www.wikidata.uk-ua.nina.az

Афінна геометрія Афі нна геоме трія лат affinis споріднений розділ геометрії що вивчає властивості геометричних фігур ін

Афінна геометрія

Афі́нна геоме́трія (лат. affinis — споріднений) — розділ геометрії, що вивчає властивості геометричних фігур, інваріантні (незмінні) відносно афінних перетворень, тобто таких взаємно однозначних точкових відображень евклідової площини на евклідову площину або евклідового простору на самого себе, при яких прямі переходять у прямі. Афінне перетворення зберігає величину відношення двох відрізків прямої, паралельність прямих і площин.

У декартових координатах афінне перетворення площини в себе виражається формулами:

  • х' = а1х + b1y + с1
  • у' = а2х + b2у + с2

причому a1b2 — a2b1 ≠ 0.

Тут х, у — координати довільної точки М; х', у' — координати її образу.

Афінні перетворення, а значить і афінна геометрія, широко застосовуються в геометрії і прикладних науках (теорія пружності та ін.).


Історія Редагувати

У 1748 році Ейлер ввів термін «афінний»(лат. affinis ‘зв'язний’).Властивості геометричних фігур, які переходять одна в одну при афінних перетвореннях, вивчалися А. Ф. Мебіусом в першій половині XIX століття: у 1827 році вийшла його книга «Барицентричне обчислення».

Після Ерлангенської програми Фелікса Кляйна, афінна геометрія була визнана як узагальнення Евклідової геометрії.

У 1912 році Б. Е. Вільсон і Гілберт Ньютон Льюїс розробили афінну геометрію для вираження спеціальної теорії відносності.

У 1984 році «афінні площини, пов'язані з Лоренцевим векторним простором L2» були описані Г. Бірманом і Кацумі Номідзу у статті під назвою «Тригонометрія в геометрії Лоренца».

Аксіоми Редагувати

Були висунуті кілька аксіоматичних підходів до афінної геометрії:

Закон Паппа Редагувати

Закон Паппа: якщо червоні прямі паралельні і сині прямі паралельні, то пунктирні чорні прямі повинні бути паралельні.

Оскільки афінна геометрія має справу з паралельними прямими, одна з властивостей паралельних прямих, зазначених Паппа Олександрівським, була прийнята як передумова:

  • Якщо знаходяться на одній прямій, а на інший, то

Повна система аксіом передбачає точку, пряму і пряму, що містить точку; примітивні поняття:

  • Дві точки лежать на одній прямій.
  • Для будь-якої прямої L і будь-якої точки p, яка не належить L, є тільки одна пряма, що містить p і не містить жодної точки прямої L. Ця пряма називається паралельною до прямої L.
  • Кожна пряма містить принаймні дві точки.
  • Існують принаймні три точки, які не належать одній прямій.

Згідно Г. С. М. Коксетера: Цікавість цих п'яти аксіом посилюється тим, що вони можуть бути поширені на величезну кількість тверджень, проведених не тільки в Евклідовій геометрії, але і в геометрії Мінковського простору і часу (у простому випадку 1 + 1 вимірах, в той час як спеціальна теорія відносності вимагає 1 + 3)Розширення геометрії Евкліда або Мінковського досягається шляхом додавання різних додаткових аксіом ортогональності тощо.

Різні типи афінної геометрії відповідають тому, що інтерпретація береться для обертання. Геометрія Евкліда відповідає звичайній ідеї обертання, в той час як геометрія Мінковського відповідає гіперболічному оберту. Що стосується перпендикулярних ліній, вони залишаються перпендикулярними, якщо площина піддається звичайному обертанню. У геометрії Мінковського, лінії, які є гіперболічно-ортогональними залишаться в цьому відношенні, якщо площина піддається гіперболічному обертанню.

