Poliga mma fu nkciya poryadku m u matematici viznachayetsya yak m 1 sha pohidna naturalnogo logarifma gamma funkciyi Digamma funkciya ps x displaystyle psi x Trigamma funkciya ps x displaystyle psi x Tetragamma funkciya ps x displaystyle psi x Pentagamma funkciya ps x displaystyle psi x ps m z d m d z m ps z d m 1 d z m 1 ln G z displaystyle psi m z frac rm d m rm d z m psi z frac rm d m 1 rm d z m 1 ln Gamma z de G z displaystyle Gamma z gamma funkciya a ps z ps 0 z G z G z displaystyle psi z psi 0 z frac Gamma z Gamma z digamma funkciya yaku takozh mozhna viznachiti cherez sumu takogo ryadu ps z ps 0 z g k 0 1 k 1 1 k z displaystyle psi z psi 0 z gamma sum limits k 0 infty left frac 1 k 1 frac 1 k z right de g displaystyle textstyle gamma stala Ejlera Maskeroni Ce podannya spravedlive dlya bud yakogo kompleksnogo z 0 1 2 3 displaystyle z neq 0 1 2 3 ldots u zaznachenih tochkah funkciya ps z displaystyle textstyle psi z maye singulyarnosti pershogo poryadku 1 Poligamma funkciyu takozh mozhna viznachiti cherez sumu ryadu ps m z 1 m 1 m k 0 1 z k m 1 m gt 0 displaystyle psi m z 1 m 1 m sum limits k 0 infty displaystyle frac 1 z k m 1 qquad m gt 0 yakij vihodit iz podannya dlya digamma funkciyi diferenciyuvannyam za z 2 Ce podannya takozh spravedlive dlya bud yakogo kompleksnogo z 0 1 2 3 displaystyle z neq 0 1 2 3 ldots u zaznachenih tochkah funkciya ps m z displaystyle textstyle psi m z maye singulyarnosti poryadku m 1 Jogo mozhna zapisati cherez dzeta funkciyu Gurvica 2 ps m z 1 m 1 m z m 1 z displaystyle psi m z 1 m 1 m zeta m 1 z U comu sensi dzeta funkciyu Gurvica mozhna vikoristati dlya uzagalnennya poligamma funkciyi na vipadok dovilnogo necilogo poryadku m Zaznachimo sho v literaturi ps m z displaystyle textstyle psi m z inodi poznachayut yak ps m z displaystyle textstyle psi m z abo yavno vkazuyut shtrihi dlya pohidnih za z Funkciyu ps z ps 1 z displaystyle textstyle psi z psi 1 z nazivayut trigamma funkciyeyu ps z ps 2 z displaystyle textstyle psi z psi 2 z tetragamma funkciyeyu ps z ps 3 z displaystyle textstyle psi z psi 3 z pentagamma funkciyeyu ps z ps 4 z displaystyle textstyle psi z psi 4 z geksagamma funkciyeyu i t d Zmist 1 Integralne podannya 2 Asimptotichni rozkladi 3 Chastkovi znachennya 4 Inshi formuli 5 Div takozh 6 Primitki 7 PosilannyaIntegralne podannya RedaguvatiPoligamma funkciyu mozhna podati yak ps m z 1 m 1 0 t m e z t 1 e t d t displaystyle psi m z 1 m 1 int 0 infty frac t m e zt 1 e t rm d t nbsp Ce podannya spravedlive dlya Re z gt 0 i m gt 0 Pri m 0 dlya digamma funkciyi integralne podannya mozhna zapisati u viglyadi ps z ps 0 z g 0 e t e z t 1 e t d t g 0 1 1 t z 1 1 t d t displaystyle psi z psi 0 z gamma int 0 infty frac e t e zt 1 e t rm d t gamma int 0 1 frac 1 t z 1 1 t rm d t nbsp de g