www.wikidata.uk-ua.nina.az

Обчислювальна математика Обчи слювальна матема тика розділ математики до якого входить коло питань зв язаних з виконання

Обчислювальна математика

Обчи́слювальна матема́тика — розділ математики, до якого входить коло питань, зв'язаних з виконанням наближених обчислень. У вужчому розумінні, обчислювальна математика — теорія числових методів розв'язування типових математичних задач. Сучасна обчислювальна математика уводить до кола своїх проблем вивчення особливостей обчислень із використанням комп'ютерів.

Вавилонська глиняна табличка приблизно 1800—1600 років до нашої ери з сучасними анотаціями. Надписи на табличці дають наближене значення квадратного кореня з 2 як суми чотирьох шістдесяткових чисел:

Обчислювальна математика має широке коло прикладних використань для проведення наукових та інженерних розрахунків. На її основі в останні десятиліття розвинулися нові області обчислювальних наук, наприклад, обчислювальна хімія, обчислювальна біологія тощо.

Історія Редагувати

Обчислювальна математика виникла дуже давно, ще в стародавньому Межиріччі були розроблені методи добування квадратного кореня. В епоху першої наукової революції 16-17 ст. обчислювальна математика швидко розвивалася, виходячи з практичних потреб, паралельно з математичним аналізом. Зокрема, наближені обчислення широко використовувалися в небесній механіці для передбачення руху небесних тіл, що привело до встановлення геліоцентричної системи, законів Кеплера, законів Ньютона. XVII та XVIII століттях стали свідками розроблення значної кількості чисельних методів та алгоритмів.

Виконання великої кількості інженерних обчислень у XIX та XX століттях вимагало створення відповідних засобів. Одним із таких засобів стала логарифмічна лінійка, іншим — таблиці функцій. Таблиці трансцендентних функцій друкувалися з великою точністю — до 16 знаків після коми, й значно допомагали проводити розрахунки. Існували механічні пристрої для виконання математичних операцій — арифмометри. У першій половині 20 століття для розв'язку диференціальних рівнянь використовувалися аналогові електричні схеми.

Винахід комп'ютера в середині 20 століття означав створення універсального інструмента для математичних розрахунків. Поряд із мейнфреймами до широкого розповсюдження персональних комп'ютерів у розпорядженні інженерів та науковців для виконання ручних операцій були калькулятори.

Проблема чотирьох фарб стала першою чисто математичною теоремою доведеною, за допомогою комп'ютера в 1976 році. Це доведення зводиться до вичерпного перебору кількох тисяч варіантів, чого людина зробити не може. Відтоді чисельні обчислення за допомогою комп'ютера увійшли в арсенал засобів математика.

Задачі обчислювальної математики Редагувати

До задач обчислювальної математики належать:

Окремим класом задач обчислювальної математики є задачі з використанням послідовностей випадкових чисел, різноманітні методи Монте-Карло, що широко застосувуються в багатьох галузях як власне математики, так і суміжних наук. Для розв'язання цього класу задач необхідна розробка й вдосконалення методів генерації псевдовипадкових чисел із різноманітними розподілами.

Обмеження представлення чисел у комп'ютері Редагувати

Основна відмінність обчислювальної математики з використанням комп'ютерів полягає в тому, що при розв'язуванні обчислювальних задач комп'ютер оперує машинними числами, що є дискретною проєкцією дійсних чисел на конкретну архітектуру комп'ютера. Так, наприклад, якщо взяти машинне число завдовжки 8 байтів, у ньому можна запам'ятати тільки 264 різних чисел, тому важливу роль в обчислювальній математиці відіграють оцінки точності алгоритмів та їхня стійкість до представлень машинних чисел у комп'ютері. Саме тому, наприклад, для розв'язування лінійної системи алгебричних рівнянь дуже рідко використовується обчислення оберненої матриці, тому що цей метод може привести до помилкового розв'язку у випадку з сингулярною матрицею, а дуже розповсюджений у лінійній алгебрі метод заснований на обчисленні визначника матриці і її доповнення вимагає набагато більше арифметичних операцій, ніж будь-який стійкий метод розв'язування лінійної системи рівнянь.

