www.wikidata.uk-ua.nina.az

Барицентричні координати координати точки n displaystyle n вимірного афінного простору A n displaystyle A n віднесені до

Барицентричні координати

Барицентричні координати — координати точки -вимірного афінного простору , віднесені до деякої фіксованої системи з -ї точки , що належать -вимірному підпросторі. Барицентричні координати введені Мебіусом 1827 році.

Нехай є довільна точка в . Кожна точка може бути єдиним чином визначена у вигляді суми (афінної комбінації)

де  — дійсні числа, що задовольняють умові

Числа називаються барицентричними координатами точки . Легко бачити, що барицентричні координати не залежать від вибору .

Точка , є центром тяжіння мас , розташованих в точках .

Властивості Редагувати

  • Барицентричні координати є афінними інваріантами тобто не змінюються при афінних перетвореннях.
  • Барицентричні координати точок симплекса з вершинами в невід'ємні та їх сума дорівнює одиниці.
  • Перетворення на нуль барицентричної координати рівносильно тому, що точка лежить на гіперплощині, що містить грань симплекса, протилежну вершині .

Узагальнені барицентричні координати Редагувати

Барицентричні координати (a1, ..., an) які визначено щодо політопа замість симплекса називаються узагальнені барицентричні координати. Для них, все ще мусить виконуватись рівняння

де x1, ..., xn це вершини заданого політопа. Отже,означення формально те саме, але тоді як симплекс з n вершинами має бути в просторі вимірності не менш ніж n-1, політоп можна вкласти у векторний простір з меншою вимірністю. Найпростіший приклад це чотирикутник на площині. Як наслідок, навіть нормалізовані узагальнені барицентричні координати (тобто коли коефіцієнтів дорівнює 1) не завжди унікально визначені, тоді як нормалізовані барицентричні координати щодо симплекса завжди.

Застосування Редагувати

Узагальнені барицентричні координати застосовуються в комп'ютерній графіці, конкретніше в геометричному моделюванні. Часто, тривимірну модель можна апроксимувати багатогранником так, що барицентричні координати щодо цього багатогранника мають геометричний сенс. Таким чином, оброблення моделі можна спростити використовуючи ці змістовні координати.

Див. також Редагувати

Джерела Редагувати

  • Александров П. С., Комбинаторная топология, М. — Л., 1947
  • Понтрягин Л. С., Основы комбинаторной топологии, М. — Л., 1947,
  • Bradley, Christopher J. (2007). The Algebra of Geometry: Cartesian, Areal and Projective Co-ordinates. Bath: Highperception. ISBN 978-1-906338-00-8. 
  • Weisstein, Eric W. Areal Coordinates(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
  • Weisstein, Eric W. Barycentric Coordinates(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Baricentrichni koordinati koordinati tochki n displaystyle n vimirnogo afinnogo prostoru A n displaystyle A n vidneseni do deyakoyi fiksovanoyi sistemi z n 1 displaystyle n 1 yi tochki p 0 p 1 p n displaystyle p 0 p 1 ldots p n sho nalezhat n 1 displaystyle n 1 vimirnomu pidprostori Baricentrichni koordinati vvedeni Mebiusom 1827 roci Nehaj z displaystyle z ye dovilna tochka v A n displaystyle A n Kozhna tochka x A n displaystyle x in A n mozhe buti yedinim chinom viznachena u viglyadi sumi afinnoyi kombinaciyi x z a 1 z p 1 a 2 z p 2 a n z p n displaystyle x z alpha 1 cdot vec zp 1 alpha 2 cdot vec zp 2 ldots alpha n cdot vec zp n de a 1 a 2 a n displaystyle alpha 1 alpha 2 ldots alpha n dijsni chisla sho zadovolnyayut umovi a 1 a 2 a n 1 displaystyle alpha 1 alpha 2 ldots alpha n 1 Chisla a 1 a 2 a n displaystyle alpha 1 alpha 2 ldots alpha n nazivayutsya baricentrichnimi koordinatami tochki x displaystyle x Legko bachiti sho baricentrichni koordinati ne zalezhat vid viboru z displaystyle z Tochka x displaystyle x ye centrom tyazhinnya mas a 1 a 2 a n displaystyle alpha 1 alpha 2 ldots alpha n roztashovanih v tochkah p 1 p 2 p n displaystyle p 1 p 2 ldots p n Zmist 1 Vlastivosti 2 Uzagalneni baricentrichni koordinati 2 1 Zastosuvannya 3 Div takozh 4 DzherelaVlastivosti RedaguvatiBaricentrichni koordinati ye afinnimi invariantami tobto ne zminyuyutsya pri afinnih peretvorennyah Baricentrichni koordinati tochok simpleksa z vershinami v p 1 p 2 p n displaystyle p 1 p 2 ldots p n nbsp nevid yemni ta yih suma dorivnyuye odinici Peretvorennya na nul baricentrichnoyi koordinati a i displaystyle alpha i nbsp rivnosilno tomu sho tochka lezhit na giperploshini sho mistit gran simpleksa protilezhnu vershini p i displaystyle p i nbsp Uzagalneni baricentrichni koordinati RedaguvatiBaricentrichni koordinati a1 an yaki viznacheno shodo politopa zamist simpleksa nazivayutsya uzagalneni baricentrichni koordinati Dlya nih vse she musit vikonuvatis rivnyannya a 1 a n p a 1 x 1 a n x n displaystyle a 1 cdots a n p a 1 x 1 cdots a n x n nbsp de x1 xn ce vershini zadanogo politopa Otzhe oznachennya formalno te same ale todi yak simpleks z n vershinami maye buti v prostori vimirnosti ne mensh nizh n 1 politop mozhna vklasti u vektornij prostir z menshoyu vimirnistyu Najprostishij priklad ce chotirikutnik na ploshini Yak naslidok navit normalizovani uzagalneni baricentrichni koordinati tobto koli koeficiyentiv dorivnyuye 1 ne zavzhdi unikalno viznacheni todi yak normalizovani baricentrichni koordinati shodo simpleksa zavzhdi Zastosuvannya Redaguvati Uzagalneni baricentrichni koordinati zastosovuyutsya v komp yuternij grafici konkretnishe v geometrichnomu modelyuvanni Chasto trivimirnu model mozhna aproksimuvati bagatogrannikom tak sho baricentrichni koordinati shodo cogo bagatogrannika mayut geometrichnij sens Takim chinom obroblennya modeli mozhna sprostiti vikoristovuyuchi ci zmistovni koordinati Div takozh RedaguvatiAfinna kombinaciyaDzherela RedaguvatiAleksandrov P S Kombinatornaya topologiya M L 1947 Pontryagin L S Osnovy kombinatornoj topologii M L 1947 Bradley Christopher J 2007 The Algebra of Geometry Cartesian Areal and Projective Co ordinates Bath Highperception ISBN 978 1 906338 00 8 Weisstein Eric W Areal Coordinates angl na sajti Wolfram MathWorld Weisstein Eric W Barycentric Coordinates angl na sajti Wolfram MathWorld Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Baricentrichni koordinati amp oldid 37529959