії груп і теорії представлень, часто використовуються ґратки і комутативна алгебра. Журнал «Journal of Algebraic Combinatorics[en]», який випускає видавництво Springer-Verlag, є міжнародним журналом для статей з цієї галузі.

Важливі розділи Редагувати

Симетричні функції Редагувати

Кільце симетричних функцій[en] є своєрідною границею кілець симетричних многочленів від n змінних при n, що прямує до нескінченності. Це кільце слугує універсальною структурою, в якій зв'язки між симетричними многочленами можна виразити без прив'язки до числа змінних (але елементи кільця не є ні многочленами, ні функціями). Крім усього іншого, це кільце відіграє важливу роль у теории представлений симметрических групп[en].

Схеми відношень Редагувати

Схема відношень[en] — це набір бінарних відношень, які задовольняють певним умовам сумісності. Схеми відношень дають однаковий підхід до багатьох розділів, наприклад, комбінаторних схем і теорії кодування. В алгебрі схеми відношень узагальнюють групи, а теорія схем відношень узагальнює теорію характерів лінійних представлень груп.

Сильно регулярні графи Редагувати

Сильно регулярний граф визначають таким чином. Нехай G = (V,E) — регулярний граф з v вершинами і степенем k. Кажуть, що G сильно регулярний, якщо існують цілі числа λ і μ, такі, що:

  • Будь-які дві суміжні вершини мають λ спільних сусідів.
  • Будь-які дві несуміжні вершини мають μ спільних сусідів.

Графи такого виду іноді позначаються srg(v, k, λ, μ).

Деякі автори виключають графи, які відповідають визначенню тривіально, а саме ті графи, які є об'єднанням (одного і більше) однакових повних графів, і їх доповнення, що не перетинаються, графи Турана.

Діаграми Юнга Редагувати

Діаграми Юнга — комбінаторні об'єкти, корисні в теорії представлень і численні Шуберта[en]. Вони дають зручний спосіб опису представлень симетричних груп і повних лінійних груп і дозволяють вивчати властивості цих об'єктів. Діаграми запропонував Альфред Юнг[en], математик Кембриджського університету, в 1900 році. В 1903 році їх застосував для вивчення симетричних груп Фердинанд Фробеніус. Пізніше їх теорію розвинули багато математиків, серед яких Персі Макмагон[en], В. В. Д. Годж, Г. де Б. Робінсон[en], Д.-К. Рота, Ален Ласку[en], М.-П. Шютценберже[en] і Річард Стенлі[en].

Матроїди Редагувати

Матроїд — це структура, яка вбирає й узагальнює поняття лінійної незалежності у векторних просторах. Є багато еквівалентних шляхів визначення матроїда, і найважливіші з них — у термінах незалежних множин, баз, замкнених множин чи площин, операторів замикання і функцій рангу.

Теорія матроїдів значною мірою запозичує термінологію з лінійної алгебри та теорії графів, переважно в тому, що в ній використовуються абстракції різних центральних понять із цих галузей, з топології, комбінаторної оптимізації, теорії мереж та теорії кодування.

Скінченні геометрії Редагувати

Скінченна геометрія — це будь-яка геометрична система, що має лише скінченне число точок.

Звичайна евклідова геометрія не є скінченною, оскільки евклідова пряма містить нескінченно багато точок. Геометрію, засновану на графіці комп'ютерного екрана, де пікселі вважаються точками, можна вважати скінченною геометрією. Хоча існує багато систем, які можна було б вважати скінченними геометріями, переважно увагу приділяють скінченним проєктивним і афінним просторам зважаючи на їх регулярність і простоту. Інші суттєві типи скінченних геометрій — скінченні площини Мебіуса або інверсні площині та площини Лагерра[en], які є прикладами більш загальних об'єктів, званих площинами Бенца[en], і їх аналогами у вищих розмірностях, таких як скінченні інверсійні геометрії[en].