Це обмеження не є принциповим. Комп'ютер може виконувати обчислення з довільною точністю, використовуючи звичайне символічне представлення чисел так, як це робила б людина, але, відповідно, це призводить до збільшення часу розрахунків. Зокрема, можливість обчислень з довільною точністю дають популярні програмні продукти: Mathematica, Sage, Maple, MATLAB.

Чисельні методи Редагувати

Основним об'єктом вивчення обчислювальної математики є чисельні методи розв'язування різноманітних математичних задач та алгоритмізація цих методів. Серед найважливіших характеристик чисельних методів — збіжність, стійкість, ефективність.

Збіжність методу визначається його спроможністю знайти наближений розв'язок задачі з достатнью точністю за скінченне число кроків. Особливої уваги вимагають ітераційні методи. Збіжність ітераційних методів часто залежить від тих значень, з яких починається ітераційний процес. Чисельний метод повинен будуватися так, щоб бажаний розв'язок був атрактором ітераційної процедури. Дуже часто побудова або вибір методу залежать від уміння математика, не як ремесла, а як мистецтва.

Стійкість чисельного методу з одного боку зумовлена математичною проблемою. Ітераційний процес, наприклад, у залежності від початкових значень, може збігатися до різних атракторів математичної задачі. Результат застосування стійких методів не повинен залежати від зміни почакових значень принаймні в межах деякої області.

Крім математичної стійкості, що визначається початковими умовами, існує також проблема чисельної нестійкості. Кожне обчислення виконується з певною похибкою, зумовленою представленням чисел, округленнями тощо. Накопичення похибок може призвести до виходу стану системи з басейну притягання атрактора, і результат не буде знайдено.

Ефективність методу визначається числом операцій, необхідних для знаходження розв'язку, а також об'ємом пам'яті, потрібної для збереження проміжних результатів. Як число операцій, так і небхідна комп'ютерна пам'ять часто зростають дуже швидко із ростом розмірів системи. Так, наприклад, розв'язок диференціального рівняння з частинними похідними часто зводиться до розв'язку системи лінійних алгебраїчних рівнянь розміності , де N — число точок, для яких треба знайти розв'язок. Це число точок пропорційне , де L — число точок в одному вимірі, d — розмірність системи. Для тривимірної системи, розмірність матриці повинна бути порядку . Наприклад, для 100 точок в кожному вимірі потрібно зберігати принаймні 1012 чисел, а для 1000 точок 1018 чисел. Відповідно збільшується час розрахунків.

Програмне забезпечення Редагувати

Алгоритми розв'язування багатьох стандартних задач обчислювальної математики реалізовані на багатьох мовах програмування. Найчастіше для цих цілей використовуються мови ФОРТРАН і C. Ці алгоритми скомпоновані в бібліотеки, які можна знайти, наприклад, в репозиторії Netlib. Популярні комерційні бібліотеки — IMSL, NAG, Intel MKL, чи вільна альтернатива GNU Scientific Library.

MATLAB, Mathematica, Maple, S-PLUS, LabVIEW та IDL[en], а також їх вільні альтернативи Sage, FreeMat, Scilab, GNU Octave (схожа на Matlab), IT++ (бібліотека C++), R (подібна до S-PLUS), Python (з NumPy та SciPy) мають у своєму розпорядженні різноманітні чисельні методи, а також засоби для візуалізації та відображення результатів.

Джерела Редагувати

  • К. И. Бабенко. Основы численного анализа. Москва. Наука. 1986.
  • Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа. Москва — Ленинград. ГИИТЛ. 1949.
  • Hildebrand, F. B. (1974). Introduction to Numerical Analysis (2nd edition ed.). McGraw-Hill. ISBN 0-07-028761-9.
  • Leader, Jeffery J. (2004). Numerical Analysis and Scientific Computation. Addison Wesley. ISBN 0-201-73499-0.
  • Trefethen, Lloyd N. (2006). «Numerical analysis», 20 pages. In: Timothy Gowers and June Barrow-Green (editors), Princeton Companion of Mathematics, Princeton University Press.
  • Higham, Nicholas J. (1966). Accuracy and Stability of Numerical Algorithms (Society for Industrial and Applied Mathematics, ISBN 0-89871-355-2).

