www.wikidata.uk-ua.nina.az

Математична індукція У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна Індукція Математи чна інду кція це застосуванн

Математична індукція

У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна: Індукція.

Математи́чна інду́кція — це застосування принципу індукції для доведення теорем у математиці. Зазвичай полягає в доведенні правильності твердження стосовно одного з натуральних чисел, а потім всіх наступних.

Принцип індукції полягає в тому, що нескінченна послідовність тверджень , , правильна якщо:

  1.  — правильне, та
  2. із правильності випливає правильність (істинність) для всіх k.

Індуктивне доведення наочно може бути представлене у вигляді т.зв. принципу доміно. Нехай довільне число кісточок доміно виставлено в ряд таким чином, що кожна кісточка, падаючи, обов'язково перекине наступну за нею кісточку (це індукційний перехід). Тоді, якщо ми штовхнемо першу кісточку (це база індукції), то всі кісточки в ряду впадуть.

На практиці використовується, щоб довести істинність певного твердження для всіх натуральних чисел. Для цього спочатку перевіряється істинність твердження за номером 1 - база (базис) індукції, а потім доводиться, що, якщо правдиве твердження з номером n, то правдиве й наступне твердження за номером n + 1 - крок індукції, або індукційний перехід.

Формулювання Редагувати

Припустимо, що потрібно встановити справедливість нескінченної послідовності тверджень, пронумерованих натуральними числами: .

Припустимо, що

  1. Встановлено, що є істинним. (Це твердження називається базою індукції.)
  2. Для будь-якого n доведено, що якщо є істинним , то є істинним . (Це твердження називається індукційним переходом.)

Тоді всі твердження нашої послідовності є істинними.

Логічною підставою для цього методу докази слугує так звана аксіома індукції, п'ята з аксіом Пеано, що визначають натуральні числа. Правильність методу індукції еквівалентна тому, що в будь-якій непорожній підмножині натуральних чисел існує мінімальний елемент.

Принцип повної математичної індукції Редагувати

Існує також варіація, так званий принцип повної математичної індукції. Ось його строге формулювання:

Нехай є послідовність тверджень , , , . Якщо для будь-якого натурального з того, що істинні всі , , , , , випливає також істинність , то всі твердження в цій послідовності істинні, тобто .

У цій варіації база індукції виявляється зайвою, оскільки є тривіальним окремим випадком індукційного переходу. Дійсно, при імплікація еквівалентна . Принцип повної математичної індукції є прямим застосуванням сильнішої трансфінітної індукції.

Принцип повної математичної індукції також еквівалентний аксіомі індукції в аксіомах Пеано.

Історія Редагувати

Усвідомлення методу математичної індукції окремим методом походить від Блеза Паскаля і Герсоніда, хоча окремі випадки використання цього методу відомі ще в Платона (Діалог Парменід — можливо, міститься на початку приклад неявного індуктивного доведення), Прокла і Евкліда. Сучасну назву методу запровадив британський математик Ауґустус де Морган у 1838 році.

Приклади Редагувати

Задача. Довести, що, якими б не були натуральне n і дійсне q ≠ 1, справджується рівність

Доведення. Індукція по n.

База, n = 1:

Перехід: припустимо, що

тоді

що й потрібно було довести.

Коментар: істинність твердження в цьому доведенні — те саме, що й істинність рівності