Скінченні геометрії можна побудувати за допомогою лінійної алгебри, починаючи з векторних просторів над скінченними полями. Афінні і проєктивні площини, побудовані таким чином, називають геометріями Галуа. Скінченні геометрії можна також визначити чисто аксіоматично. Найпоширеніші скінченні геометрії — геометрії Галуа, оскільки будь-який скінченний проєктивний простір розмірності три і більше ізоморфний проєктивному простору над скінченним полем. Проте в розмірності два є афінні і проєктивні площини, які не ізоморфні геометріям Галуа, а саме, недезаргові площини. Схожі результати мають місце для інших видів скінченних геометрій.

Див. також Редагувати

Примітки Редагувати

  1. Bannai, Ito, 1984.
  2. Godsil, 1993.
  3. Bailey, 2004, с. 387.
  4. Zieschang, 2005b.
  5. Zieschang, 2005a.
  6. Brouwer, Haemers, 2010, с. 116.
  7. Godsil, Royle, 2001, с. 218.
  8. Neel, Neudauer, 2009, с. 26–41.
  9. Kashyap, Soljanin, Vontobel, 2009.

Література Редагувати

  • Bailey, Rosemary A. (2004). . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-82446-0. MR 2047311. Архів оригіналу за 24 жовтня 2017. Процитовано 7 грудня 2020. .
  • Andries E Brouwer, Willem H Haemers. . — New York, Dordrecht, Heidelberg, London : Springer-Verlag, 2010. — (Universitext) — ISBN 9781461419389. — DOI:10.1007/9781461419396. Архівовано березень 16, 2012 на сайті Wayback Machine.
  • David L. Neel, Nancy Ann Neudauer. Matroids you have known // Mathematics Magazine. — 2009. — Т. 82, вип. 1 (20 жовтня). — С. 26—41. — DOI:10.4169/193009809x469020. з джерела 20 вересня 2020. Процитовано 2014-10-04.
  • Navin Kashyap, Emina Soljanin, Pascal Vontobel. Applications of Matroid Theory and Combinatorial Optimization to Information and Coding Theory. — 2009. — 20 жовтня. з джерела 18 вересня 2020. Процитовано 2014-10-04.
  • Eiichi Bannai, Tatsuro Ito. Algebraic combinatorics I: Association schemes. — Menlo Park, CA : The Benjamin/Cummings Publishing Co., Inc, 1984. — С. xxiv+425. — ISBN 0-8053-0490-8.
  • New Perspectives in Algebraic Combinatorics / L. J. Billera, A. Björner, C. Greene, R. Simion, R. P. Stanley. — MSRI Publications. — Cambridge University Press, 1999. — Т. 38. з джерела 8 січня 2020
  • Chris Godsil, Gordon Royle. Algebraic Graph Theory. — New York : Springer-Verlag, 2001. — Т. 207. — (Graduate Texts in Mathematics) — ISBN 0-387-95220-9.
  • C. D. Godsil. Algebraic Combinatorics. — New York : Chapman and Hall, 1993. — ISBN 0-412-04131-6.
  • Takayuki Hibi. Algebraic combinatorics on convex polytopes. — Glebe, Australia : Carslaw Publications, 1992.
  • Melvin Hochster[en]. Ring theory, II (Proc. Second Conf., Univ. Oklahoma, Norman, Okla., 1975). — New York : Dekker, 1977. — Т. 26. — С. 171—223. — (Lecture Notes in Pure and Appl. Math.)
  • Ezra Miller, Bernd Sturmfels. Combinatorial commutative algebra. — New York, NY : Springer-Verlag, 2005. — Т. 227. — (Graduate Texts in Mathematics) — ISBN 0-387-22356-8.
  • Richard Stanley. Combinatorics and commutative algebra. — 2nd. — Boston, MA : Birkhäuser, 1996. — Т. 41. — (Progress in Mathematics) — ISBN 0-8176-3836-9.
  • Bernd Sturmfels. Gröbner bases and convex polytopes. — Providence, RI : American Mathematical Society, 1996. — Т. 8. — (University Lecture Series) — ISBN 0-8218-0487-1.