Виноски Редагувати

  1. . Архів оригіналу за 13 серпня 2012. Процитовано 28 лютого 2011. 
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Obchi slyuvalna matema tika rozdil matematiki do yakogo vhodit kolo pitan zv yazanih z vikonannyam nablizhenih obchislen U vuzhchomu rozuminni obchislyuvalna matematika teoriya chislovih metodiv rozv yazuvannya tipovih matematichnih zadach Suchasna obchislyuvalna matematika uvodit do kola svoyih problem vivchennya osoblivostej obchislen iz vikoristannyam komp yuteriv Vavilonska glinyana tablichka priblizno 1800 1600 rokiv do nashoyi eri z suchasnimi anotaciyami Nadpisi na tablichci dayut nablizhene znachennya kvadratnogo korenya z 2 yak sumi chotiroh shistdesyatkovih chisel 2 1 24 60 displaystyle sqrt 2 1 24 60 51 60 2 10 60 3 displaystyle 51 60 2 10 60 3 1 41421296 displaystyle 1 41421296 ldots 1 Obchislyuvalna matematika maye shiroke kolo prikladnih vikoristan dlya provedennya naukovih ta inzhenernih rozrahunkiv Na yiyi osnovi v ostanni desyatilittya rozvinulisya novi oblasti obchislyuvalnih nauk napriklad obchislyuvalna himiya obchislyuvalna biologiya tosho Zmist 1 Istoriya 2 Zadachi obchislyuvalnoyi matematiki 3 Obmezhennya predstavlennya chisel u komp yuteri 4 Chiselni metodi 5 Programne zabezpechennya 6 Dzherela 7 VinoskiIstoriya RedaguvatiObchislyuvalna matematika vinikla duzhe davno she v starodavnomu Mezhirichchi buli rozrobleni metodi dobuvannya kvadratnogo korenya V epohu pershoyi naukovoyi revolyuciyi 16 17 st obchislyuvalna matematika shvidko rozvivalasya vihodyachi z praktichnih potreb paralelno z matematichnim analizom Zokrema nablizheni obchislennya shiroko vikoristovuvalisya v nebesnij mehanici dlya peredbachennya ruhu nebesnih til sho privelo do vstanovlennya geliocentrichnoyi sistemi zakoniv Keplera zakoniv Nyutona XVII ta XVIII stolittyah stali svidkami rozroblennya znachnoyi kilkosti chiselnih metodiv ta algoritmiv Vikonannya velikoyi kilkosti inzhenernih obchislen u XIX ta XX stolittyah vimagalo stvorennya vidpovidnih zasobiv Odnim iz takih zasobiv stala logarifmichna linijka inshim tablici funkcij Tablici transcendentnih funkcij drukuvalisya z velikoyu tochnistyu do 16 znakiv pislya komi j znachno dopomagali provoditi rozrahunki Isnuvali mehanichni pristroyi dlya vikonannya matematichnih operacij arifmometri U pershij polovini 20 stolittya dlya rozv yazku diferencialnih rivnyan vikoristovuvalisya analogovi elektrichni shemi Vinahid komp yutera v seredini 20 stolittya oznachav stvorennya universalnogo instrumenta dlya matematichnih rozrahunkiv Poryad iz mejnfrejmami do shirokogo rozpovsyudzhennya personalnih komp yuteriv u rozporyadzhenni inzheneriv ta naukovciv dlya vikonannya ruchnih operacij buli kalkulyatori Problema chotiroh farb stala pershoyu chisto matematichnoyu teoremoyu dovedenoyu za dopomogoyu komp yutera v 1976 roci Ce dovedennya zvoditsya do vicherpnogo pereboru kilkoh tisyach variantiv chogo lyudina zrobiti ne mozhe Vidtodi chiselni obchislennya za dopomogoyu komp yutera uvijshli v arsenal zasobiv matematika Zadachi obchislyuvalnoyi matematiki RedaguvatiDo zadach obchislyuvalnoyi matematiki nalezhat rozv yazuvannya sistem linijnih rivnyan poshuk