Теорема Больцано — Коші

Теоре́ма Больца́но — Ко́ші (теоре́ма про промі́жне зна́чення непере́рвної фу́нкції) — ділиться на дві частини, перша з яких є теоремою про проходження неперервною функцією через нуль, друга — узагальнює першу і стверджує, що якщо неперервна функція приймає два значення, вона також прийме значення на відрізку між ними.

Перша теорема Больцано — Коші

Нехай функція f(x) визначена та неперервна в замкненому проміжку [a, b] та на кінцях цього проміжку приймає значення різних знаків. Тоді між a та b неодмінно знайдеться точка c, в якій функція обертається в нуль:

Доведення

Доведення цієї теореми зробимо методом послідовного ділення відрізку (метод Больцано). Нехай, для визначеності, f(a) < 0 та f(b) > 0. Розділимо відрізок [a, b] навпіл точкою . Якщо в даній точці функція дорівнює нулю, тоді теорема доведена. Якщо , тоді на кінцях одного з відрізків , функція буде приймати значення різних знаків. Позначивши цей проміжок через маємо:

,

Розділимо навпіл відрізок та знову відкинемо випадок з рівністю функції нулеві (у цьому випадку теорема доведена). Позначимо через ту з половин відрізку, для якої

,

Продовжимо цей процес побудови відрізків. При цьому після деякої кінцевої кількості ітерацій ми або наткнемося на рівність функції нулеві, і доведення теореми закінчиться, або отримаємо нескінченну послідовність вкладених один в одного проміжків. Зупинимось на цьому останньому випадку. Тоді для n-го відрізку , (n = 1, 2, 3 …) будемо мати

, Посилання: (1)

Причому довжина його дорівнює

Посилання: (2)

Побудована послідовність відрізків задовольняє лему про вкладені відрізки, тому що відповідно до (2) . Тому існує точка с із проміжку [a, b], для якої .

Покажемо, що саме ця точка задовольняє вимогам теореми. Перейшовши до границі в нерівностях (1) та використовуючи при цьому неперервність функції (зокрема, в точці x = c), отримаємо, що одночасно

та

Так що дійсно, f(c) = 0. Теорема доведена.

Друга теорема Больцано — Коші

Нехай функція f(x) визначена та неперервна на деякому проміжку X (замкнутому або ні, скінченному або нескінченному). Якщо в двох точках x=a та x=b (a < b) цього проміжку функція приймає нерівні значення

та ,

то, яке б не було число С, що лежить між A та B, знайдеться така точка x = c між a та b, що f(c) = C

Доведення

Будемо вважати, що A < B, тоді A < C < B.

Розглянемо в проміжку [a, b] допоміжну функцію . Ця функція неперервна в проміжку [a, b] та на кінцях його має різні знаки:

,

Тоді згідно з першою теоремою Больцано — Коші, між a та b знайдеться точка x = c, для якої , тобто

або

Що і треба було довести.

Використання теореми на практиці

За допомогою цієї теореми можна визначити наявність коренів у рівнянні. Наприклад для всіх очевидний корінь x = 4 у рівнянні , але складно помітити існування ще одного кореня цього рівняння. Функція

при x = 0, має значення f(0) = 1 > 0, а при x = 1/2 значення , відповідно функція (оскільки вона неперервна) обертається на 0 в деякій точці між 0 та 1/2.

Див. також

• Теорема Дарбу

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2023. — 1100+ с.(укр.)
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — Москва : Наука, 1962. — Т. 1. — 607 с.(рос.)