www.wikidata.uk-ua.nina.az

SL 2 R У математиці спеціальна лінійна група SL 2 R displaystyle operatorname SL 2 mathbb R або SL 2 R displaystyle oper

SL(2,R)

У математиці, спеціальна лінійна група або — це група дійсних матриць, з детермінантом :

Це зв'язна некомпактна проста дійсна група Лі, яка має застосування у геометрії, топології, теорії представлень і фізиці.

діє на комплексній верхній півплощині шляхом дробово-лінійних  перетворень. Дія групи виражається через факторгрупу ( спеціальна проєктивна група над ). Більш конкретно,

де — одинична матриця. Вона містить модулярну групу .

Також тісно пов'язаною структурою є 2-кратна покривна група[en] , або метаплектична група[en] (вважаючи симплектичною групою).

Інша пов'язана група це , група дійсних матриць з детермінантом ; вона є більш загальновживаною у контексті модулярних груп.

Опис Редагувати

це група всіх лінійних перетворень у , яка зберігає орієнтацію. Вона ізоморфна  симплектичній групі і спеціальній унітарній групі .Також вона є ізоморфною групі одиничних кватерніонів. Група не зберігає орієнтацію, оскільки у деяких випадках вона може бути змінена на протилежну.

Факторгрупа допускає декілька цікавих означень:

Елементи модулярної групи мають додаткові інтерпретації, так само, як і елементи групи (як лінійні перетворення тора), на ці інтерпретації можна дивитися з точки зору загальної теорії групи .

Проєктивні перетворення Редагувати

Елементи є проєктивними перетвореннями на дійсній проєктивній прямій[en] :

Ці проєктивні перетворення утворюють підгрупу групи , яка діє на сферу Рімана шряхом перетворень Мебіуса.

Якщо дійсна пряма розглядається границею гіперболічної площини, то описує гіперболічні рухи[en].

Перетворення Мебіуса Редагувати

Елементи групи діють на комплексній площині шляхом перетвореннь Мебіуса:

Це в точності множина перетворень Мебіуса, яка зберігає верхню півплощину. З цього випливає, що є групою конформних автоморфізмів верхньої півплощини. Відповідно до теореми Рімана про відображення, вона також є групою конформних автоморфізмів одиничного круга.

Дані перетворення Мебіуса діють як ізометрії моделі верхньої півплощини гіперболічного простору, а відповідні перетворення Мебіуса на крузі є гіперболічними ізометріями моделі Пуанкаре.

Формула вище також може бути використана для визначення перетворень Мебіуса для дуальних і подвійних чисел. Відповідні геометрії мають нетривіальні зв'язки з геометрією Лобачевського.

Приєднане представлення Редагувати

Група діє на свою алгебру Лі шляхом спряженості (важливо пам'ятати, що елементи алгебри Лі також є матрицями), утворюючи при цьому точне тривимірне лінійне представлення групи . Це також можна описати як дію групи на простір квадратичних форм у . Як результат матимемо наступне представлення:

Форма Кіллінга алгебри має сигнатуру і встановлює ізоморфізм між групою і групою Лоренца . Така дія групи на простір Мінковського обмежується до ізометричної дії групи на гіперболоїдну модель гіперболічної площини.

Класифікація елементів Редагувати

Власні значення елемента задовольняють характеристичний многочлен

звідси

Це приводить до наступної класифікації елементів, з відповідною дією на Евклідову площину:

  • Якщо , то називається еліптичним і є спряженим до поворотів.
  • Якщо , то називається параболічним і є відображенням зсуву.
  • Якщо , то називається гіперболічним і є відображенням стискання[en].

Назви відповідають класифікації конічних перетинів ексцентриситетом: якщо визначати ексцентриситет як половину абсолютного значення сліду (; ділення на 2 корегує ефект розмірності, у той час як абсолютне значення ігнорує коефіцієнти , як і при роботі з групою ), тоді це приводить до наступних випадків: , еліптичний; , параболічний; , гіперболічний.

