Теорема Бора — [en] ствердує, що гамма-функція, означена на x > 0 як
це єдина функція f на проміжку x > 0, яка одночасно має такі три властивості
- f (1) = 1, і
- f (x + 1) = x f (x) для x > 0 і
- f — логарифмічно опукла.
Доведення
Нехай Γ(x) буде функцією з припущеними вище властивостями: Γ(x + 1) = xΓ(x) і log(Γ(x)) опукла, і Γ(1) = 1. З того, що Γ(x + 1) = xΓ(x) ми можемо вивести
Це нам потрібно для того, щоб Γ(1) = 1 змушувало Γ(x + 1) = xΓ(x) повторювати фукторіали всіх цілих чисел, отже тепер ми можемо сказати, що Γ(n) = (n − 1)! якщо n ∈ N і якщо Γ(x) взагалі існує. З нашої формули для Γ(x + n) випливає, що якщо ми повністю розуміємо Γ(x) для 0 < x ≤ 1, то ми розміємо Γ(x) для всіх значень x.
Нахил лінії, що з'єднує дві точки: (x1, log(Γ (x1))) і (x2, log(Γ (x2))), назвемо його S(x1, x2), монотонно висхідний для кожного зі своїх аргументів з x1 < x2, бо ми припустили, що log(Γ(x)) опукла. Отже, ми знаємо, що
Перехід можливий, бо монотонно висхідна. Останній рядок — це сильне твердження. Зокрема, воно виконується для всіх значень n. Тобто Γ(x) не більша ніж правий бік для будь-якого n і так само, Γ(x) не менша ніж лівий бік для будь-якого n. Кожну нерівність можна тлумачити як незалеєне твердження. Завдяки цьому факту, ми ми вільні обирати різні значення n для правого лівого боків. Так, якщо ми збережемо n для правого боку і виберемо n + 1 для лівого, то:
З останнього рядку очевидно, що функція затиснена між двома виразами, звичайна практика для доведення різноманітних штук як-от існування границі або сходимості. Нехай n → ∞:
тому при переході до границі лівий і правий боки дорівнюють один одному і це означає, що
У конетксті нашого доведення
має три властивості Γ(x). Також, доведення надає вираз для Γ(x). І остання критична частина доведення — це те. що границя послідовності унікальна. Це означає, що для будь-якого вибору 0 < x ≤ 1 може існувати лише одне Γ(x). Отже, не існує іншої функції з властивостями приписаними Γ(x).
Залишилось покажати, що Γ(x) спрацьовує для всіх x для яких
існує. Проблема полягає в тому, що ми побудували нашу першу нерівність
з обмеженням 0 < x ≤ 1. Якщо, скажімо, x > 1 тоді факт того, що S монотонно висхідна зробив би S(n + 1, n) < S(n + x, n), що протирічить нерівності на якій побудувоне все доведення. Але зауважте, що
що показує як розгорнути функцію Γ(x) для всіх значень x де границя має місце.
Література
- Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2200+ с.(укр.)
Посилання
- Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), theorem Bohr–Mollerup theorem, Математична енциклопедія, , ISBN
- Weisstein, Eric W. Bohr–Mollerup Theorem(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- Proof of Bohr–Mollerup theorem на PlanetMath
- Alternative proof of Bohr–Mollerup theorem на PlanetMath
- Artin, Emil (1964). The Gamma Function. Holt, Rinehart, Winston.
- Rosen, Michael (2006). Exposition by Emil Artin: A Selection. American Mathematical Society.
