www.wikidata.uk-ua.nina.az

Норма математика У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна норма Нор ма це функція що задана на лінійному про

Норма (математика)

У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна: норма.

Нор́ма — це функція, що задана на лінійному просторі і є узагальненням поняття довжини вектора.

Простір із заданою на ньому нормою називається нормованим простором.

Означення норми ред.

Нормою у векторному просторі над полем називають відображення що задовольняє наступним умовам:

  1. тільки при (невід'ємність)
  2. де  — скаляр (однорідність)
  3. (нерівність трикутника)

Ці умови також відомі як аксіоми норми.

Властивості ред.

За допомогою норми векторний простір одержує структуру метричного і топологічного нормованого векторного простору. А саме, відстань Зазначимо, що для будь-яких виконується метрики на векторному просторі з такою властивостю називаються трансляційно інваріантними. Найважливійший спеціальний випадок — це коли метричний простір є повним відносно метрики означеної нормою, тобто коли  — повний нормований лінійний простір, або банахів простір.

Геометричний зміст норми ред.

З геометричної точки зору, задання норми на  — це те й саме, що і задання її одиничної кулі тобто множини всіх векторів, довжина яких не перевищує одиниці. Одинична куля норми — це випукла підмножина векторного простору що містить нульовий вектор серед своїх внутрішніх точок.

Приклади ред.

Евклідова норма ред.

Нехай  — це -вимірний координатний векторний простір. Евклідова норма на визначається за формулою де  — це стандартний скалярний добуток на Перші дві аксіоми норми майже очевидні. Щодо третьої аксіоми, то вона випливає з нерівності Коші-Буняковського у Одинична куля цієї норми — це звичайна одинична куля.

Супремум норма ред.

Нехай але цього разу визначимо норму за формулою (це так звана sup норма). Всі три аксіоми норми легко перевіряються. У цьому випадку, одинична куля норми являє собою одиничний куб що складається із тих векторів, всі координати яких містяться між і

Манхетенська норма ред.

Нехай але цього разу визначимо норму за формулою Як і в попередньому прикладі, аксіоми норми легко перевіряються. Одинична куля цієї норми — це узагальнений октаедр, що є правильним політопом -вимірного простору полярним до -вимірного куба.

Еквівалентність норм ред.

Нехай  — дві норми визначені на одному і тому ж просторі . Якщо існує таке дійсне що для будь-якого то норма називається підпорядкованою нормі Якщо водночас і норма підпорядкована нормі , то такі дві норми називаються еквівалентними.

Джерела ред.