Одиничний елемент і від'ємний одиничний елемент (у випадку групи вони співпадають) мають слід , і відповідно до класифікації, є параболічними елементами, хоча їх часто розглядають окремо.

Та сама класифікація використовується для груп і (дійсне перетворення Мебіуса), з додатковими ``локсодромними'' перетвореннями, що відповідають комплексним слідам; аналогічні класифікації використовуються і щодо інших об'єктів.

Підгрупа, яка пов'язана з еліптичними (відповідно, параболічними або гіперболічними) елементами, а також ідентичністю і від'ємною ідентичністю називається еліптичною підгрупою (відповідно, параболічною підгрупою[en], гіперболічною підгрупою).

Це класифікація на підмножини, а не на підгрупи: множини не замкнені відносно множення (добуток двох параболічних елементів неповинен бути параболічним і т.п.). Тим не менше, всі елементи розподіляються до однієї з трьох стандартних однопараметричних підгруп} (можливо домножені на ), як зазначено нижче.

З точки зору топології, оскільки слід є неперервним відображенням, еліптичні елементи (виключаючи ) є відкритими множинами, так само, як гіперболічні елементи (виключаючи ), у той час як параболічні елементи (включаючи ) є замкнутими множинами.

Еліптичні елементи Редагувати

Власні значення еліптичного елемента є комплексними, а також комплексно спряженими значеннями на одиничному колі. Такий елемент є спряженим до повороту евклідового простору — вони можуть бути проінтерпретовані як повороти у можливому неортгональному базисі — а відповідний елемент групи діє як (спряжений до) повороту гіперболічної площини і простору Мінковського.

Еліптичні елементи модулярної групи повинні мати власні значення , де це простий корінь з одиниці третього, четвертого або шостого степеня. Вони всі є елементами модулярної групи скінченного порядку, і на торі вони діють як періодичні дифеоморфізми.

Елементи із нульовим слідом інколи називають ``циркулярними елементами'' (за аналогією з ексцентриситетом), але це відбувається нечасто. Вони відповідають елементам з власними значеннями і є спряженими до поворотів на , а також є квадратами до : вони є нетотожними інволюціями у групі .

Еліптичні елементи включаються у підгрупу поворотів евклідової площини, спеціальну ортогональну групу ; кут повороту є арккосинусом половини сліду, зі знаком, що визначається орієнтацією. (Поворот і його обернений є спряженими у групі , але не у групі .)

Див. також Редагувати

Примітки Редагувати

  1. Kisil, Vladimir V. (2012). Geometry of Möbius transformations. Elliptic, parabolic and hyperbolic actions of . London: Imperial College Press. p. xiv+192. doi:10.1142/p835 [ 24 вересня 2019 у Wayback Machine.]. ISBN 978-1-84816-858-9. MR 2977041 [ 11 травня 2017 у Wayback Machine.].