- Mollerup, J., Bohr, H. (1922). Lærebog i Kompleks Analyse vol. III, Copenhagen. (Textbook in Complex Analysis)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Teorema Bora en stverduye sho gamma funkciya oznachena na x gt 0 yak G x 0 t x 1 e t d t displaystyle Gamma x int 0 infty t x 1 e t dt ce yedina funkciya f na promizhku x gt 0 yaka odnochasno maye taki tri vlastivosti f 1 1 i f x 1 x f x dlya x gt 0 i f logarifmichno opukla DovedennyaNehaj G x bude funkciyeyu z pripushenimi vishe vlastivostyami G x 1 xG x i log G x opukla i G 1 1 Z togo sho G x 1 xG x mi mozhemo vivesti G x n x n 1 x n 2 x n 3 x 1 x G x displaystyle Gamma x n x n 1 x n 2 x n 3 cdots x 1 x Gamma x Ce nam potribno dlya togo shob G 1 1 zmushuvalo G x 1 xG x povtoryuvati fuktoriali vsih cilih chisel otzhe teper mi mozhemo skazati sho G n n 1 yaksho n N i yaksho G x vzagali isnuye Z nashoyi formuli dlya G x n viplivaye sho yaksho mi povnistyu rozumiyemo G x dlya 0 lt x 1 to mi rozmiyemo G x dlya vsih znachen x Nahil liniyi sho z yednuye dvi tochki x1 log G x1 i x2 log G x2 nazvemo jogo S x1 x2 monotonno vishidnij dlya kozhnogo zi svoyih argumentiv z x1 lt x2 bo mi pripustili sho log G x opukla Otzhe mi znayemo sho S n 1 n S n n x S n n 1 0 lt x 1 log G n log G n 1 n n 1 log G n log G n x n n x log G n log G n 1 n n 1 log n 1 log n 2 1 log G n x log n 1 x log n log n 1 1 log n 1 n 2 log G n x log n 1 x log n n 1 log n 1 log G n x log n 1 x log n x log n 1 log G n x log n 1 x log n log n 1 x log n 1 log G n x log n x log n 1 log n 1 x n 1 log G n x log n x n 1 n 1 x n 1 G n x n x n 1 n 1 x n 1 x n 1 x n 2 x 1 x G x n x n 1 n 1 x n 1 x n 1 x n 2 x 1 x G x n x n 1 x n 1 x n 2 x 1 x n 1 x n 1 x n 1 x n 2 x 1 x G x n x n x n x n 1 x 1 x n x n displaystyle begin aligned S n 1 n amp leq S n n x leq S n n 1 amp amp 0 lt x leq 1 6pt frac log Gamma n log Gamma n 1 n n 1 amp leq frac log Gamma n log Gamma n x n n x leq frac log Gamma n log Gamma n 1 n n 1 6pt frac log n 1 log n 2 1 amp leq frac log Gamma n x log n 1 x leq frac log n log n 1 1 6pt log left frac n 1 n 2 right amp leq frac log Gamma n x log n 1 x leq log left frac n n 1 right 6pt log n 1 amp leq frac log Gamma n x log n 1 x leq log n x log n 1 amp leq log Gamma n x log n 1 leq x log n log left n 1 x right log n 1 amp leq log Gamma n x leq log left n x right log n 1 log left n 1 x n 1 right amp leq log Gamma n x leq log left n x n 1 right n 1 x n 1 amp leq Gamma n x leq n x n 1 amp amp text 6pt n 1 x n 1 amp leq x n 1 x n 2 cdots x 1 x Gamma x leq n x n 1 6pt frac n 1 x n 1 x n 1 x n 2 cdots x 1 x amp leq Gamma x leq frac n x n 1 x n 1 x n 2 cdots x 1 x 6pt frac n 1 x n 1 x n 1 x n 2 cdots x 1 x amp leq Gamma x leq frac n x n x n x n 1 cdots x 1 x left frac n x n right 6pt end aligned Perehid displaystyle text mozhlivij bo log displaystyle log monotonno vishidna Ostannij ryadok ce silne tverdzhennya Zokrema vono vikonuyetsya dlya vsih znachen n Tobto G x ne bilsha nizh pravij bik dlya bud