www.wikidata.uk-ua.nina.az

Потенціальне векторне поле Ця стаття потребує істотної переробки Можливо її необхідно доповнити переписати або вікіфікув

Потенціальне векторне поле

Ця стаття потребує істотної переробки. Можливо, її необхідно доповнити, переписати або вікіфікувати. Пояснення причин та обговорення — на сторінці Вікіпедія: Статті, що необхідно поліпшити.
Тому, хто додав шаблон: зважте на те, щоб повідомити основних авторів статті про необхідність поліпшення, додавши до їхньої сторінки обговорення такий текст:
{{subst:поліпшити автору|Потенціальне векторне поле|6 липня 2021}} ~~~~,
а також не забудьте описати причину номінації на підсторінці Вікіпедія:Статті, що необхідно поліпшити за відповідний день.

Потенціальне ве́кторне по́ле, у математиці — векторне поле, яке можна представити як градієнт деякої скалярної функції координат (потенціалу). Необхідною і достатньою умовою потенційності векторного поля є рівність нулю ротора поля.

У фізиці, що має справу з силовими полями, математичну умову потенційності силового поля можна представити як вимогу рівності нулю роботи при переміщенні частинки, на яку діє поле, по замкнутому контуру. Як потенціал поля в цьому випадку можна вибрати роботу з переміщення пробної частинки з деякої довільно вибраної початкової точки в задану точку (за означенням, ця робота не залежить від шляху переміщення). Наприклад, потенційними є статичне електричне поле, а також гравітаційне поле в ньютоновій теорії гравітації.

Нехай у -вимірному многовиді (можна навіть з ненульовою внутрішньою кривиною) задана система координат і потенціальне векторне поле з коваріантними координатами , яке представляється градієнтом скалярного потенціалу :

Покажемо, що необхідною і достатньою умовою потенційності є рівність нулю ротора поля:

Необхідність Редагувати

Якщо поле потенціальне, тобто виконується рівність (1), то при підстановці (1) в (2) одержуємо:

Але остання різниця дорівнює нулю в силу рівності мішаних похідних.

Достатність Редагувати

Нехай тепер у нас задано таке векторне поле, що його ротор скрізь дорівнює нулю, тобто справедлива рівність (2). Спробуємо побудувати для цього векторного поля такий скаляр , щоб виконувалась рівність (1).

Почнемо з розгляду властивості криволінійних інтегралів. Нехай ми маємо у многовиді криву , яка сполучає дві фіксовані точки і . Криволінійний інтеграл є функціоналом від кривої :

Обчислення варіації цього функціонала, проведені в статті Теорема Стокса дають:

Оскільки ротор за умовою скрізь дорівнює нулю, то і варіація функціонала (3) теж дорівнює нулю — отже цей функціонал є константою, яка на залежить від кривої (при фіксованих кінцях кривої і ). Отже криволінійний інтеграл (3) є просто функцією від двох точок — кінців кривої :

Зафіксуємо одну із точок многовиду, нехай для визначеності, це буде початок системи координат , тоді ми матимемо таке скалярне поле:

Нам тепер треба лише показати, що градієнт цього поля дорівнює .
Розглянемо дві близькі точки і . Проведемо з початку координат криву до точки , а потім продовжимо цю криву коротким відрізком , що іде від точки до точки . Продовжена крива сполучає початок координат з точкою . Отже:

і ми можемо записати приріст функції через інтеграл по відрізку:

Розглянемо координати точки . Нехай точка відрізняється від неї лише однією (хай першою) координатою , а решта координат зафіксовані. Тоді в інтегралі (8) (по відрізку вздовж першої координати) буде відмінний від нуля лише диференціал першої координати і ми одержимо простий визначений інтеграл

Поділивши асимптотичну рівність (9) на і переходячи до границі, маємо:

і аналогічно для решти координат. Формулу (1) доведено.

