www.wikidata.uk-ua.nina.az

Аксіома Архімеда або принцип Архімеда або властивість Архімеда математичне положення яке назване за ім ям давньогрецьког

Аксіома Архімеда

Аксіома Архімеда, або принцип Архімеда, або властивість Архімеда — математичне положення, яке назване за ім'ям давньогрецького математика Архімеда. Уперше це положення було сформульоване Евдоксом Кнідським в його теорії відношень величин (поняття величини у Евдокса охоплює як числа, так і неперервні величини: довжини, площі, об'єми):

Якщо є дві однотипні величини і , то взявши доданком достатню кількість разів, можна перевершити :

Наприклад, для відрізків, аксіома Архімеда звучить так: якщо дано два відрізки, то відклавши достатню кількість разів менший з них, можна покрити більший.

Твердження аксіоми Архімеда здається тривіальним, але її справжній зміст полягає у відсутності нескінченно малих або нескінченно великих величин. По-справжньому значення аксіоми Архімеда стало зрозуміле в XIX столітті, коли було виявлено існування величин, для яких це властивість не виконується. Слідом за цим, математичні структури, для яких властивість Архімеда виконується стали називати архімедовими, наприклад, архімедове поле, архімедова група, а ті, для яких вона не має місця — неархімедовими.

Історія Редагувати

Аксіома, відома в математиці як аксіома Архімеда, насправді була вперше сформульована Евдоксом Кнідським. Цей постулат відігравав ключову роль в його теорії відношень, яка, по суті, була першою аксіоматичною теорією дійсних чисел. Тому її також називають аксіомою Евдокса.

Теорія Евдокса дійшла до нас у викладі Евкліда («Начала», книга V).

Кажуть, що величини мають відношення між собою, якщо вони, взяті кратно, можуть стати більшими один за одну

— «Начала», книга V, определение 4

Аксіома Евдокса-Архімеда лежала в основі так званого «методу вичерпування», винайденого Евдоксом — методу знаходження площ фігур, об'ємів тіл, довжин дуг за допомогою аналога сучасних сум Рімана та Дарбу. За допомогою свого методу Евдокс строго довів кілька теорем про обчислення площ та об'ємів. Проте найбільших успіхів у цій галузі досяг Архімед. За допомогою методу Евдокса він знайшов ряд нових площ і об'ємів. При цьому, оскільки в Стародавній Греції не існувало поняття послідовності, границі послідовності, Архімеду доводилося в кожній конкретній задачі повторювати міркування заново. Таким чином, у своїх творах Архімед формулював і використовував аксіому Евдокса-Архімеда. При цьому сам Архімед у вступі до своєї «Квадратура параболи» підкреслює, що ця аксіома вживалася його попередниками, і відігравала істотну роль в роботах Евдокса

Сучасне означення Редагувати

Лінійно впорядкована група Редагувати

Нехай — лінійно впорядкована група[en], і — додатні елементи . Елемент називається нескінченно малим по відношенню до елемента (а — нескінченно великим по відношенню до ), якщо для будь-якого натурального має місце нерівність

Група називається архімедовою, якщо для неї виконується аксіома Архімеда: у не існує пари елементів , , таких що — нескінченно мале по відношенню до .

Впорядковане поле Редагувати

Нехай — впорядковане поле. Оскільки всяке упорядковане поле є лінійно впорядкованою групою, то всі вищенаведені визначення нескінченно малого і нескінченно великого елементів, а також формулювання аксіоми Архімеда зберігають силу. Однак тут є ряд специфічних особливостей, завдяки яким формулювання аксіоми Архімеда спрощується.

Нехай — додатні елементи .

  • елемент нескінченно малий по відношенню до елемента , тоді й тільки тоді, коли елемент нескінченно малий по відношенню до (такі елементи називаються просто, нескінченно малими)
  • елемент нескінченно великий по відношенню до елемента , тоді й тільки тоді, коли елемент нескінченно великий по відношенню до (такі елементи називаються просто, нескінченно великими)

Нескінченно малі і нескінченно великі елементи об'єднуються під назвою інфінітезимальних елементів.