yakogo n i tak samo G x ne mensha nizh livij bik dlya bud yakogo n Kozhnu nerivnist mozhna tlumachiti yak nezaleyene tverdzhennya Zavdyaki comu faktu mi mi vilni obirati rizni znachennya n dlya pravogo livogo bokiv Tak yaksho mi zberezhemo n dlya pravogo boku i viberemo n 1 dlya livogo to n 1 1 x n 1 1 x n 1 1 x n 1 2 x 1 x G x n x n x n x n 1 x 1 x n x n n x n x n x n 1 x 1 x G x n x n x n x n 1 x 1 x n x n displaystyle begin aligned frac n 1 1 x n 1 1 x n 1 1 x n 1 2 cdots x 1 x amp leq Gamma x leq frac n x n x n x n 1 cdots x 1 x left frac n x n right frac n x n x n x n 1 cdots x 1 x amp leq Gamma x leq frac n x n x n x n 1 cdots x 1 x left frac n x n right end aligned Z ostannogo ryadku ochevidno sho funkciya zatisnena mizh dvoma virazami zvichajna praktika dlya dovedennya riznomanitnih shtuk yak ot isnuvannya granici abo shodimosti Nehaj n lim n n x n 1 displaystyle lim n to infty frac n x n 1 tomu pri perehodi do granici livij i pravij boki dorivnyuyut odin odnomu i ce oznachaye sho lim n n x n x n x n 1 x 1 x G x displaystyle lim n to infty frac n x n x n x n 1 cdots x 1 x Gamma x U konetksti nashogo dovedennya lim n n x n x n x n 1 x 1 x displaystyle lim n to infty frac n x n x n x n 1 cdots x 1 x maye tri vlastivosti G x Takozh dovedennya nadaye viraz dlya G x I ostannya kritichna chastina dovedennya ce te sho granicya poslidovnosti unikalna Ce oznachaye sho dlya bud yakogo viboru 0 lt x 1 mozhe isnuvati lishe odne G x Otzhe ne isnuye inshoyi funkciyi z vlastivostyami pripisanimi G x Zalishilos pokazhati sho G x spracovuye dlya vsih x dlya yakih lim n n x n x n x n 1 x 1 x displaystyle lim n to infty frac n x n x n x n 1 cdots x 1 x isnuye Problema polyagaye v tomu sho mi pobuduvali nashu pershu nerivnist S n 1 n S n x n S n 1 n displaystyle S n 1 n leq S n x n leq S n 1 n z obmezhennyam 0 lt x 1 Yaksho skazhimo x gt 1 todi fakt togo sho S monotonno vishidna zrobiv bi S n 1 n lt S n x n sho protirichit nerivnosti na yakij pobuduvone vse dovedennya Ale zauvazhte sho G x 1 lim n x n x n x n x n 1 x 1 x n n x 1 G x 1 x G x 1 displaystyle begin aligned Gamma x 1 amp lim n to infty x cdot left frac n x n x n x n 1 cdots x 1 x right frac n n x 1 Gamma x amp left frac 1 x right Gamma x 1 end aligned sho pokazuye yak rozgornuti funkciyu G x dlya vsih znachen x de granicya maye misce LiteraturaGrigorij Mihajlovich Fihtengolc Kurs diferencialnogo ta integralnogo chislennya 2024 2200 s ukr PosilannyaHazewinkel Michiel red 2001 theorem Bohr Mollerup theorem Matematichna enciklopediya Springer ISBN 978 1 55608 010 4 Weisstein Eric W Bohr Mollerup Theorem angl na sajti Wolfram MathWorld Proof of Bohr Mollerup theorem na PlanetMath Alternative proof of Bohr Mollerup theorem na PlanetMath Artin Emil 1964 The Gamma Function Holt Rinehart Winston Rosen Michael 2006 Exposition by Emil Artin A Selection American Mathematical Society Mollerup J Bohr H 1922 Laerebog i Kompleks Analyse vol III Copenhagen Textbook in Complex Analysis