Порядкове число

Порядкове число (трансфінітне число, ординал) — в теорії множин, узагальнення натурального числа відмінне від цілих чисел та кардинальних чисел. Введені Георгом Кантором в 1897 для класифікації цілком впорядкованих множин. Відіграють ключову роль в доведенні багатьох теорем теорії множин, особливо разом з пов'язаним з ними принципом трансфінітної індукції.

Представлення порядкових чисел до ω^ω. Кожен оберт спіралі представляє степінь ω

Означення

Одне з сучасних формулювань визначення трансфінітних чисел по фон Нейману:

Властивості

•  — ординал.
• Якщо  — ординал, то кожен елемент  — ординал.
• Якщо  — ординал, то  — ординал (множину позначають через ). Ординали, що збігаються з для деякого , називаються неграничними ординалами, на відміну від граничних.
• Всі скінченні ординали та скінченні кардинали збігаються з натуральними числами.
• Множині натуральних чисел відповідає найменший нескінченний ординал та найменший нескінченний кардинал .
• Існує тільки один зліченний кардинал , на відміну від незліченної множини зліченних ординалів {ω, ω+1, ω+2, …, ω·2, ω·2+1, …, ω², …, ω³, …, ω^ω, …, ω^ωω, …, ε₀, …}
• Множина всіх зліченних ординалів є першим незліченним ординалом , якому відповідає кардинал .
• Довільна множина ординалів цілком упорядкована відношенням , при цьому  — найменший елемент довільної множини ординалів,  — ординал, не менший за довільний ординал .
• Не існує множини всіх ординалів. Сукупність ординалів є класом.

Арифметика ординалів

1. Додавання не комутативне, зокрема: не дорівнює , тому, що .
2. Додавання асоціативне: .

Див. також

• Кардинальне число

Література

• Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств = Set Theory (Teoria mnogości). — М. : Мир, 1970. — 416 с.(рос.)

• Хаусдорф Ф. Теория множеств. — Москва ; Ленинград : ОНТИ, 1937. — 304 с. — ISBN 978-5-382-00127-2.(рос.)

• Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. — Москва : Наука, 1977. — 368 с. — ISBN 5354008220.(рос.)
• Бурбаки Н. Основные структуры анализа. Теория множеств. — М.: Мир, 1965 462 с.