displaystyle textstyle gamma nbsp stala Ejlera Maskeroni Asimptotichni rozkladi RedaguvatiPri z displaystyle z to infty nbsp arg z lt p displaystyle operatorname arg z lt pi nbsp spravedlivij takij rozklad iz vikoristannyam chisel Bernulli ps m z 1 m 1 m 1 z m m 2 z m 1 k 1 2 k m 1 B 2 k 2 k z 2 k m displaystyle psi m z 1 m 1 left frac m 1 z m frac m 2z m 1 sum k 1 infty frac 2k m 1 B 2k 2k z 2k m right nbsp Rozklad u ryad Tejlora poblizu argumentu rivnogo odinici maye viglyad ps m z 1 k 0 1 m k 1 m k z m k 1 z k k displaystyle psi m z 1 sum k 0 infty 1 m k 1 m k zeta m k 1 frac z k k nbsp de z poznachaye dzeta funkciyu Rimana Cej ryad zbigayetsya pri z lt 1 i jogo mozhna otrimati z vidpovidnogo ryadu dlya dzeta funkciyi Gurvica Chastkovi znachennya RedaguvatiZnachennya poligamma funkciyi pri cilih i napivcilih znachennyah argumentu virazhayutsya cherez dzeta funkciyu Rimana ps m 1 1 m 1 m z m 1 m gt 0 displaystyle psi m 1 1 m 1 m zeta m 1 qquad m gt 0 nbsp ps m 1 2 1 m 1 m 2 m 1 1 z m 1 m gt 0 displaystyle psi m tfrac 1 2 1 m 1 m 2 m 1 1 zeta m 1 qquad m gt 0 nbsp a dlya digamma funkciyi pri m 0 ps 1 ps 0 1 g displaystyle psi 1 psi 0 1 gamma nbsp ps 1 2 ps 0 1 2 g 2 ln 2 displaystyle psi tfrac 1 2 psi 0 tfrac 1 2 gamma 2 ln 2 nbsp de g displaystyle textstyle gamma nbsp stala Ejlera Maskeroni 2 Shob otrimati znachennya poligamma funkciyi za inshih cilih dodatnih i napivcilih znachen argumentu mozhna vikoristati rekurentne spivvidnoshennya navedene nizhche Inshi formuli RedaguvatiPoligamma funkciya zadovolnyaye rekurentne spivvidnoshennya 2 ps m z 1 ps m z 1 m m z m 1 displaystyle psi m z 1 psi m z frac 1 m m z m 1 nbsp a takozh formulu dopovnennya 2 ps m 1 z 1 m 1 ps m z 1 m p d m d z m cot p z displaystyle psi m 1 z 1 m 1 psi m z 1 m pi frac rm d m rm d z m cot pi z nbsp Dlya poligamma funkciyi kratnogo argumentu isnuye taka vlastivist 2 ps m k z 1 k m 1 n 0 k 1 ps m z n k m gt 0 displaystyle psi m kz frac 1 k m 1 sum n 0 k 1 psi m left z frac n k right qquad m gt 0 nbsp a dlya digamma funkciyi m 0 displaystyle m 0 nbsp do pravoyi chastini treba dodati ln k displaystyle ln k nbsp 2 ps k z ln k 1 k n 0 k 1 ps z n k displaystyle psi kz ln k frac 1 k sum n 0 k 1 psi left z frac n k right nbsp Div takozh RedaguvatiDigamma funkciya Trigamma funkciyaPrimitki Redaguvati Eric W Weisstein Digamma funkciya angl na sajti Wolfram MathWorld a b v g d e zh Eric W Weisstein Poligamma funkciya angl na sajti Wolfram MathWorld Posilannya RedaguvatiMilton Abramowitz Irene A Stegun 6 4 Polygamma Functions Handbook of Mathematical Functions New York Dover Publications 1964 ISBN 0 486 61272 4 Eric W Weisstein Poligamma funkciya angl na sajti Wolfram MathWorld Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Poligamma funkciya amp oldid 34770284