Впорядкована структура Редагувати

Аксіоматика афінної геометрії може бути побудована з аксіом впорядкованої геометрії шляхом додавання двох додаткових аксіом:

  1. (Афінна аксіома паралельності) дана точка A і пряма r, яка не проходить через точку А, існує не більше однієї прямої, яка проходить через точку А, що не задовольняє прямій r.
  2. (Теорема Дезарга) дано сім різних точок A, A', B, B', C, C', O, таких що AA', BB', та CC' відмінні прямі, які проходять через точку O та AB паралельна A'B' та BC паралельна B'C', тоді AC паралельна A'C'.

Афінне поняття паралельності утворює відношення еквівалентності для прямих. Так як аксіоми впорядкованої геометрії, представленої тут, включають в себе властивості, які передбачають структуру дійсних чисел, ці властивості переносяться, так що це аксіоматизація афінної геометрії над полем дійсних чисел.

Афінні перетворення Редагувати

Геометрично, афінне перетворення (спорідненості) зберігає колінеарність: так воно перетворить паралельні прямі в паралельні прямі і збереже відношення відстаней уздовж паралельних прямих.

Ми визначаємо, як афінну теорему будь-який геометричний результат, який інваріантний щодо афінної групи (в Ерлангенській програмі Фелікса Кляйна, це його основна група перетворень симетрії для афінної геометрії). Розглянемо в лінійному просторі V, загальну лінійну групу GL(V).Це не вся афінна група, тому що ми повинні дозволити також перетворення вектора v із V. (Подібне перетворення карти будь-якого w із V в w + v.) Афінна група породжена загальною лінійною групою, а перетворення і справді їх напівпрямий добуток .

Наприклад, теореми з планіметрії про збіг прямих в трикутнику, що з'єднують кожну вершину з серединою протилежної сторони (у центр ваги або барицентр) залежать від поняття медіани і центра ваги як афінних інваріантів. Інші приклади теорем Чеви і Менелая.

Афінні інваріанти також можуть допомогти в обчисленні. Наприклад, прямі, які ділять площину трикутника на дві рівні частини, утворюють обгортку всередині трикутника. Відношення площі обгортки до площі трикутника є афінним інваріантом, і тому необхідно обчислювати простий випадок, такий як, одиничний рівнобедрений прямокутний трикутник дає тобто 0.019860… або менше, ніж 2 %, для всіх трикутників. Знайомі формули, такі як: половина добутку основи на висоту — площа трикутника, або одна третя частина основи на висоту — об'єм піраміди, також афінні інваріанти. Остання є менш очевидною, ніж перша, в загальному випадку легко бачити, для однієї шостої частини одиничного куба, утвореного гранню (площа 1) і середньою точкою куба (висота 1/2). Отже, вона вірна для всіх пірамід, навіть для косих, вершина яких знаходиться не прямо над центром основи, і з основою паралелограм замість квадрата. Формула надалі узагальнюється на піраміди, основа яких може бути поділена на паралелограми, дозволяючи нескінченно багато паралелограмів (з урахуванням конвергенції). Такий же підхід показує, що чотиривимірна піраміда має об'єм 4D — одна чверть добутку 3D-об'єму основи її паралелепіпеда на висоту, і так далі для більш високих розмірностей.