В іншому мовному розділі є повніша стаття Norm (mathematics)(англ.). Ви можете допомогти, розширивши поточну статтю за допомогою перекладу з англійської. (січень 2018)
  • Дивитись автоперекладену версію статті з мови «англійська».
  • Перекладач повинен розуміти, що відповідальність за кінцевий вміст статті у Вікіпедії несе саме автор редагувань. Онлайн-переклад надається лише як корисний інструмент перегляду вмісту зрозумілою мовою. Не використовуйте невичитаний і невідкоригований машинний переклад у статтях української Вікіпедії!
  • Машинний переклад Google є корисною відправною точкою для перекладу, але перекладачам необхідно виправляти помилки та підтверджувати точність перекладу, а не просто скопіювати машинний переклад до української Вікіпедії.
  • Не перекладайте текст, який видається недостовірним або неякісним. Якщо можливо, перевірте текст за посиланнями, поданими в іншомовній статті.
  • Докладні рекомендації: див. Вікіпедія:Переклад.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
U Vikipediyi ye statti pro inshi znachennya cogo termina norma Nor ma ce funkciya sho zadana na linijnomu prostori i ye uzagalnennyam ponyattya dovzhini vektora Prostir iz zadanoyu na nomu normoyu nazivayetsya normovanim prostorom Zmist 1 Oznachennya normi 2 Vlastivosti 2 1 Geometrichnij zmist normi 3 Prikladi 3 1 Evklidova norma 3 2 Supremum norma 3 3 Manhetenska norma 4 Ekvivalentnist norm 5 DzherelaOznachennya normi red Normoyu u vektornomu prostori V displaystyle V nbsp nad polem K displaystyle mathbb K nbsp nazivayut vidobrazhennya V R displaystyle cdot V rightarrow mathbb R nbsp sho zadovolnyaye nastupnim umovam v 0 v 0 displaystyle v geq 0 quad v 0 nbsp tilki pri v 0 displaystyle v vec 0 nbsp nevid yemnist r v r v displaystyle rv r v quad nbsp de r K displaystyle r in mathbb K nbsp skalyar odnoridnist u v u v u v V displaystyle u v leq u v quad forall u v in V nbsp nerivnist trikutnika Ci umovi takozh vidomi yak aksiomi normi Vlastivosti red Za dopomogoyu normi displaystyle cdot nbsp vektornij prostir V displaystyle V nbsp oderzhuye strukturu metrichnogo i topologichnogo normovanogo vektornogo prostoru A same vidstan d u v u v displaystyle d u v u v nbsp Zaznachimo sho dlya bud yakih u v w V displaystyle u v w in V nbsp vikonuyetsya d u w v w d u v displaystyle d u w v w d u v nbsp metriki na vektornomu prostori V displaystyle V nbsp z takoyu vlastivostyu nazivayutsya translyacijno invariantnimi Najvazhlivijshij specialnij vipadok ce koli metrichnij prostir V displaystyle V nbsp ye povnim vidnosno metriki oznachenoyi normoyu tobto koli V displaystyle V nbsp povnij normovanij linijnij prostir abo banahiv prostir Geometrichnij zmist normi red Z geometrichnoyi tochki zoru zadannya normi na V displaystyle V nbsp ce te j same sho i zadannya yiyi odinichnoyi kuli B 0 1 v V v 1 displaystyle B 0 1 v in V v leq 1 nbsp tobto mnozhini vsih vektoriv dovzhina yakih ne perevishuye odinici Odinichna kulya normi ce vipukla pidmnozhina vektornogo prostoru V displaystyle V nbsp sho mistit nulovij vektor 0 displaystyle vec 0 nbsp sered svoyih vnutrishnih tochok Prikladi red Evklidova norma red Dokladnishe Evklidova normaNehaj V R n displaystyle V mathbb R n nbsp ce n displaystyle n nbsp vimirnij koordinatnij vektornij prostir Evklidova norma na V displaystyle V nbsp viznachayetsya za formuloyu u u u displaystyle u sqrt u u nbsp de u v i 1 n u i v i displaystyle u v sum i 1 n u i v i nbsp ce standartnij skalyarnij dobutok na R n displaystyle mathbb R n nbsp Pershi dvi aksiomi normi majzhe ochevidni Shodo tretoyi aksiomi to vona viplivaye z nerivnosti Koshi Bunyakovskogo u R n displaystyle mathbb R n nbsp Odinichna kulya ciyeyi normi ce zvichajna odinichna kulya Supremum norma red Nehaj V R n displaystyle V mathbb R n nbsp ale cogo razu viznachimo normu za formuloyu u sup i 1 n u i displaystyle u operatorname sup i 1 n u i nbsp ce tak zvana sup norma Vsi tri aksiomi normi legko pereviryayutsya U comu vipadku odinichna kulya normi yavlyaye soboyu odinichnij kub u R n u i 1 1 i n displaystyle u in mathbb R n u i leq 1 1 leq i leq n nbsp sho skladayetsya iz tih vektoriv vsi koordinati yakih mistyatsya mizh 1 displaystyle 1 nbsp i 1 displaystyle 1 nbsp Manhetenska norma red Nehaj V R n displaystyle V mathbb R n nbsp ale cogo razu viznachimo normu za formuloyu u i 1 n u i displaystyle u sum i 1 n u i nbsp Yak i v poperednomu prikladi aksiomi normi legko pereviryayutsya Odinichna kulya ciyeyi normi ce uzagalnenij oktaedr sho ye pravilnim politopom n displaystyle n nbsp vimirnogo prostoru polyarnim do n displaystyle n nbsp vimirnogo kuba Ekvivalentnist norm red Nehaj 1 2 displaystyle cdot 1 cdot 2 nbsp dvi normi viznacheni na odnomu i tomu zh prostori V displaystyle V nbsp Yaksho isnuye take dijsne C gt 0 displaystyle C gt 0 nbsp sho v 1 C v 2 displaystyle v 1 leq C v 2 nbsp dlya bud yakogo v V displaystyle v in V nbsp to norma 1 displaystyle cdot 1 nbsp nazivayetsya pidporyadkovanoyu normi 2 displaystyle cdot 2 nbsp Yaksho vodnochas i norma 2 displaystyle cdot 2 nbsp pidporyadkovana normi 1 displaystyle cdot 1 nbsp to taki dvi normi nazivayutsya ekvivalentnimi Dzherela red Kolmogorov A N Fomin S V Elementy teorii funkcij i funkcionalnogo analiza 4 e izd Moskva Nauka 1976 544 s ISBN 5 9221 0266 4 ros Berezanskij Yu M Us G F Sheftel Z G Funkcionalnyj analiz kurs lekcij K Visha shkola 1990 600 s ros V inshomu movnomu rozdili ye povnisha stattya Norm mathematics angl Vi mozhete dopomogti rozshirivshi potochnu stattyu za dopomogoyu perekladu z anglijskoyi sichen 2018 Divitis avtoperekladenu versiyu statti z movi anglijska Perekladach povinen rozumiti sho vidpovidalnist za kincevij vmist statti u Vikipediyi nese same avtor redaguvan Onlajn pereklad nadayetsya lishe yak korisnij instrument pereglyadu vmistu zrozumiloyu movoyu Ne vikoristovujte nevichitanij i nevidkorigovanij mashinnij pereklad u stattyah ukrayinskoyi Vikipediyi Mashinnij pereklad Google ye korisnoyu vidpravnoyu tochkoyu dlya perekladu ale perekladacham neobhidno vipravlyati pomilki ta pidtverdzhuvati tochnist perekladu a ne prosto skopiyuvati mashinnij pereklad do ukrayinskoyi Vikipediyi Ne perekladajte tekst yakij vidayetsya nedostovirnim abo neyakisnim Yaksho mozhlivo perevirte tekst za posilannyami podanimi v inshomovnij statti Dokladni rekomendaciyi div Vikipediya Pereklad Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Norma matematika amp oldid 33971288