Джерела Редагувати

  • А. Д. Тевяшев, О. Г. Литвин, Г. М. Кривошеєва, Л. В. Обухова, О. Г. Середа [Вища математика у прикладах та задачах.] Частина 2. Інтегральне числення функцій однієї змінної. Диференціальне та інтегральне числення функцій багатьох змінних. Стор. 263. Харків:2002.
  • Академія наук Української РСР. Фізико-математичні та технічні науки. Серія А. Випуски 1—6. Стор. 49-50. Київ:«Наукова думка», 1990.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Cya stattya potrebuye istotnoyi pererobki Mozhlivo yiyi neobhidno dopovniti perepisati abo vikifikuvati Poyasnennya prichin ta obgovorennya na storinci Vikipediya Statti sho neobhidno polipshiti Tomu hto dodav shablon zvazhte na te shob povidomiti osnovnih avtoriv statti pro neobhidnist polipshennya dodavshi do yihnoyi storinki obgovorennya takij tekst subst polipshiti avtoru Potencialne vektorne pole 6 lipnya 2021 a takozh ne zabudte opisati prichinu nominaciyi na pidstorinci Vikipediya Statti sho neobhidno polipshiti za vidpovidnij den Potencialne ve ktorne po le u matematici vektorne pole yake mozhna predstaviti yak gradiyent deyakoyi skalyarnoyi funkciyi koordinat potencialu Neobhidnoyu i dostatnoyu umovoyu potencijnosti vektornogo polya ye rivnist nulyu rotora polya U fizici sho maye spravu z silovimi polyami matematichnu umovu potencijnosti silovogo polya mozhna predstaviti yak vimogu rivnosti nulyu roboti pri peremishenni chastinki na yaku diye pole po zamknutomu konturu Yak potencial polya v comu vipadku mozhna vibrati robotu z peremishennya probnoyi chastinki z deyakoyi dovilno vibranoyi pochatkovoyi tochki v zadanu tochku za oznachennyam cya robota ne zalezhit vid shlyahu peremishennya Napriklad potencijnimi ye statichne elektrichne pole a takozh gravitacijne pole v nyutonovij teoriyi gravitaciyi Nehaj u n displaystyle n vimirnomu mnogovidi mozhna navit z nenulovoyu vnutrishnoyu krivinoyu zadana sistema koordinat u 1 u 2 u n displaystyle u 1 u 2 dots u n i potencialne vektorne pole a displaystyle mathbf a z kovariantnimi koordinatami a i displaystyle a i yake predstavlyayetsya gradiyentom skalyarnogo potencialu ϕ ϕ u 1 u 2 u n displaystyle phi phi u 1 u 2 dots u n 1 a i i ϕ ϕ u i displaystyle 1 qquad a i nabla i phi partial phi over partial u i Pokazhemo sho neobhidnoyu i dostatnoyu umovoyu potencijnosti ye rivnist nulyu rotora polya 2 rot a i j i a j j a i 0 displaystyle 2 qquad text rot mathbf a ij nabla i a j nabla j a i 0 Neobhidnist RedaguvatiYaksho pole a displaystyle mathbf a nbsp potencialne tobto vikonuyetsya rivnist 1 to pri pidstanovci 1 v 2 oderzhuyemo 2 rot a i j i a j G i j k a k j a i G j i k a k i a j j a i 2 ϕ u i u j 2 ϕ u j u i displaystyle 2 qquad text rot mathbf a ij partial i a j Gamma ij k a k partial j a i Gamma ji k a k partial i a j partial j a i partial 2 phi over partial u i partial u j partial 2 phi over partial u j partial u i nbsp Ale ostannya riznicya dorivnyuye nulyu v silu rivnosti mishanih pohidnih Dostatnist RedaguvatiNehaj teper u nas zadano take vektorne pole sho jogo rotor skriz dorivnyuye nulyu tobto spravedliva rivnist 2 Sprobuyemo pobuduvati dlya cogo vektornogo polya takij skalyar ϕ displaystyle phi nbsp shob vikonuvalas rivnist 1 Pochnemo z rozglyadu vlastivosti krivolinijnih integraliv Nehaj mi mayemo u mnogovidi