Відповідно формулювання аксіоми Архімеда спрощується: упорядковане поле має властивість Архімеда, якщо в ньому немає нескінченно малих елементів, або, еквівалентно, якщо в ньому немає нескінченно великих елементів. Якщо тут розгорнути визначення нескінченно малого (або нескінченно великого) елемента, то отримаємо наступне формулювання аксіоми Архімеда:

Або, еквівалентне формулювання,

Приклади і контрприклади Редагувати

Множина дійсних чисел Редагувати

Найвідоміший приклад архімедового поля — множина дійсних чисел. Якщо розглядати множину дійсних чисел як поповнення множини раціональних (наприклад, за допомогою дедекіндових перерізів), то властивість Архімеда для дійсних чисел випливає з того, що її мають раціональні числа. У зв'язку з цим слід зазначити, що в одній з систем аксіом дійсних чисел, яка була запропонована Гільбертом, множина дійсних чисел визначається як максимальне архімедове упорядковане поле, тобто упорядковане поле, яке задовольняє аксіомі Архімеда (тобто не містить інфінітезімальних елементів), яке не можна розширити до більшого архімедового впорядкованого поля.

Неархімедове упорядковане поле Редагувати

Як приклад (вірніше, контрприклад) впорядкованого поля, для якого не виконана аксіома Архімеда, розглянемо множину раціональних функцій з дійсними коефіцієнтами, тобто функцій виду

Відносно звичайних операцій додавання і множення ця множина утворює поле. Введемо відношення порядку на сукупності раціональних функцій наступним чином. Нехай і — дві раціональні функції. Ми скажемо, що , якщо і тільки якщо у деякому околі різниця має строго додатній знак. Цю умову можна сформулювати і в термінах коефіцієнтів раціональних функцій і . Запишемо різницю у вигляді многочлен + правильний раціональний дріб:

де другий доданок в правій частині — правильний раціональний дріб, тобто степінь чисельника менше степеня знаменника: . Будем також вважати що старший коефіцієнт знаменника рівний . Тоді тоді й тільки тоді, коли або , або поліноміальної частини немає і . Нескладно перевірити коректність цього визначення порядку (слід перевірити як те, що введене відношення дійсно є відношенням порядку, і що це відношення узгоджене з операціями поля).

Таким чином, множина раціональних функцій утворює впорядковане поле. Зауважимо, що воно є розширенням поля дійсних чисел, але аксіома Архімеда тут не має місця (див. кінець попереднього розділу). Справді, розглянемо елементи і . Очевидно, яким би не було натуральне число , має місце нерівність:

Іншими словами, — нескінченно великий елемент поля. Тим самим аксіома Архімеда у цьому полі не має місця.

P-адичні числа Редагувати

Див. також Редагувати

Примітки Редагувати

  1. История математики / Под ред. А. П. Юшкевича. — М. : «Наука», 2003. — Т. 1. — С. 96.
  2. Евклид. {{{Заголовок}}}. — Т. 1.
  3. Бурбаки, Н. Очерки по истории математики / Пер. И. Г. Башмаковой под ред. К. А. Рыбникова. — М. : Издательство иностранной литературы, 1963. — С. 148.
  4. Гильберт, Д. Основания геометрии. — М.—Л. : Главное Издательство Технико-Теоретической Литературы, 1948. — С. 87.