Джерела інформації Редагувати

Див. також Редагувати

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Afi nna geome triya lat affinis sporidnenij rozdil geometriyi sho vivchaye vlastivosti geometrichnih figur invariantni nezminni vidnosno afinnih peretvoren tobto takih vzayemno odnoznachnih tochkovih vidobrazhen evklidovoyi ploshini na evklidovu ploshinu abo evklidovogo prostoru na samogo sebe pri yakih pryami perehodyat u pryami Afinne peretvorennya zberigaye velichinu vidnoshennya dvoh vidrizkiv pryamoyi paralelnist pryamih i ploshin U dekartovih koordinatah afinne peretvorennya ploshini v sebe virazhayetsya formulami h a1h b1y s1 u a2h b2u s2prichomu a1b2 a2b1 0 Tut h u koordinati dovilnoyi tochki M h u koordinati yiyi obrazu Afinni peretvorennya a znachit i afinna geometriya shiroko zastosovuyutsya v geometriyi i prikladnih naukah teoriya pruzhnosti ta in Zmist 1 Istoriya 2 Aksiomi 2 1 Zakon Pappa 2 2 Vporyadkovana struktura 3 Afinni peretvorennya 4 Dzherela informaciyi 5 Div takozhIstoriya RedaguvatiU 1748 roci Ejler vviv termin afinnij lat affinis zv yaznij Vlastivosti geometrichnih figur yaki perehodyat odna v odnu pri afinnih peretvorennyah vivchalisya A F Mebiusom v pershij polovini XIX stolittya u 1827 roci vijshla jogo kniga Baricentrichne obchislennya Pislya Erlangenskoyi programi Feliksa Klyajna afinna geometriya bula viznana yak uzagalnennya Evklidovoyi geometriyi U 1912 roci B E Vilson i Gilbert Nyuton Lyuyis rozrobili afinnu geometriyu dlya virazhennya specialnoyi teoriyi vidnosnosti U 1984 roci afinni ploshini pov yazani z Lorencevim vektornim prostorom L2 buli opisani G Birmanom i Kacumi Nomidzu u statti pid nazvoyu Trigonometriya v geometriyi Lorenca Aksiomi RedaguvatiBuli visunuti kilka aksiomatichnih pidhodiv do afinnoyi geometriyi Zakon Pappa Redaguvati nbsp Zakon Pappa yaksho chervoni pryami paralelni i sini pryami paralelni to punktirni chorni pryami povinni buti paralelni Oskilki afinna geometriya maye spravu z paralelnimi pryamimi odna z vlastivostej paralelnih pryamih zaznachenih Pappa Oleksandrivskim bula prijnyata yak peredumova Yaksho A B C displaystyle A B C nbsp znahodyatsya na odnij pryamij a A B C displaystyle A B C nbsp na inshij to A B A B B C B C C A C A displaystyle AB parallel A B land BC parallel B C Rightarrow CA parallel C A nbsp Povna sistema aksiom peredbachaye tochku pryamu i pryamu sho mistit tochku primitivni ponyattya Dvi tochki lezhat na odnij pryamij Dlya bud yakoyi pryamoyi L i bud yakoyi tochki p yaka ne nalezhit L ye tilki odna pryama sho mistit p i ne mistit zhodnoyi tochki pryamoyi L Cya pryama nazivayetsya paralelnoyu do pryamoyi L Kozhna pryama mistit prinajmni dvi tochki Isnuyut prinajmni tri tochki yaki ne nalezhat odnij pryamij Zgidno G S M Koksetera Cikavist cih p yati aksiom posilyuyetsya tim sho voni mozhut buti poshireni na velicheznu kilkist tverdzhen provedenih ne tilki v Evklidovij geometriyi ale i v geometriyi Minkovskogo prostoru i chasu u prostomu vipadku 1 1 vimirah v toj chas yak specialna teoriya vidnosnosti vimagaye 1 3 Rozshirennya geometriyi Evklida abo Minkovskogo dosyagayetsya shlyahom dodavannya riznih dodatkovih aksiom ortogonalnosti tosho Rizni tipi afinnoyi geometriyi vidpovidayut tomu sho interpretaciya beretsya dlya obertannya Geometriya Evklida vidpovidaye zvichajnij ideyi obertannya v toj chas yak geometriya Minkovskogo vidpovidaye giperbolichnomu obertu Sho stosuyetsya perpendikulyarnih linij voni zalishayutsya perpendikulyarnimi yaksho ploshina piddayetsya zvichajnomu obertannyu U geometriyi Minkovskogo liniyi yaki ye giperbolichno ortogonalnimi zalishatsya v comu vidnoshenni