vlasnih znachen i vektoriv matrici poshuk singulyarnih znachen i vektoriv matrici rozv yazuvannya nelinijnih v tomu chisli algebrayichnih ta transcendentnih rivnyan rozv yazuvannya sistem nelinijnih algebrayichnih rivnyan rozv yazuvannya diferencialnih rivnyan yak zvichajnih diferencialnih rivnyan tak i rivnyan z chastinnimi pohidnimi rozv yazuvannya sistem diferencialnih rivnyan rozv yazuvannya integralnih rivnyan zadachi aproksimaciyi zadachi interpolyaciyi zadachi ekstrapolyaciyi zadachi optimizaciyi zadachi regresiyi oberneni zadachi Okremim klasom zadach obchislyuvalnoyi matematiki ye zadachi z vikoristannyam poslidovnostej vipadkovih chisel riznomanitni metodi Monte Karlo sho shiroko zastosuvuyutsya v bagatoh galuzyah yak vlasne matematiki tak i sumizhnih nauk Dlya rozv yazannya cogo klasu zadach neobhidna rozrobka j vdoskonalennya metodiv generaciyi psevdovipadkovih chisel iz riznomanitnimi rozpodilami Obmezhennya predstavlennya chisel u komp yuteri RedaguvatiOsnovna vidminnist obchislyuvalnoyi matematiki z vikoristannyam komp yuteriv polyagaye v tomu sho pri rozv yazuvanni obchislyuvalnih zadach komp yuter operuye mashinnimi chislami sho ye diskretnoyu proyekciyeyu dijsnih chisel na konkretnu arhitekturu komp yutera Tak napriklad yaksho vzyati mashinne chislo zavdovzhki 8 bajtiv u nomu mozhna zapam yatati tilki 264 riznih chisel tomu vazhlivu rol v obchislyuvalnij matematici vidigrayut ocinki tochnosti algoritmiv ta yihnya stijkist do predstavlen mashinnih chisel u komp yuteri Same tomu napriklad dlya rozv yazuvannya linijnoyi sistemi algebrichnih rivnyan duzhe ridko vikoristovuyetsya obchislennya obernenoyi matrici tomu sho cej metod mozhe privesti do pomilkovogo rozv yazku u vipadku z singulyarnoyu matriceyu a duzhe rozpovsyudzhenij u linijnij algebri metod zasnovanij na obchislenni viznachnika matrici i yiyi dopovnennya vimagaye nabagato bilshe arifmetichnih operacij nizh bud yakij stijkij metod rozv yazuvannya linijnoyi sistemi rivnyan Ce obmezhennya ne ye principovim Komp yuter mozhe vikonuvati obchislennya z dovilnoyu tochnistyu vikoristovuyuchi zvichajne simvolichne predstavlennya chisel tak yak ce robila b lyudina ale vidpovidno ce prizvodit do zbilshennya chasu rozrahunkiv Zokrema mozhlivist obchislen z dovilnoyu tochnistyu dayut populyarni programni produkti Mathematica Sage Maple MATLAB Chiselni metodi RedaguvatiDokladnishe Chiselni metodiOsnovnim ob yektom vivchennya obchislyuvalnoyi matematiki ye chiselni metodi rozv yazuvannya riznomanitnih matematichnih zadach ta algoritmizaciya cih metodiv Sered najvazhlivishih harakteristik chiselnih metodiv zbizhnist stijkist efektivnist Zbizhnist metodu viznachayetsya jogo spromozhnistyu znajti nablizhenij rozv yazok zadachi z dostatnyu tochnistyu za skinchenne chislo krokiv Osoblivoyi uvagi vimagayut iteracijni metodi Zbizhnist iteracijnih metodiv chasto zalezhit vid tih znachen z yakih pochinayetsya iteracijnij proces Chiselnij metod povinen buduvatisya tak shob bazhanij rozv yazok buv atraktorom iteracijnoyi proceduri Duzhe chasto pobudova abo vibir metodu zalezhat vid uminnya matematika ne yak remesla a yak mistectva Stijkist chiselnogo metodu z odnogo boku zumovlena