Література Редагувати

  • История математики / Под ред. А. П. Юшкевича. — М. : «Наука», 2003. — Т. 1.
  • Евклид. Начала / Перевод Д. Д. Мордухай—Болтовского. — М.—Л. : Главное Издательство Технико-Теоретической Литературы, 1948. — Т. 1.
  • Гильберт, Д. Основания геометрии. — М.—Л. : Главное Издательство Технико-Теоретической Литературы, 1948.
  • Бурбаки, Н. Очерки по истории математики / Пер. И. Г. Башмаковой под ред. К. А. Рыбникова. — М. : Издательство иностранной литературы, 1963.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Aksioma Arhimeda abo princip Arhimeda abo vlastivist Arhimeda matematichne polozhennya yake nazvane za im yam davnogreckogo matematika Arhimeda Upershe ce polozhennya bulo sformulovane Evdoksom Knidskim v jogo teoriyi vidnoshen velichin ponyattya velichini u Evdoksa ohoplyuye yak chisla tak i neperervni velichini dovzhini ploshi ob yemi 1 Yaksho ye dvi odnotipni velichini a displaystyle a i b displaystyle b to vzyavshi a displaystyle a dodankom dostatnyu kilkist raziv mozhna perevershiti b displaystyle b a a a n gt b displaystyle underbrace a a ldots a n gt b Napriklad dlya vidrizkiv aksioma Arhimeda zvuchit tak yaksho dano dva vidrizki to vidklavshi dostatnyu kilkist raziv menshij z nih mozhna pokriti bilshij Tverdzhennya aksiomi Arhimeda zdayetsya trivialnim ale yiyi spravzhnij zmist polyagaye u vidsutnosti neskinchenno malih abo neskinchenno velikih velichin Po spravzhnomu znachennya aksiomi Arhimeda stalo zrozumile v XIX stolitti koli bulo viyavleno isnuvannya velichin dlya yakih ce vlastivist ne vikonuyetsya Slidom za cim matematichni strukturi dlya yakih vlastivist Arhimeda vikonuyetsya stali nazivati arhimedovimi napriklad arhimedove pole arhimedova grupa a ti dlya yakih vona ne maye miscya nearhimedovimi Zmist 1 Istoriya 2 Suchasne oznachennya 2 1 Linijno vporyadkovana grupa 2 2 Vporyadkovane pole 3 Prikladi i kontrprikladi 3 1 Mnozhina dijsnih chisel 3 2 Nearhimedove uporyadkovane pole 3 3 P adichni chisla 4 Div takozh 5 Primitki 6 LiteraturaIstoriya RedaguvatiAksioma vidoma v matematici yak aksioma Arhimeda naspravdi bula vpershe sformulovana Evdoksom Knidskim Cej postulat vidigravav klyuchovu rol v jogo teoriyi vidnoshen yaka po suti bula pershoyu aksiomatichnoyu teoriyeyu dijsnih chisel Tomu yiyi takozh nazivayut aksiomoyu Evdoksa Teoriya Evdoksa dijshla do nas u vikladi Evklida Nachala kniga V nbsp Kazhut sho velichini mayut vidnoshennya mizh soboyu yaksho voni vzyati kratno mozhut stati bilshimi odin za odnu nbsp Nachala kniga V opredelenie 4 2 Aksioma Evdoksa Arhimeda lezhala v osnovi tak zvanogo metodu vicherpuvannya vinajdenogo Evdoksom metodu znahodzhennya plosh figur ob yemiv til dovzhin dug za dopomogoyu analoga suchasnih sum Rimana ta Darbu Za dopomogoyu svogo metodu Evdoks strogo doviv kilka teorem pro obchislennya plosh ta ob yemiv Prote najbilshih uspihiv u cij galuzi dosyag Arhimed Za dopomogoyu metodu Evdoksa vin znajshov ryad novih plosh i ob yemiv Pri comu oskilki v Starodavnij Greciyi ne isnuvalo ponyattya poslidovnosti granici poslidovnosti Arhimedu dovodilosya v kozhnij konkretnij zadachi povtoryuvati mirkuvannya zanovo Takim chinom u svoyih tvorah Arhimed formulyuvav i vikoristovuvav aksiomu Evdoksa Arhimeda Pri comu sam Arhimed u vstupi do svoyeyi Kvadratura paraboli pidkreslyuye sho cya aksioma vzhivalasya jogo poperednikami i vidigravala istotnu rol v