yaksho ploshina piddayetsya giperbolichnomu obertannyu Vporyadkovana struktura Redaguvati Aksiomatika afinnoyi geometriyi mozhe buti pobudovana z aksiom vporyadkovanoyi geometriyi shlyahom dodavannya dvoh dodatkovih aksiom Afinna aksioma paralelnosti dana tochka A i pryama r yaka ne prohodit cherez tochku A isnuye ne bilshe odniyeyi pryamoyi yaka prohodit cherez tochku A sho ne zadovolnyaye pryamij r Teorema Dezarga dano sim riznih tochok A A B B C C O takih sho AA BB ta CC vidminni pryami yaki prohodyat cherez tochku O ta AB paralelna A B ta BC paralelna B C todi AC paralelna A C Afinne ponyattya paralelnosti utvoryuye vidnoshennya ekvivalentnosti dlya pryamih Tak yak aksiomi vporyadkovanoyi geometriyi predstavlenoyi tut vklyuchayut v sebe vlastivosti yaki peredbachayut strukturu dijsnih chisel ci vlastivosti perenosyatsya tak sho ce aksiomatizaciya afinnoyi geometriyi nad polem dijsnih chisel Afinni peretvorennya RedaguvatiGeometrichno afinne peretvorennya sporidnenosti zberigaye kolinearnist tak vono peretvorit paralelni pryami v paralelni pryami i zberezhe vidnoshennya vidstanej uzdovzh paralelnih pryamih Mi viznachayemo yak afinnu teoremu bud yakij geometrichnij rezultat yakij invariantnij shodo afinnoyi grupi v Erlangenskij programi Feliksa Klyajna ce jogo osnovna grupa peretvoren simetriyi dlya afinnoyi geometriyi Rozglyanemo v linijnomu prostori V zagalnu linijnu grupu GL V Ce ne vsya afinna grupa tomu sho mi povinni dozvoliti takozh peretvorennya vektora v iz V Podibne peretvorennya karti bud yakogo w iz V v w v Afinna grupa porodzhena zagalnoyu linijnoyu grupoyu a peretvorennya i spravdi yih napivpryamij dobutok V G L V displaystyle V rtimes mathrm GL V nbsp Napriklad teoremi z planimetriyi pro zbig pryamih v trikutniku sho z yednuyut kozhnu vershinu z seredinoyu protilezhnoyi storoni u centr vagi abo baricentr zalezhat vid ponyattya mediani i centra vagi yak afinnih invariantiv Inshi prikladi teorem Chevi i Menelaya Afinni invarianti takozh mozhut dopomogti v obchislenni Napriklad pryami yaki dilyat ploshinu trikutnika na dvi rivni chastini utvoryuyut obgortku vseredini trikutnika Vidnoshennya ploshi obgortki do ploshi trikutnika ye afinnim invariantom i tomu neobhidno obchislyuvati prostij vipadok takij yak odinichnij rivnobedrenij pryamokutnij trikutnik daye 3 4 log e 2 1 2 displaystyle tfrac 3 4 log e 2 tfrac 1 2 nbsp tobto 0 019860 abo menshe nizh 2 dlya vsih trikutnikiv Znajomi formuli taki yak polovina dobutku osnovi na visotu plosha trikutnika abo odna tretya chastina osnovi na visotu ob yem piramidi takozh afinni invarianti Ostannya ye mensh ochevidnoyu nizh persha v zagalnomu vipadku legko bachiti dlya odniyeyi shostoyi chastini odinichnogo kuba utvorenogo grannyu plosha 1 i serednoyu tochkoyu kuba visota 1 2 Otzhe vona virna dlya vsih piramid navit dlya kosih vershina yakih znahoditsya ne pryamo nad centrom osnovi i z osnovoyu paralelogram zamist kvadrata Formula nadali uzagalnyuyetsya na piramidi osnova yakih mozhe buti podilena na paralelogrami dozvolyayuchi neskinchenno bagato paralelogramiv z urahuvannyam konvergenciyi Takij zhe pidhid pokazuye sho chotirivimirna piramida maye ob yem 4D odna chvert dobutku 3D ob yemu osnovi yiyi paralelepipeda na visotu i tak dali dlya bilsh visokih rozmirnostej Dzherela informaciyi RedaguvatiUkrayinska radyanska enciklopediya u 12 t gol red M P Bazhan redkol O K Antonov ta in 2 ge vid K Golovna redakciya URE 1974 1985 Delone B N Rajkov D A Analiticheskaya geometriya t I M L 1948 Div takozh RedaguvatiAfinnij prostir Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Afinna geometriya amp oldid 31643833