Раціональна поверхня — це поверхня, біраціонально еквівалентна проєктивній площині, або, іншими словами, раціональний многовид[en] розмірності два. Раціональні поверхні є найпростішими з приблизно 10 класів поверхонь класифікації Енрікеса — Кодайри комплексних поверхонь, і це були перші досліджені поверхні.
Структура ред.
Будь-яку неособливу раціональну поверхню можна отримати неодноразовим роздуттям мінімальної раціональної поверхні. Мінімальними раціональними поверхнями є проєктивна площина і поверхні Гірцебруха[en] для або .
Інваріанти: Всі плюрироди[en][уточнити] рівні 0 і фундаментальна група тривіальна.
1 0 0 1 1+n 1, 0 0 1
де n дорівнює 0 для проєктивної площини, 1 для поверхонь Гірцебруха[en] і більше від 1 для інших раціональних поверхонь.
Група Пікара[en] є непарною унімодулярною ґраткою , за винятком поверхонь Гірцебруха , для яких це парна унімодулярна ґратка .
Теорема Кастельнуово ред.
Гвідо Кастельнуово довів, що будь-яка комплексна поверхня, для якої і (іррегулярність і другий плюрирод) дорівнюють нулю, є раціональною. Це використовується в класифікації Енрікеса — Кодайри для розпізнавання раціональних поверхонь. Зарицький довів, що теорема Кастельнуово істинна також для полів додатної характеристики.
З теореми Кастельнуово випливає також, що будь-яка уніраціональна[en] комплексна поверхня раціональна. Більшість уніраціональних комплексних многовидів розмірності 3 і вище не є раціональними. Для характеристики Зарицький знайшов приклад уніраціональних поверхонь (поверхні Зарицького[en]), які не є раціональними.
Деякий час було неясно, чи є комплексні поверхні з нульовими і раціональними, але Федеріго Енрікес знайшов контрприклад (поверхня Енрікеса[en]).
Приклади раціональних поверхонь ред.
- Поверхні Бордіга[en]: вкладення степеня 6 проєктивної площини в , визначене 10 точками в загальному положенні.
- Поверхні Шатле[en]
- Поверхні Кобла[en]
- Кубічні поверхні. Неособливі кубічні поверхні ізоморфні роздуттю проєктивної площини в 6 точках, і є площинами Фано. Існують іменовані приклади — кубика Ферма, кубічна вузлова поверхня Келі[en] і діагональна поверхня Клебша[en].
- Поверхні дель Пеццо[en] (поверхні Фано)
- Поверхня Еннепера
- Поверхні Гірцебруха[en]
- . Добуток двох проєктивних прямих є поверхнею Гірцебруха .
- Проєктивна площина
- Поверхня Сеґре[en]. Перетин двох квадрик. Поверхня ізоморфна проєктивній площині, роздутій у 5 точках.
- Поверхня Штайнера[en]. Поверхня в з особливостями, яка біраціональна проєктивній площині.
- Поверхні Вайта[en], узагальнення поверхонь Бордіга.
- Поверхня Веронезе. Вкладення проєктивної площини в .
Див. також ред.
- Список алгебричних поверхонь[en]
Примітки ред.
Література ред.
- Wolf P. Barth, Klaus Hulek, Chris A.M. Peters, Antonius Van de Ven. Compact Complex Surfaces. — Berlin : Springer-Verlag. — Т. 4. — (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge) — ISBN 978-3-540-00832-3.
- Arnaud Beauville[ru]. Complex algebraic surfaces. — 2nd. — Cambridge University Press, 1996. — Т. 34. — (London Mathematical Society Student Texts) — ISBN 978-0-521-49510-3.
- Oscar Zariski. On Castelnuovo's criterion of rationality pa = P2 = 0 of an algebraic surface // Illinois Journal of Mathematics. — 1958. — Т. 2 (16 жовтня). — С. 303–315. — ISSN 0019-2082.