robotah Evdoksa 3 Suchasne oznachennya RedaguvatiLinijno vporyadkovana grupa Redaguvati Nehaj G displaystyle G nbsp linijno vporyadkovana grupa en a displaystyle a nbsp i b displaystyle b nbsp dodatni elementi G displaystyle G nbsp Element a displaystyle a nbsp nazivayetsya neskinchenno malim po vidnoshennyu do elementa b displaystyle b nbsp a b displaystyle b nbsp neskinchenno velikim po vidnoshennyu do a displaystyle a nbsp yaksho dlya bud yakogo naturalnogo n displaystyle n nbsp maye misce nerivnist a a a n lt b displaystyle underbrace a a ldots a n lt b nbsp Grupa G displaystyle G nbsp nazivayetsya arhimedovoyu yaksho dlya neyi vikonuyetsya aksioma Arhimeda u G displaystyle G nbsp ne isnuye pari elementiv a displaystyle a nbsp b displaystyle b nbsp takih sho a displaystyle a nbsp neskinchenno male po vidnoshennyu do b displaystyle b nbsp Vporyadkovane pole Redaguvati Nehaj K displaystyle K nbsp vporyadkovane pole Oskilki vsyake uporyadkovane pole ye linijno vporyadkovanoyu grupoyu to vsi vishenavedeni viznachennya neskinchenno malogo i neskinchenno velikogo elementiv a takozh formulyuvannya aksiomi Arhimeda zberigayut silu Odnak tut ye ryad specifichnih osoblivostej zavdyaki yakim formulyuvannya aksiomi Arhimeda sproshuyetsya Nehaj a b displaystyle a b nbsp dodatni elementi K displaystyle K nbsp element a displaystyle a nbsp neskinchenno malij po vidnoshennyu do elementa b displaystyle b nbsp todi j tilki todi koli element a b displaystyle a b nbsp neskinchenno malij po vidnoshennyu do 1 K displaystyle 1 in K nbsp taki elementi nazivayutsya prosto neskinchenno malimi element a displaystyle a nbsp neskinchenno velikij po vidnoshennyu do elementa b displaystyle b nbsp todi j tilki todi koli element a b displaystyle a b nbsp neskinchenno velikij po vidnoshennyu do 1 K displaystyle 1 in K nbsp taki elementi nazivayutsya prosto neskinchenno velikimi Neskinchenno mali i neskinchenno veliki elementi ob yednuyutsya pid nazvoyu infinitezimalnih elementiv Vidpovidno formulyuvannya aksiomi Arhimeda sproshuyetsya uporyadkovane pole K displaystyle K nbsp maye vlastivist Arhimeda yaksho v nomu nemaye neskinchenno malih elementiv abo ekvivalentno yaksho v nomu nemaye neskinchenno velikih elementiv Yaksho tut rozgornuti viznachennya neskinchenno malogo abo neskinchenno velikogo elementa to otrimayemo nastupne formulyuvannya aksiomi Arhimeda Dlya vsyakogo elementa a displaystyle a nbsp polya K displaystyle K nbsp isnuye naturalnij element n displaystyle n nbsp takij sho n gt a displaystyle n gt a nbsp Abo ekvivalentne formulyuvannya Dlya bud yakogo dodatnogo elementa polya e gt 0 displaystyle varepsilon gt 0 nbsp isnuye naturalnij element n displaystyle n nbsp takij sho 1 n lt e displaystyle 1 n lt varepsilon nbsp Prikladi i kontrprikladi RedaguvatiMnozhina dijsnih chisel Redaguvati Najvidomishij priklad arhimedovogo polya mnozhina dijsnih chisel Yaksho rozglyadati mnozhinu dijsnih chisel yak popovnennya mnozhini racionalnih napriklad za dopomogoyu dedekindovih pereriziv to vlastivist Arhimeda dlya dijsnih chisel viplivaye z togo sho yiyi mayut racionalni chisla U zv yazku z cim slid zaznachiti sho v odnij z sistem aksiom dijsnih chisel yaka bula zaproponovana Gilbertom 4 mnozhina dijsnih chisel viznachayetsya yak maksimalne arhimedove uporyadkovane pole tobto uporyadkovane pole yake zadovolnyaye aksiomi Arhimeda tobto ne mistit infinitezimalnih