  • Doron Zeilberger. The Princeton Companion to Mathematics[en]. — Princeton University Press, 2008. — ISBN 978-0-691-11880-2. з джерела 13 березня 2017
  • Zieschang, Paul-Hermann (2005a). . Bulletin of the American Mathematical Society 43 (02): 249–253. doi:10.1090/S0273-0979-05-01077-3. Архів оригіналу за 25 липня 2008. Процитовано 7 грудня 2020. 
  • Zieschang, Paul-Hermann (2005b). Theory of association schemes. Springer. с. xii+283. ISBN 3-540-26136-2. 
  • Zieschang, Paul-Hermann (2006). The exchange condition for association schemes. Israel Journal of Mathematics 151 (3): 357–380. ISSN 0021-2172. MR 2214129. doi:10.1007/BF02777367. 
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Algebrichna kombinatorika ce galuz matematiki sho vikoristovuye metodi zagalnoyi algebri osoblivo teoriyi grup i teoriyi predstavlen u riznih kombinatornih kontekstah i navpaki zastosovuye kombinatorni tehniki do zadach v algebri Matroyid Fano otrimanij z ploshini Fano Matroyidi odna z bagatoh galuzej yaki vivchayutsya v algebrichnij kombinatorici Zmist 1 Istoriya 2 Sfera zastosuvannya 3 Vazhlivi rozdili 3 1 Simetrichni funkciyi 3 2 Shemi vidnoshen 3 3 Silno regulyarni grafi 3 4 Diagrami Yunga 3 5 Matroyidi 3 6 Skinchenni geometriyi 4 Div takozh 5 Primitki 6 LiteraturaIstoriya RedaguvatiV 1990 h rokah tipovi kombinatorni ob yekti yaki rozglyadalisya v algebrichnij kombinatorici abo mali veliku kilkist zagalnoviznanih simetrij shema vidnoshen en silno regulyarni grafi chastkovo vporyadkovani mnozhini z diyeyu grupi abo mali bagatu algebrichnu strukturu sho yak pravilo mala teoretichni dzherela simetrichni funkciyi diagrami Yunga Cej period vidbito v rozdili 05E Algebrichna kombinatorika matematichnoyi predmetnoyi klasifikaciyi AMS zaproponovanoyi v 1991 roci Sfera zastosuvannya RedaguvatiAlgebrichnu kombinatoriku mozhna rozglyadati yak galuz matematiki de osoblivo suttyevoyu ye vzayemodiya kombinatornih i algebrichnih metodiv Takimi kombinatornimi temami ye pererahuvannya za vlastivostyami abo galuzi sho zaluchayut matroyidi bagatogranniki chastkovo vporyadkovani mnozhini abo skinchenni geometriyi Z boku algebri krim teoriyi grup i teoriyi predstavlen chasto vikoristovuyutsya gratki i komutativna algebra Zhurnal Journal of Algebraic Combinatorics en yakij vipuskaye vidavnictvo Springer Verlag ye mizhnarodnim zhurnalom dlya statej z ciyeyi galuzi Vazhlivi rozdili RedaguvatiSimetrichni funkciyi Redaguvati Dokladnishe Simetrichna funkciyaKilce simetrichnih funkcij en ye svoyeridnoyu graniceyu kilec simetrichnih mnogochleniv vid n zminnih pri n sho pryamuye do neskinchennosti Ce kilce sluguye universalnoyu strukturoyu v yakij zv yazki mizh simetrichnimi mnogochlenami mozhna viraziti bez priv yazki do chisla zminnih ale elementi kilcya ne ye ni mnogochlenami ni funkciyami Krim usogo inshogo ce kilce vidigraye vazhlivu rol u teorii predstavlenij simmetricheskih grupp en Shemi vidnoshen Redaguvati Shema vidnoshen en ce nabir binarnih vidnoshen yaki zadovolnyayut pevnim umovam sumisnosti Shemi vidnoshen dayut odnakovij pidhid do bagatoh rozdiliv napriklad kombinatornih shem i teoriyi koduvannya 1 2 V algebri shemi vidnoshen uzagalnyuyut grupi a teoriya shem vidnoshen uzagalnyuye teoriyu harakteriv linijnih predstavlen grup 3 