Суттєво особлива точка

Суттєво особливою точкою аналітичної функції називається ізольована особлива точка комплексної площини, в якій не існує ані кінцевої, ані нескінченної границі при для функції, однозначної та аналітичної в деякому проколотому околі цієї точки. Приклади: точка z = 0 є суттєво особливою точкою для функцій тощо. В околі суттєво особливої точки функція може бути розкладена в ряд Лорана

Графік функції exp(1/z), довкола суттєво особливої точки z=0. Колір показує комплексний аргумент, яскравість представляє абсолютну величину. Графік показує, як при наближенні до суттєво особливої точки з різних напрямків отримуємо різну поведінку (на відміну від полюсу, оточеного однорідно білим

причому серед коефіцієнтів головної частини нескінченно багато відмінних від нуля. Ця властивість часто використовується для визначення суттєво особливої точки.

Про поведінку функції в околі суттєво особливої точки дозволяє судити теорема Сохоцького — Вейєрштраса. Узагальненням цієї теореми служить велика теорема Пікара: у всякому околі суттєво особливої точки аналітична функція приймає будь-яке комплексне значення, крім, можливо, одного. Остання теорема, у свою чергу, має низку узагальнень і уточнень.

У деяких відділах теорії аналітичних функцій під суттєво особливою точкою розуміють також особливі точки складнішої природи.

Література

• Маркушевич А. И., Теория. аналитических функций, 2 изд., т. 1-2, М., 1967-68;
• Неванлинна Р., Однозначные аналитические функции, пер. с нем., М.- Л., 1941.