Література Редагувати

  • Valentine Bargmann. Irreducible Unitary Representations of the Lorentz Group // Annals of Mathematics. — 1947. — Т. 48, вип. 3. — С. 568–640. — DOI:10.2307/1969129. — JSTOR 1969129.
  • Гельфанд И.М., Наймарк М.А. Унитарные представления группы Лоренца // Изв. АН СССР. Сер. Матем.. — 1947. — Т. 11, вип. 5. — С. 411–504.
  • Harish-Chandra. Plancherel formula for the real unimodular group // Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A.. — 1952. — Т. 38. — С. 337–342. — DOI:10.1073/pnas.38.4.337. — PubMed.
  • Ленг С.  / Перевод с английского В.И. Васюнина и М.А. Семёнова-Тян-Шанского; Под редакцией А.А. Кириллова. — Москва, 1977.
На цю статтю не посилаються інші статті Вікіпедії.
Будь ласка, скористайтеся підказкою та розставте посилання відповідно до прийнятих рекомендацій.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
U matematici specialna linijna grupa SL 2 R displaystyle operatorname SL 2 mathbb R abo SL 2 R displaystyle operatorname SL 2 mathbb R ce grupa dijsnih 2 2 displaystyle 2 times 2 matric z determinantom 1 displaystyle 1 SL 2 R a b c d a b c d R i a d b c 1 displaystyle operatorname SL 2 mathbb R left left begin matrix a amp b c amp d end matrix right colon a b c d in mathbb R text i ad bc 1 right Ce zv yazna nekompaktna prosta dijsna grupa Li yaka maye zastosuvannya u geometriyi topologiyi teoriyi predstavlen i fizici SL 2 R displaystyle operatorname SL 2 mathbb R diye na kompleksnij verhnij pivploshini shlyahom drobovo linijnih peretvoren Diya grupi virazhayetsya cherez faktorgrupu PSL 2 R displaystyle operatorname PSL 2 mathbb R 2 2 displaystyle 2 times 2 specialna proyektivna grupa nad R displaystyle mathbb R Bilsh konkretno PSL 2 R SL 2 R I displaystyle operatorname PSL 2 mathbb R operatorname SL 2 mathbb R pm I de I displaystyle I 2 2 displaystyle 2 times 2 odinichna matricya Vona mistit modulyarnu grupu PSL 2 Z displaystyle operatorname PSL 2 mathbb Z Takozh tisno pov yazanoyu strukturoyu ye 2 kratna pokrivna grupa en Mp 2 R displaystyle operatorname Mp 2 mathbb R abo metaplektichna grupa en vvazhayuchi SL 2 R displaystyle operatorname SL 2 mathbb R simplektichnoyu grupoyu Insha pov yazana grupa ce SL 2 R displaystyle operatorname SL pm 2 mathbb R grupa dijsnih 2 2 displaystyle 2 times 2 matric z determinantom 1 displaystyle pm 1 vona ye bilsh zagalnovzhivanoyu u konteksti modulyarnih grup Zmist 1 Opis 1 1 Proyektivni peretvorennya 1 1 1 Peretvorennya Mebiusa 1 1 1 1 Priyednane predstavlennya 1 2 Klasifikaciya elementiv 1 3 Eliptichni elementi 2 Div takozh 3 Primitki 4 Literatura Opis Redaguvati SL 2 R displaystyle operatorname SL 2 mathbb R ce grupa vsih linijnih peretvoren u R 2 displaystyle mathbb R 2 yaka zberigaye oriyentaciyu Vona izomorfna simplektichnij grupi Sp 2 R displaystyle operatorname Sp 2 mathbb R i specialnij unitarnij grupi SU 1 1 displaystyle operatorname SU 1 1 Takozh vona ye izomorfnoyu grupi odinichnih kvaternioniv Grupa SL 2 R displaystyle operatorname SL pm 2 mathbb R ne zberigaye oriyentaciyu oskilki u deyakih vipadkah vona mozhe buti zminena na protilezhnu Faktorgrupa PSL 2 R displaystyle operatorname PSL 2 mathbb R dopuskaye dekilka cikavih oznachen Ce grupa