krivu L displaystyle L nbsp yaka spoluchaye dvi fiksovani tochki P displaystyle P nbsp i Q displaystyle Q nbsp Krivolinijnij integral F displaystyle Phi nbsp ye funkcionalom vid krivoyi L displaystyle L nbsp 3 F F L L a i d u i displaystyle 3 qquad Phi Phi L int L a i du i nbsp Obchislennya variaciyi cogo funkcionala provedeni v statti Teorema Stoksa dayut 4 d F i lt j rot a j i d s i j 0 displaystyle 4 qquad delta Phi int sum i lt j text rot mathbf a ji d sigma ij 0 nbsp Oskilki rotor za umovoyu skriz dorivnyuye nulyu to i variaciya funkcionala 3 tezh dorivnyuye nulyu otzhe cej funkcional ye konstantoyu yaka na zalezhit vid krivoyi pri fiksovanih kincyah krivoyi P displaystyle P nbsp i Q displaystyle Q nbsp Otzhe krivolinijnij integral 3 ye prosto funkciyeyu vid dvoh tochok kinciv krivoyi L displaystyle L nbsp 5 F F P Q displaystyle 5 qquad Phi Phi P Q nbsp Zafiksuyemo odnu iz tochok mnogovidu nehaj dlya viznachenosti ce bude pochatok sistemi koordinat O displaystyle O nbsp todi mi matimemo take skalyarne pole 6 ϕ ϕ P F O P displaystyle 6 qquad phi phi P Phi O P nbsp Nam teper treba lishe pokazati sho gradiyent cogo polya dorivnyuye a displaystyle mathbf a nbsp Rozglyanemo dvi blizki tochki P displaystyle P nbsp i P displaystyle tilde P nbsp Provedemo z pochatku koordinat krivu L displaystyle L nbsp do tochki P displaystyle P nbsp a potim prodovzhimo cyu krivu korotkim vidrizkom D L displaystyle Delta L nbsp sho ide vid tochki P displaystyle P nbsp do tochki P displaystyle P nbsp Prodovzhena kriva L L D L displaystyle tilde L L Delta L nbsp spoluchaye pochatok koordinat z tochkoyu P displaystyle tilde P nbsp Otzhe 7 ϕ P F O P F P P ϕ P D L a i d u i displaystyle 7 qquad phi tilde P Phi O P Phi P tilde P phi P int Delta L a i du i nbsp i mi mozhemo zapisati pririst funkciyi ϕ displaystyle phi nbsp cherez integral po vidrizku 8 D ϕ D L i 1 n a i d u i displaystyle 8 qquad Delta phi int Delta L sum i 1 n a i du i nbsp Rozglyanemo koordinati tochki P u 1 u 2 u n displaystyle P u 1 u 2 dots u n nbsp Nehaj tochka P displaystyle tilde P nbsp vidriznyayetsya vid neyi lishe odniyeyu haj pershoyu koordinatoyu P u 1 D u 1 u 2 u n displaystyle tilde P u 1 Delta u 1 u 2 dots u n nbsp a reshta koordinat zafiksovani Todi v integrali 8 po vidrizku vzdovzh pershoyi koordinati bude vidminnij vid nulya lishe diferencial pershoyi koordinati d u 1 displaystyle du 1 nbsp i mi oderzhimo prostij viznachenij integral 9 D ϕ u 1 u 1 D u 1 a 1 d u 1 a 1 D u 1 displaystyle 9 qquad Delta phi int u 1 u 1 Delta u 1 a 1 du 1 approx a 1 Delta u 1 nbsp Podilivshi asimptotichnu rivnist 9 na D u 1 displaystyle Delta u 1 nbsp i perehodyachi do granici mayemo 10 ϕ u 1 a 1 displaystyle 10 qquad partial phi over partial u 1 a 1 nbsp i analogichno dlya reshti koordinat Formulu 1 dovedeno Dzherela RedaguvatiA D Tevyashev O G Litvin G M Krivosheyeva L V Obuhova O G Sereda Visha matematika u prikladah ta zadachah Chastina 2 Integralne chislennya funkcij odniyeyi zminnoyi Diferencialne ta integralne chislennya funkcij bagatoh zminnih Stor 263 Harkiv 2002 Akademiya nauk Ukrayinskoyi RSR Fiziko matematichni ta tehnichni nauki Seriya A Vipuski 1 6 Stor 49 50 Kiyiv Naukova dumka 1990 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Potencialne vektorne pole amp oldid 37765107