matematichnoyu problemoyu Iteracijnij proces napriklad u zalezhnosti vid pochatkovih znachen mozhe zbigatisya do riznih atraktoriv matematichnoyi zadachi Rezultat zastosuvannya stijkih metodiv ne povinen zalezhati vid zmini pochakovih znachen prinajmni v mezhah deyakoyi oblasti Krim matematichnoyi stijkosti sho viznachayetsya pochatkovimi umovami isnuye takozh problema chiselnoyi nestijkosti Kozhne obchislennya vikonuyetsya z pevnoyu pohibkoyu zumovlenoyu predstavlennyam chisel okruglennyami tosho Nakopichennya pohibok mozhe prizvesti do vihodu stanu sistemi z basejnu prityagannya atraktora i rezultat ne bude znajdeno Efektivnist metodu viznachayetsya chislom operacij neobhidnih dlya znahodzhennya rozv yazku a takozh ob yemom pam yati potribnoyi dlya zberezhennya promizhnih rezultativ Yak chislo operacij tak i nebhidna komp yuterna pam yat chasto zrostayut duzhe shvidko iz rostom rozmiriv sistemi Tak napriklad rozv yazok diferencialnogo rivnyannya z chastinnimi pohidnimi chasto zvoditsya do rozv yazku sistemi linijnih algebrayichnih rivnyan rozminosti N 2 displaystyle N 2 nbsp de N chislo tochok dlya yakih treba znajti rozv yazok Ce chislo tochok proporcijne L d displaystyle L d nbsp de L chislo tochok v odnomu vimiri d rozmirnist sistemi Dlya trivimirnoyi sistemi rozmirnist matrici povinna buti poryadku L 6 displaystyle L 6 nbsp Napriklad dlya 100 tochok v kozhnomu vimiri potribno zberigati prinajmni 1012 chisel a dlya 1000 tochok 1018 chisel Vidpovidno zbilshuyetsya chas rozrahunkiv Programne zabezpechennya RedaguvatiAlgoritmi rozv yazuvannya bagatoh standartnih zadach obchislyuvalnoyi matematiki realizovani na bagatoh movah programuvannya Najchastishe dlya cih cilej vikoristovuyutsya movi FORTRAN i C Ci algoritmi skomponovani v biblioteki yaki mozhna znajti napriklad v repozitoriyi Netlib Populyarni komercijni biblioteki IMSL NAG Intel MKL chi vilna alternativa GNU Scientific Library MATLAB Mathematica Maple S PLUS LabVIEW ta IDL en a takozh yih vilni alternativi Sage FreeMat Scilab GNU Octave shozha na Matlab IT biblioteka C R podibna do S PLUS Python z NumPy ta SciPy mayut u svoyemu rozporyadzhenni riznomanitni chiselni metodi a takozh zasobi dlya vizualizaciyi ta vidobrazhennya rezultativ Dzherela RedaguvatiK I Babenko Osnovy chislennogo analiza Moskva Nauka 1986 Kantorovich L V Krylov V I Priblizhennye metody vysshego analiza Moskva Leningrad GIITL 1949 Hildebrand F B 1974 Introduction to Numerical Analysis 2nd edition ed McGraw Hill ISBN 0 07 028761 9 Leader Jeffery J 2004 Numerical Analysis and Scientific Computation Addison Wesley ISBN 0 201 73499 0 Trefethen Lloyd N 2006 Numerical analysis 20 pages In Timothy Gowers and June Barrow Green editors Princeton Companion of Mathematics Princeton University Press Higham Nicholas J 1966 Accuracy and Stability of Numerical Algorithms Society for Industrial and Applied Mathematics ISBN 0 89871 355 2 Vinoski Redaguvati Photograph illustration and description of the root 2 tablet from the Yale Babylonian Collection Arhiv originalu za 13 serpnya 2012 Procitovano 28 lyutogo 2011 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Obchislyuvalna matematika amp oldid 36416568