proyektivnih peretvoren na dijsnij proyektivnij pryamij en R displaystyle mathbb R cup infty sho zberigaye oriyentaciyu Ce grupa konformnih avtomorfizmiv odinichnogo kruga Ce grupa izometrij giperbolichnoyi ploshini sho zberigaye oriyentaciyu Ce obmezhena grupa Lorenca trivimirnogo prostoru Minkovskogo Ekvivalentno ce grupa yaka izomorfna neviznachenij ortogonalnij grupi SO 1 2 displaystyle operatorname SO 1 2 Z cogo viplivaye sho SL 2 R displaystyle operatorname SL 2 mathbb R izomorfna spinornij grupi Spin 2 1 displaystyle operatorname Spin 2 1 Elementi modulyarnoyi grupi PSL 2 Z displaystyle operatorname PSL 2 mathbb Z mayut dodatkovi interpretaciyi tak samo yak i elementi grupi SL 2 Z displaystyle operatorname SL 2 mathbb Z yak linijni peretvorennya tora na ci interpretaciyi mozhna divitisya z tochki zoru zagalnoyi teoriyi grupi SL 2 R displaystyle operatorname SL 2 mathbb R Proyektivni peretvorennya Redaguvati Elementi PSL 2 R displaystyle operatorname PSL 2 mathbb R ye proyektivnimi peretvorennyami na dijsnij proyektivnij pryamij en R displaystyle mathbb R cup infty x 1 x 1 a b c d a x b c x d a x b c x d 1 displaystyle x 1 longmapsto x 1 left begin matrix a amp b c amp d end matrix right ax b cx d left frac ax b cx d 1 right Ci proyektivni peretvorennya utvoryuyut pidgrupu grupi PSL 2 C displaystyle operatorname PSL 2 mathbb C yaka diye na sferu Rimana shryahom peretvoren Mebiusa Yaksho dijsna pryama rozglyadayetsya graniceyu giperbolichnoyi ploshini to PSL 2 R displaystyle operatorname PSL 2 mathbb R opisuye giperbolichni ruhi en Peretvorennya Mebiusa Redaguvati Elementi grupi PSL 2 R displaystyle operatorname PSL 2 mathbb R diyut na kompleksnij ploshini shlyahom peretvorenn Mebiusa z a z b c z d de a b c d R displaystyle z longmapsto frac az b cz d text de a b c d in mathbb R Ce v tochnosti mnozhina peretvoren Mebiusa yaka zberigaye verhnyu pivploshinu Z cogo viplivaye sho PSL 2 R displaystyle operatorname PSL 2 mathbb R ye grupoyu konformnih avtomorfizmiv verhnoyi pivploshini Vidpovidno do teoremi Rimana pro vidobrazhennya vona takozh ye grupoyu konformnih avtomorfizmiv odinichnogo kruga Dani peretvorennya Mebiusa diyut yak izometriyi modeli verhnoyi pivploshini giperbolichnogo prostoru a vidpovidni peretvorennya Mebiusa na kruzi ye giperbolichnimi izometriyami modeli Puankare Formula vishe takozh mozhe buti vikoristana dlya viznachennya peretvoren Mebiusa dlya dualnih i podvijnih chisel Vidpovidni geometriyi mayut netrivialni zv yazki 1 z geometriyeyu Lobachevskogo Priyednane predstavlennya Redaguvati Grupa SL 2 R displaystyle operatorname SL 2 mathbb R diye na svoyu algebru Li s l 2 R displaystyle mathfrak sl 2 mathbb R shlyahom spryazhenosti vazhlivo pam yatati sho elementi algebri Li takozh ye 2 2 displaystyle 2 times 2 matricyami utvoryuyuchi pri comu tochne trivimirne linijne predstavlennya grupi PSL 2 R displaystyle operatorname PSL 2 mathbb R Ce takozh mozhna opisati yak diyu grupi na prostir kvadratichnih form u R 2 displaystyle mathbb R 2 Yak rezultat matimemo nastupne predstavlennya a b c d a 2 2 a b b 2 a c a d b c b d c 2 2 c d d 2 displaystyle left begin matrix a amp b c amp d end matrix right longmapsto left begin matrix a 2 amp 2ab