Підгрупа кручення — підгрупа елементів скінченного порядку абелевої групи. Підгрупа кручення абелевої групи позначається .
Підгрупою p-кручення називається множина всіх елементів порядок яких рівний деякому степеню простого числа p. Підгрупи кручення і p-кручення групи визначені однозначно. Якщо усі елементи групи мають скінченний порядок то група називається періодичною. Якщо єдиним елементом скінченного порядку є нульовий елемент то група називається групою без кручень.
Властивості і приклади Редагувати
- Група кручення може бути розкладеною в суму підгруп p-кручення для простих чисел p:
- Будь-яка скінченнопороджена абелева група може бути розкладена в пряму суму вигляду
- Факторгрупа є групою без кручень.
- Вимога комутативності групи є важливою, оскільки для неабелевих груп, множина елементів скінченного порядку може не бути групою. Наприклад у групі заданій наступним співвідношенням:
- Довільна скінченна абелева група є групою кручення. Зворотне твердження не є вірним.
Див. також Редагувати
Література Редагувати
- Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 648 с. — ISBN 5-8114-0616-9.(рос.)