4 5 Silno regulyarni grafi Redaguvati Silno regulyarnij graf viznachayut takim chinom Nehaj G V E regulyarnij graf z v vershinami i stepenem k Kazhut sho G silno regulyarnij yaksho isnuyut cili chisla l i m taki sho Bud yaki dvi sumizhni vershini mayut l spilnih susidiv Bud yaki dvi nesumizhni vershini mayut m spilnih susidiv Grafi takogo vidu inodi poznachayutsya srg v k l m Deyaki avtori viklyuchayut grafi yaki vidpovidayut viznachennyu trivialno a same ti grafi yaki ye ob yednannyam odnogo i bilshe odnakovih povnih grafiv 6 7 i yih dopovnennya sho ne peretinayutsya grafi Turana Diagrami Yunga Redaguvati Diagrami Yunga kombinatorni ob yekti korisni v teoriyi predstavlen i chislenni Shuberta en Voni dayut zruchnij sposib opisu predstavlen simetrichnih grup i povnih linijnih grup i dozvolyayut vivchati vlastivosti cih ob yektiv Diagrami zaproponuvav Alfred Yung en matematik Kembridzhskogo universitetu v 1900 roci V 1903 roci yih zastosuvav dlya vivchennya simetrichnih grup Ferdinand Frobenius Piznishe yih teoriyu rozvinuli bagato matematikiv sered yakih Persi Makmagon en V V D Godzh G de B Robinson en D K Rota Alen Lasku en M P Shyutcenberzhe en i Richard Stenli en Matroyidi Redaguvati Matroyid ce struktura yaka vbiraye j uzagalnyuye ponyattya linijnoyi nezalezhnosti u vektornih prostorah Ye bagato ekvivalentnih shlyahiv viznachennya matroyida i najvazhlivishi z nih u terminah nezalezhnih mnozhin baz zamknenih mnozhin chi ploshin operatoriv zamikannya i funkcij rangu Teoriya matroyidiv znachnoyu miroyu zapozichuye terminologiyu z linijnoyi algebri ta teoriyi grafiv perevazhno v tomu sho v nij vikoristovuyutsya abstrakciyi riznih centralnih ponyat iz cih galuzej z topologiyi kombinatornoyi optimizaciyi teoriyi merezh ta teoriyi koduvannya 8 9 Skinchenni geometriyi Redaguvati Skinchenna geometriya ce bud yaka geometrichna sistema sho maye lishe skinchenne chislo tochok Zvichajna evklidova geometriya ne ye skinchennoyu oskilki evklidova pryama mistit neskinchenno bagato tochok Geometriyu zasnovanu na grafici komp yuternogo ekrana de pikseli vvazhayutsya tochkami mozhna vvazhati skinchennoyu geometriyeyu Hocha isnuye bagato sistem yaki mozhna bulo b vvazhati skinchennimi geometriyami perevazhno uvagu pridilyayut skinchennim proyektivnim i afinnim prostoram zvazhayuchi na yih regulyarnist i prostotu Inshi suttyevi tipi skinchennih geometrij skinchenni ploshini Mebiusa abo inversni ploshini ta ploshini Lagerra en yaki ye prikladami bilsh zagalnih ob yektiv zvanih ploshinami Benca en i yih analogami u vishih rozmirnostyah takih yak skinchenni inversijni geometriyi en Skinchenni geometriyi mozhna pobuduvati za dopomogoyu linijnoyi algebri pochinayuchi z vektornih prostoriv nad skinchennimi polyami Afinni i proyektivni ploshini pobudovani takim chinom nazivayut geometriyami Galua Skinchenni geometriyi mozhna takozh viznachiti chisto aksiomatichno Najposhirenishi skinchenni geometriyi geometriyi Galua oskilki bud yakij skinchennij proyektivnij prostir rozmirnosti tri i bilshe izomorfnij proyektivnomu prostoru nad skinchennim polem Prote v rozmirnosti dva ye afinni i proyektivni ploshini yaki ne izomorfni geometriyam Galua a same nedezargovi ploshini Shozhi rezultati mayut misce dlya inshih vidiv skinchennih geometrij Div