amp b 2 ac amp ad bc amp bd c 2 amp 2cd amp d 2 end matrix right Forma Killinga algebri s l 2 R displaystyle mathfrak sl 2 mathbb R maye signaturu 2 1 displaystyle 2 1 i vstanovlyuye izomorfizm mizh grupoyu PSL 2 R displaystyle operatorname PSL 2 mathbb R i grupoyu Lorenca SO 2 1 displaystyle operatorname SO 2 1 Taka diya grupi PSL 2 R displaystyle operatorname PSL 2 mathbb R na prostir Minkovskogo obmezhuyetsya do izometrichnoyi diyi grupi PSL 2 R displaystyle operatorname PSL 2 mathbb R na giperboloyidnu model giperbolichnoyi ploshini Klasifikaciya elementiv Redaguvati Vlasni znachennya elementa A SL 2 R displaystyle A in operatorname SL 2 mathbb R zadovolnyayut harakteristichnij mnogochlen l 2 tr A l 1 0 displaystyle lambda 2 operatorname tr A lambda 1 0 zvidsi l tr A tr A 2 4 2 displaystyle lambda frac operatorname tr A pm sqrt operatorname tr A 2 4 2 Ce privodit do nastupnoyi klasifikaciyi elementiv z vidpovidnoyu diyeyu na Evklidovu ploshinu Yaksho tr A lt 2 displaystyle operatorname tr A lt 2 to A displaystyle A nazivayetsya eliptichnim i ye spryazhenim do povorotiv Yaksho tr A 2 displaystyle operatorname tr A 2 to A displaystyle A nazivayetsya parabolichnim i ye vidobrazhennyam zsuvu Yaksho tr A gt 2 displaystyle operatorname tr A gt 2 to A displaystyle A nazivayetsya giperbolichnim i ye vidobrazhennyam stiskannya en Nazvi vidpovidayut klasifikaciyi konichnih peretiniv ekscentrisitetom yaksho viznachati ekscentrisitet yak polovinu absolyutnogo znachennya slidu ϵ 1 2 tr displaystyle epsilon frac 1 2 operatorname tr dilennya na 2 koreguye efekt rozmirnosti u toj chas yak absolyutne znachennya ignoruye koeficiyenti 1 displaystyle pm 1 yak i pri roboti z grupoyu PSL 2 R displaystyle operatorname PSL 2 mathbb R todi ce privodit do nastupnih vipadkiv ϵ lt 1 displaystyle epsilon lt 1 eliptichnij ϵ 1 displaystyle epsilon 1 parabolichnij ϵ gt 1 displaystyle epsilon gt 1 giperbolichnij Odinichnij element 1 displaystyle 1 i vid yemnij odinichnij element 1 displaystyle 1 u vipadku grupi PSL 2 R displaystyle operatorname PSL 2 mathbb R voni spivpadayut mayut slid 2 displaystyle pm 2 i vidpovidno do klasifikaciyi ye parabolichnimi elementami hocha yih chasto rozglyadayut okremo Ta sama klasifikaciya vikoristovuyetsya dlya grup SL 2 C displaystyle operatorname SL 2 mathbb C i PSL 2 R displaystyle operatorname PSL 2 mathbb R dijsne peretvorennya Mebiusa z dodatkovimi loksodromnimi peretvorennyami sho vidpovidayut kompleksnim slidam analogichni klasifikaciyi vikoristovuyutsya i shodo inshih ob yektiv Pidgrupa yaka pov yazana z eliptichnimi vidpovidno parabolichnimi abo giperbolichnimi elementami a takozh identichnistyu i vid yemnoyu identichnistyu nazivayetsya eliptichnoyu pidgrupoyu vidpovidno parabolichnoyu pidgrupoyu en giperbolichnoyu pidgrupoyu Ce klasifikaciya na pidmnozhini a ne na pidgrupi mnozhini ne zamkneni vidnosno mnozhennya dobutok dvoh parabolichnih elementiv nepovinen buti parabolichnim i t p Tim ne menshe vsi elementi rozpodilyayutsya do odniyeyi z troh standartnih odnoparametrichnih pidgrup mozhlivo domnozheni na 1 displaystyle pm 1 yak zaznacheno nizhche Z tochki zoru topologiyi oskilki slid ye neperervnim vidobrazhennyam eliptichni elementi