www.wikidata.uk-ua.nina.az

Декартів добуток множин Теоретико множинні операції A displaystyle overline A доповненняA B displaystyle A cup B об єдна

Декартів добуток множин


У теорії множин, дека́ртів добу́ток (прями́й добу́ток) двох множин X та Y — це множина усіх можливих впорядкованих пар, у яких перший компонент належить множині X, а другий — множині Y. Це поняття названо на честь відомого французького математика Рене Декарта.

Декартів добуток множин та

Декартів добуток двох множин X та Y позначають як X × Y:

Наприклад, якщо множина X складається з 13 елементів {A, K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2}, а множина Y — з 4 елементів {червоний, чорний, блакитний, зелений}, то декартів добуток цих множин є 52-елементною множиною (оскільки 13 × 4 = 52) {(A, червоний), (K, червоний), …, (2, червоний), (A, чорний), …, (3, зелений), (2, зелений)}.

Декартів квадрат та n-арний добуток Редагувати

Декартів квадрат (бінарний декартів добуток) множини X — декартів добуток X² = X×X.

Декартовим квадратом множини дійсних чисел є двовимірний простір (площина)  — множина усіх точок з координатами (x, y), де x та y — дійсні числа (див. Декартова система координат).

Узагальнюючи декартів добуток на випадок n множин X1, X2, …, Xn, отримують n-арний декартів (прямий) добуток множин:

Результатом є множина впорядкованих n-місних кортежів (n-ок, векторів, впорядкованих наборів). Тут i-й член n-ки називається i-ю координатою або i-ю компонентою.

n-арний декартів добуток однієї множини X × … × X позначають також як Xn і називають декартовим (прямим) степенем множини X.

Властивості Редагувати

Операція декартового добутку не є асоціативною та комутативною, тобто (A × B) × C ≠ A × (B × C), A × B ≠ B × A.

Справедлива така тотожність відносно операції перетину (для об'єднання не справедлива):

Дистрибутивність буде виконуватись для таких операцій:

Для підмножин будуть правильні твердження:

  • Якщо , то
  • Якщо , то

Проєкції Редагувати

Проєкцією кортежу A = (x1, x2, …, xn) на i-ту вісь (або i-ю проєкцією) називається i-та координата xi кортежу A, позначається Pri (A) = xi.

Проєкцією кортежу A = (x1, x2, …, xn) на осі з номерами i1, i2,…, ik називається кортеж (xi1, xi2, …, xik), позначається Pri1, i2, …, ik(A).

Приклад: Якщо V = {(a, b, c), (a, c, d), (a, b, d)}, то Pr1V = {a}, Pr2V = {b, c}, Pr2, 3V = {(b, c), (c, d), (b, d)}.