Варіації та узагальнення Редагувати

Джерела Редагувати

Література Редагувати

Вікіпідручник має книгу на тему
Знайомство з методом математичної індукції

Відеоматеріали Редагувати

Див. також Редагувати


Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
U Vikipediyi ye statti pro inshi znachennya cogo termina Indukciya Matemati chna indu kciya ce zastosuvannya principu indukciyi dlya dovedennya teorem u matematici Zazvichaj polyagaye v dovedenni pravilnosti tverdzhennya stosovno odnogo z naturalnih chisel a potim vsih nastupnih Princip indukciyi polyagaye v tomu sho neskinchenna poslidovnist tverdzhen P i displaystyle P i i 1 displaystyle i 1 dots infty pravilna yaksho P 1 displaystyle P 1 pravilne ta iz pravilnosti P k displaystyle P k viplivaye pravilnist istinnist P k 1 displaystyle P k 1 dlya vsih k Induktivne dovedennya naochno mozhe buti predstavlene u viglyadi t zv principu domino Nehaj dovilne chislo kistochok domino vistavleno v ryad takim chinom sho kozhna kistochka padayuchi obov yazkovo perekine nastupnu za neyu kistochku ce indukcijnij perehid Todi yaksho mi shtovhnemo pershu kistochku ce baza indukciyi to vsi kistochki v ryadu vpadut Na praktici vikoristovuyetsya shob dovesti istinnist pevnogo tverdzhennya dlya vsih naturalnih chisel Dlya cogo spochatku pereviryayetsya istinnist tverdzhennya za nomerom 1 baza bazis indukciyi a potim dovoditsya sho yaksho pravdive tverdzhennya z nomerom n to pravdive j nastupne tverdzhennya za nomerom n 1 krok indukciyi abo indukcijnij perehid Zmist 1 Formulyuvannya 1 1 Princip povnoyi matematichnoyi indukciyi 2 Istoriya 3 Prikladi 4 Variaciyi ta uzagalnennya 5 Dzherela 6 Literatura 7 Videomateriali 8 Div takozhFormulyuvannya RedaguvatiPripustimo sho potribno vstanoviti spravedlivist neskinchennoyi poslidovnosti tverdzhen pronumerovanih naturalnimi chislami P 1 P 2 P n P n 1 displaystyle P 1 P 2 ldots P n P n 1 ldots nbsp Pripustimo sho Vstanovleno sho P 1 displaystyle P 1 nbsp ye istinnim Ce tverdzhennya nazivayetsya bazoyu indukciyi Dlya bud yakogo n dovedeno sho yaksho ye istinnim P n displaystyle P n nbsp to ye istinnim P n 1 displaystyle P n 1 nbsp Ce tverdzhennya nazivayetsya indukcijnim perehodom Todi vsi tverdzhennya nashoyi poslidovnosti ye istinnimi Logichnoyu pidstavoyu dlya cogo metodu dokazi sluguye tak zvana aksioma indukciyi p yata z aksiom Peano sho viznachayut naturalni chisla Pravilnist metodu indukciyi ekvivalentna tomu sho v bud yakij neporozhnij pidmnozhini naturalnih chisel isnuye minimalnij element Princip povnoyi matematichnoyi indukciyi Redaguvati Isnuye takozh variaciya tak zvanij princip povnoyi matematichnoyi indukciyi Os jogo stroge formulyuvannya Nehaj ye poslidovnist tverdzhen P 1 displaystyle P 1 nbsp P 2 displaystyle P 2 nbsp P 3 displaystyle P 3 nbsp displaystyle ldots nbsp Yaksho dlya bud yakogo naturalnogo n displaystyle n nbsp z togo sho istinni vsi P 1 displaystyle P 1 nbsp P 2 displaystyle P 2 nbsp P 3 displaystyle P 3 nbsp displaystyle ldots nbsp P n 1 displaystyle P n 1 nbsp viplivaye takozh istinnist P n displaystyle P n nbsp to vsi tverdzhennya v cij poslidovnosti istinni tobto n N i 1 n 1 P i P n n N P n displaystyle forall n in mathbb N Big forall i in 1 dots n 1 P i longrightarrow P n Big longrightarrow forall n in mathbb N P n nbsp U cij variaciyi baza indukciyi viyavlyayetsya zajvoyu oskilki ye trivialnim okremim vipadkom indukcijnogo perehodu Dijsno pri n 1 displaystyle n 1 nbsp implikaciya i 1 n 1 P i P n displaystyle forall i in 1 dots n 1 P i longrightarrow P n nbsp ekvivalentna P 1 displaystyle P 1 nbsp Princip povnoyi matematichnoyi indukciyi ye pryamim zastosuvannyam silnishoyi transfinitnoyi indukciyi Princip povnoyi matematichnoyi indukciyi takozh ekvivalentnij aksiomi indukciyi v aksiomah Peano Istoriya RedaguvatiUsvidomlennya metodu matematichnoyi indukciyi okremim metodom pohodit vid Bleza Paskalya i Gersonida hocha okremi vipadki vikoristannya cogo metodu vidomi she v Platona Dialog Parmenid mozhlivo mistitsya na pochatku priklad neyavnogo induktivnogo dovedennya Prokla i Evklida Suchasnu nazvu metodu zaprovadiv britanskij matematik Augustus de Morgan u 1838 roci Prikladi RedaguvatiZadacha Dovesti sho yakimi b ne buli naturalne n i dijsne q 1 spravdzhuyetsya rivnist 1 q q 2 q n 1 q n 1 1 q displaystyle 1 q q 2 cdots q n frac 1 q n 1 1 q nbsp Dovedennya Indukciya po n Baza n 1 1 q 1 q 1 q 1 q 1 q 1 1 1 q displaystyle 1 q frac 1 q 1 q 1 q frac 1 q 1 1 1 q nbsp Perehid pripustimo sho 1 q q n 1 q n 1 1 q displaystyle 1 q cdots q n frac 1 q n 1 1 q nbsp todi 1 q q n q n 1 1 q n 1 1 q q n 1 displaystyle 1 q cdots q n q n 1 frac 1 q n 1 1 q q n 1 nbsp 1 q n 1 1 q q n 1 1 q 1 q n 1 q n 1 q n 1 1 1 q 1 q n 1 1 1 q displaystyle frac 1 q n 1 1 q q n 1 1 q frac 1 q n 1 q n 1 q n 1 1 1 q frac 1 q n 1 1 1 q nbsp sho j potribno bulo dovesti Komentar istinnist tverdzhennya P n displaystyle P n nbsp v comu dovedenni te same sho j istinnist rivnosti 1 q q n 1 q n 1 1 q displaystyle 1 q cdots q n frac 1 q n 1 1 q nbsp Variaciyi ta uzagalnennya RedaguvatiTransfinitna indukciya Strukturna indukciya Aksiomi Peano Zvorotna indukciya abo Indukciya Koshi KoindukciyaDzherela RedaguvatiWeisstein Eric W 1999 CRC concise encyclopedia of mathematics Boca Raton Fla CRC Press ISBN 0 8493 9640 9 Literatura RedaguvatiVikipidruchnik maye knigu na temu Znajomstvo z metodom matematichnoyi indukciyiN Ya Vilenkin Indukciya Kombinatorika Posobie dlya uchitelej M Prosveshenie 1976 48 s L I Golovina I M Yaglom Indukciya v geometrii Fizmatgiz 1961 T 21 100 s Populyarnye lekcii po matematike R Kurant G Robbins Glava I 2 Chto takoe matematika I S Sominskij Metod matematicheskoj indukcii Nauka 1965 T 3 58 s Populyarnye lekcii po matematike Videomateriali RedaguvatiKurs videolekcij z matematichnoyi indukciyi ukrayinskoyu movoyu Arhivovano 1 kvitnya 2016 u Wayback Machine Prikladi rozv yazuvannya zadach video ukrayinskoyu movoyu Div takozh Redaguvati nbsp Portal Matematika Dovedennya Dedukciya Formalna logika Problema indukciyi nbsp Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Matematichna indukciya amp oldid 37922646