viklyuchayuchi 1 displaystyle pm 1 ye vidkritimi mnozhinami tak samo yak giperbolichni elementi viklyuchayuchi 1 displaystyle pm 1 u toj chas yak parabolichni elementi vklyuchayuchi 1 displaystyle pm 1 ye zamknutimi mnozhinami Eliptichni elementi Redaguvati Vlasni znachennya eliptichnogo elementa ye kompleksnimi a takozh kompleksno spryazhenimi znachennyami na odinichnomu koli Takij element ye spryazhenim do povorotu evklidovogo prostoru voni mozhut buti prointerpretovani yak povoroti u mozhlivomu neortgonalnomu bazisi a vidpovidnij element grupi PSL 2 R displaystyle operatorname PSL 2 mathbb R diye yak spryazhenij do povorotu giperbolichnoyi ploshini i prostoru Minkovskogo Eliptichni elementi modulyarnoyi grupi povinni mati vlasni znachennya w w displaystyle omega omega de w displaystyle omega ce prostij korin z odinici tretogo chetvertogo abo shostogo stepenya Voni vsi ye elementami modulyarnoyi grupi skinchennogo poryadku i na tori voni diyut yak periodichni difeomorfizmi Elementi iz nulovim slidom inkoli nazivayut cirkulyarnimi elementami za analogiyeyu z ekscentrisitetom ale ce vidbuvayetsya nechasto Voni vidpovidayut elementam z vlasnimi znachennyami i displaystyle pm i i ye spryazhenimi do povorotiv na 90 displaystyle 90 circ a takozh ye kvadratami do I displaystyle I voni ye netotozhnimi involyuciyami u grupi P S L 2 displaystyle operatorname PSL 2 Eliptichni elementi vklyuchayutsya u pidgrupu povorotiv evklidovoyi ploshini specialnu ortogonalnu grupu S O 2 displaystyle operatorname SO 2 kut povorotu ye arkkosinusom polovini slidu zi znakom sho viznachayetsya oriyentaciyeyu Povorot i jogo obernenij ye spryazhenimi u grupi G L 2 displaystyle operatorname GL 2 ale ne u grupi S L 2 displaystyle operatorname SL 2 Div takozh RedaguvatiLinijna grupa Specialna linijna grupa Proyektivna linijna grupa Modulyarna grupa SL 2 C displaystyle operatorname SL 2 mathbb C nbsp Peretvorennya Mebiusa Proyektivne peretvorennya Grupa Fuksa Tablicya grup Li en Difeomorfizm AnosovaPrimitki Redaguvati Kisil Vladimir V 2012 Geometry of Mobius transformations Elliptic parabolic and hyperbolic actions of SL 2 R displaystyle operatorname SL 2 mathbb R nbsp London Imperial College Press p xiv 192 doi 10 1142 p835 Arhivovano 24 veresnya 2019 u Wayback Machine ISBN 978 1 84816 858 9 MR 2977041 Arhivovano 11 travnya 2017 u Wayback Machine Literatura RedaguvatiValentine Bargmann Irreducible Unitary Representations of the Lorentz Group Annals of Mathematics 1947 T 48 vip 3 S 568 640 DOI 10 2307 1969129 JSTOR 1969129 Gelfand I M Najmark M A Unitarnye predstavleniya gruppy Lorenca Izv AN SSSR Ser Matem 1947 T 11 vip 5 S 411 504 Harish Chandra Plancherel formula for the 2 2 displaystyle 2 times 2 nbsp real unimodular group Proc Natl Acad Sci U S A 1952 T 38 S 337 342 DOI 10 1073 pnas 38 4 337 PubMed Leng S S L 2 R displaystyle operatorname SL 2 R nbsp Perevod s anglijskogo V I Vasyunina i M A Semyonova Tyan Shanskogo Pod redakciej A A Kirillova Moskva 1977 Na cyu stattyu ne posilayutsya inshi statti Vikipediyi Bud laska skoristajtesya pidkazkoyu ta rozstavte posilannya vidpovidno do prijnyatih rekomendacij Otrimano z https uk wikipedia org w index php title SL 2 R amp oldid 37807176