elementiv yake ne mozhna rozshiriti do bilshogo arhimedovogo vporyadkovanogo polya Nearhimedove uporyadkovane pole Redaguvati Yak priklad virnishe kontrpriklad vporyadkovanogo polya dlya yakogo ne vikonana aksioma Arhimeda rozglyanemo mnozhinu racionalnih funkcij z dijsnimi koeficiyentami tobto funkcij vidu R x a n x n a 1 x a 0 b m x m b 1 x b 0 displaystyle R x frac a n x n ldots a 1 x a 0 b m x m ldots b 1 x b 0 nbsp Vidnosno zvichajnih operacij dodavannya i mnozhennya cya mnozhina utvoryuye pole Vvedemo vidnoshennya poryadku na sukupnosti racionalnih funkcij nastupnim chinom Nehaj f displaystyle f nbsp i g displaystyle g nbsp dvi racionalni funkciyi Mi skazhemo sho f gt g displaystyle f gt g nbsp yaksho i tilki yaksho u deyakomu okoli displaystyle infty nbsp riznicya f g displaystyle f g nbsp maye strogo dodatnij znak Cyu umovu mozhna sformulyuvati i v terminah koeficiyentiv racionalnih funkcij f displaystyle f nbsp i g displaystyle g nbsp Zapishemo riznicyu f g displaystyle f g nbsp u viglyadi mnogochlen pravilnij racionalnij drib f x g x a n x n a 1 x a 0 b m x m b 1 x b 0 c k x k c 1 x c 0 displaystyle f x g x a n x n ldots a 1 x a 0 frac b m x m ldots b 1 x b 0 c k x k ldots c 1 x c 0 nbsp de drugij dodanok v pravij chastini pravilnij racionalnij drib tobto stepin chiselnika menshe stepenya znamennika m lt k displaystyle m lt k nbsp Budem takozh vvazhati sho starshij koeficiyent znamennika c k displaystyle c k nbsp rivnij 1 displaystyle 1 nbsp Todi f gt g displaystyle f gt g nbsp todi j tilki todi koli abo a n gt 0 displaystyle a n gt 0 nbsp abo polinomialnoyi chastini nemaye i b m gt 0 displaystyle b m gt 0 nbsp Neskladno pereviriti korektnist cogo viznachennya poryadku slid pereviriti yak te sho vvedene vidnoshennya dijsno ye vidnoshennyam poryadku i sho ce vidnoshennya uzgodzhene z operaciyami polya Takim chinom mnozhina racionalnih funkcij utvoryuye vporyadkovane pole Zauvazhimo sho vono ye rozshirennyam polya dijsnih chisel ale aksioma Arhimeda tut ne maye miscya div kinec poperednogo rozdilu Spravdi rozglyanemo elementi 1 displaystyle 1 nbsp i x displaystyle x nbsp Ochevidno yakim bi ne bulo naturalne chislo n displaystyle n nbsp maye misce nerivnist 1 1 1 n n 1 lt x displaystyle underbrace 1 1 ldots 1 n n cdot 1 lt x nbsp Inshimi slovami x displaystyle x nbsp neskinchenno velikij element polya Tim samim aksioma Arhimeda u comu poli ne maye miscya P adichni chisla Redaguvati Dokladnishe p adichne chisloDiv takozh RedaguvatiVporyadkovana grupa Vporyadkovane pole Nestandartnij analizPrimitki Redaguvati Istoriya matematiki Pod red A P Yushkevicha M Nauka 2003 T 1 S 96 Evklid Zagolovok T 1 Burbaki N Ocherki po istorii matematiki Per I G Bashmakovoj pod red K A Rybnikova M Izdatelstvo inostrannoj literatury 1963 S 148 Gilbert D Osnovaniya geometrii M L Glavnoe Izdatelstvo Tehniko Teoreticheskoj Literatury 1948 S 87 Literatura RedaguvatiIstoriya matematiki Pod red A P Yushkevicha M Nauka 2003 T 1 Evklid Nachala Perevod D D Morduhaj Boltovskogo M L Glavnoe Izdatelstvo Tehniko Teoreticheskoj Literatury 1948 T 1 Gilbert D Osnovaniya geometrii M L Glavnoe Izdatelstvo Tehniko Teoreticheskoj Literatury 1948 Burbaki N Ocherki po istorii matematiki Per I G Bashmakovoj pod red K A Rybnikova M Izdatelstvo inostrannoj literatury 1963 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Aksioma Arhimeda amp oldid 36739147