Конкретна категорія в математиці — категорія, забезпечена строгим функтором у категорію множин. Завдяки цьому функтору можна оперувати з об'єктами такої категорії в спосіб, подібний до роботи з множинами з додатковою структурою, а морфізми подавати як функції, що зберігають додаткову структуру. Багато категорій мають очевидну інтерпретацію конкретних категорій, наприклад, категорія груп, категорія топологічних просторів і власне категорія множин. З іншого боку, існують категорії, що не конкретизуються; наприклад, категорія гомотопій топологічних просторів неконкретизовна, тобто не допускає строгого функтора в категорію множин.
Визначення Редагувати
Конкретна категорія — це пара , така що:
- є категорією,
- — строгий функтор Set (категорія множин).
Функтор є забутливим функтором, який зіставляє об'єкту категорії його «множину-носій».
Категорія конкретизовна, якщо існує строгий функтор з неї категорію множин. Зокрема, всі малі категорії конкретизовні: функтор можна визначити як функтор, що відправляє об'єкт категорії у множину всіх стрілок (для всіляких об'єктів ), а морфізм категорії — морфізм , який зіставляє стрілці композицію .
Інтуїція Редагувати
Всупереч інтуїції, «конкретність» — це не властивість, яку категорія може мати або не мати, а додаткова структура, якою її можна забезпечити, крім того, категорія може допускати кілька строгих функторів у Set. Проте на практиці цей функтор зазвичай очевидний.
Вимога строгості означає, що він відображає різні морфізми з фіксованим образом і прообразом у різні функції на множинах. Однак він може «склеювати» різні об'єкти категорії, і, якщо це станеться, він відображатиме різні морфізми в одну функцію.
Наприклад, якщо and — дві різні топології на одній множині , то і — різні об'єкти категорії Top топологічних просторів і неперервних відображень, але вони відображаються в одну й ту саму множину під дією функтора Top Set. Більш того, тотожні морфізми і розуміють як різні морфізми в Top, однак їм відповідає та сама функція, а саме тотожна функція на .
Неконкретизовні категорії Редагувати
Категорію називають неконкретизовною, якщо немає сьрогого функтора з неї в категорію множин.
Наприклад, категорія hTop, об'єкти якої — топологічні простори, а морфізми — класи гомотопних функцій, неконкретизовна. Хоча об'єкти цієї категорії можна подати як множини, проте морфізми в ній — це не функції, а, швидше, класи функцій. Відсутність строгого функтора з hTop у Set довів 1970 року Пітер Фрайд[en]. Раніше було показано, що категорія всіх малих категорій та натуральних перетворень неконкретизовна.
Література Редагувати
- Adámek, Jiří, Herrlich, Horst, & Strecker, George E.; (1990). Abstract and Concrete Categories (4.2MB PDF). Originally publ. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6. (тепер безкоштовне онлайн-видання).
- Freyd, Peter; (1970). Homotopy is not concrete. Вперше опубліковано в: The Steenrod Algebra and its Applications, Springer Lecture Notes in Mathematics Vol. 168. Перепубліковано в безкоштовному онлайновому журналі: Reprints in Theory and Applications of Categories, No. 6 (2004), з дозволу Springer-Verlag.
- Rosický, Jiří; (1981). Concrete categories and infinitary languages. Journal of Pure and Applied Algebra, Volume 22, Issue 3.
| Це незавершена стаття з алгебри. Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її. |