Див. також Редагувати

Джерела Редагувати

Це незавершена стаття з теорії множин.
Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Teoretiko mnozhinni operaciyi A displaystyle overline A dopovnennyaA B displaystyle A cup B ob yednannya A B displaystyle A cap B peretinA B displaystyle A setminus B riznicyaA B displaystyle A triangle B simetrichna riznicya A B displaystyle A times B dekartiv dobutok U teoriyi mnozhin deka rtiv dobu tok pryami j dobu tok dvoh mnozhin X ta Y ce mnozhina usih mozhlivih vporyadkovanih par u yakih pershij komponent nalezhit mnozhini X a drugij mnozhini Y Ce ponyattya nazvano na chest vidomogo francuzkogo matematika Rene Dekarta Dekartiv dobutok A B displaystyle scriptstyle A times B mnozhin A x y z displaystyle scriptstyle A x y z ta B 1 2 3 displaystyle scriptstyle B 1 2 3 Dekartiv dobutok dvoh mnozhin X ta Y poznachayut yak X Y X Y x y x X y Y displaystyle X times Y x y x in X land y in Y Napriklad yaksho mnozhina X skladayetsya z 13 elementiv A K Q J 10 9 8 7 6 5 4 3 2 a mnozhina Y z 4 elementiv chervonij chornij blakitnij zelenij to dekartiv dobutok cih mnozhin ye 52 elementnoyu mnozhinoyu oskilki 13 4 52 A chervonij K chervonij 2 chervonij A chornij 3 zelenij 2 zelenij Zmist 1 Dekartiv kvadrat ta n arnij dobutok 2 Vlastivosti 3 Proyekciyi 4 Div takozh 5 DzherelaDekartiv kvadrat ta n arnij dobutok RedaguvatiDekartiv kvadrat binarnij dekartiv dobutok mnozhini X dekartiv dobutok X X X Dekartovim kvadratom mnozhini dijsnih chisel R displaystyle mathbb R nbsp ye dvovimirnij prostir ploshina R 2 R R displaystyle mathbb R 2 mathbb R times mathbb R nbsp mnozhina usih tochok z koordinatami x y de x ta y dijsni chisla div Dekartova sistema koordinat Uzagalnyuyuchi dekartiv dobutok na vipadok n mnozhin X1 X2 Xn otrimuyut n arnij dekartiv pryamij dobutok mnozhin X 1 X 2 X n x 1 x 2 x n x 1 X 1 x 2 X 2 x n X n displaystyle X 1 times X 2 times cdots times X n x 1 x 2 ldots x n x 1 in X 1 land x 2 in X 2 land cdots land x n in X n nbsp Rezultatom ye mnozhina vporyadkovanih n misnih kortezhiv n ok vektoriv vporyadkovanih naboriv Tut i j chlen n ki nazivayetsya i yu koordinatoyu abo i yu komponentoyu n arnij dekartiv dobutok odniyeyi mnozhini X X poznachayut takozh yak Xn i nazivayut dekartovim pryamim stepenem mnozhini X Vlastivosti RedaguvatiOperaciya dekartovogo dobutku ne ye asociativnoyu ta komutativnoyu tobto A B C A B C A B B A Spravedliva taka totozhnist vidnosno operaciyi peretinu dlya ob yednannya ne spravedliva A B C D A C B D displaystyle A cap B times C cap D A times C cap B times D nbsp Distributivnist bude vikonuvatis dlya takih operacij A B C A B A C displaystyle A times B cap C A times B cap A times C nbsp A B C A B A C displaystyle A times B cup C A times B cup A times C nbsp A B C A B A C displaystyle A times B setminus C A times B setminus A times C nbsp A B A B A B A B displaystyle overline A times B overline A times overline B cup overline A times B cup A times overline B nbsp Dlya pidmnozhin budut pravilni tverdzhennya Yaksho A B displaystyle A subseteq B nbsp to A C B C displaystyle A times C subseteq B times C nbsp Yaksho A B displaystyle A B neq emptyset nbsp to A B C D A C B D displaystyle A times B subseteq C times D iff A subseteq C land B subseteq D nbsp Proyekciyi RedaguvatiProyekciyeyu kortezhu A x1 x2 xn na i tu vis abo i yu proyekciyeyu nazivayetsya i ta koordinata xi kortezhu A poznachayetsya Pri A xi Proyekciyeyu kortezhu A x1 x2 xn na osi z nomerami i1 i2 ik nazivayetsya kortezh xi1 xi2 xik poznachayetsya Pri1 i2 ik A Priklad Yaksho V a b c a c d a b d to Pr1V a Pr2V b c Pr2 3V b c c d b d Div takozh RedaguvatiZalishkovo skinchenna grupa Dobutok grafiv Dekartiv dobutok grafiv Pryamij dobutok grupDzherela RedaguvatiKantor G Trudy po teorii mnozhestv Moskva Nauka 1985 nbsp Ce nezavershena stattya z teoriyi mnozhin Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Dekartiv dobutok mnozhin amp oldid 40218577