takozh RedaguvatiAlgebrichna teoriya grafiv Kombinatorna komutativna algebra en Kombinatorika bagatogrannikiv Geometrichna kombinatorikaPrimitki Redaguvati Bannai Ito 1984 Godsil 1993 Bailey 2004 s 387 Zieschang 2005b Zieschang 2005a Brouwer Haemers 2010 s 116 Godsil Royle 2001 s 218 Neel Neudauer 2009 s 26 41 Kashyap Soljanin Vontobel 2009 Literatura RedaguvatiBailey Rosemary A 2004 Association Schemes Designed Experiments Algebra and Combinatorics Cambridge University Press ISBN 978 0 521 82446 0 MR 2047311 Arhiv originalu za 24 zhovtnya 2017 Procitovano 7 grudnya 2020 Andries E Brouwer Willem H Haemers Spectra of Graphs New York Dordrecht Heidelberg London Springer Verlag 2010 Universitext ISBN 9781461419389 DOI 10 1007 9781461419396 Arhivovano berezen 16 2012 na sajti Wayback Machine David L Neel Nancy Ann Neudauer Matroids you have known Mathematics Magazine 2009 T 82 vip 1 20 zhovtnya S 26 41 DOI 10 4169 193009809x469020 Arhivovano z dzherela 20 veresnya 2020 Procitovano 2014 10 04 Navin Kashyap Emina Soljanin Pascal Vontobel Applications of Matroid Theory and Combinatorial Optimization to Information and Coding Theory 2009 20 zhovtnya Arhivovano z dzherela 18 veresnya 2020 Procitovano 2014 10 04 Eiichi Bannai Tatsuro Ito Algebraic combinatorics I Association schemes Menlo Park CA The Benjamin Cummings Publishing Co Inc 1984 S xxiv 425 ISBN 0 8053 0490 8 New Perspectives in Algebraic Combinatorics L J Billera A Bjorner C Greene R Simion R P Stanley MSRI Publications Cambridge University Press 1999 T 38 Arhivovano z dzherela 8 sichnya 2020 Chris Godsil Gordon Royle Algebraic Graph Theory New York Springer Verlag 2001 T 207 Graduate Texts in Mathematics ISBN 0 387 95220 9 C D Godsil Algebraic Combinatorics New York Chapman and Hall 1993 ISBN 0 412 04131 6 Takayuki Hibi Algebraic combinatorics on convex polytopes Glebe Australia Carslaw Publications 1992 Melvin Hochster en Ring theory II Proc Second Conf Univ Oklahoma Norman Okla 1975 New York Dekker 1977 T 26 S 171 223 Lecture Notes in Pure and Appl Math Ezra Miller Bernd Sturmfels Combinatorial commutative algebra New York NY Springer Verlag 2005 T 227 Graduate Texts in Mathematics ISBN 0 387 22356 8 Richard Stanley Combinatorics and commutative algebra 2nd Boston MA Birkhauser 1996 T 41 Progress in Mathematics ISBN 0 8176 3836 9 Bernd Sturmfels Grobner bases and convex polytopes Providence RI American Mathematical Society 1996 T 8 University Lecture Series ISBN 0 8218 0487 1 Doron Zeilberger The Princeton Companion to Mathematics en Princeton University Press 2008 ISBN 978 0 691 11880 2 Arhivovano z dzherela 13 bereznya 2017 Zieschang Paul Hermann 2005a Association Schemes Designed Experiments Algebra and Combinatorics by Rosemary A Bailey Review Bulletin of the American Mathematical Society 43 02 249 253 doi 10 1090 S0273 0979 05 01077 3 Arhiv originalu za 25 lipnya 2008 Procitovano 7 grudnya 2020 Zieschang Paul Hermann 2005b Theory of association schemes Springer s xii 283 ISBN 3 540 26136 2 Zieschang Paul Hermann 2006 The exchange condition for association schemes Israel Journal of Mathematics 151 3 357 380 ISSN 0021 2172 MR 2214129 doi 10 1007 BF02777367 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Algebrichna kombinatorika amp oldid 37806747