www.wikidata.uk-ua.nina.az

Лінійна група У математиці матрична група група утворена невиродженими матрицями що задані над полем K displaystyle math

Лінійна група

У математиці матрична група — група, утворена невиродженими матрицями, що задані над полем з операцією матричного множення. Лінійна група є групою, яка ізоморфна матричній групі (тобто допускає точне[en], скінченновимірне представлення над полем ).

Будь-яка скінченна група є лінійною, оскільки її можна реалізувати за допомогою матриць перестановок, використовуючи теорему Келі. Серед нескінченних груп лінійні групи утворюють цікавий та «слухняний» клас. Прикладами нелінійних груп є «занадто великі» групи (наприклад, група перестановок нескінченної множини) або групи, які виявляють певну патологічну поведінку (наприклад, скінченно породженна[en] нескінченна періодична група).

Означення та основні приклади Редагувати

Група називається лінійною, якщо існує поле , натуральне та ін'єктивний гомеоморфізм з групи в загальну лінійну групу (точне лінійне представлення розмірності над полем ): при необхідності можна вказувати поле і розмірність, кажучи, що група є лінійною порядку над полем . Основні приклади — це групи, які визначаються, як підгрупи лінійної групи, наприклад:

  1. Сама група ;
  2. Спеціальна лінійна група (підгрупа матриць з визначником рівним 1);
  3. Група невироджених верхньо- або нижньотрикутних матриць;
  4. Якщо  — це сукупність елементів у , що індексована множиною , то підгрупа породжена є лінійною групою.

При вивченні груп Лі, іноді зручно обмежувати увагу групам Лі, які можуть бути точно представлені над полем комплексних чисел. (Деякі автори вимагають, щоб група була представлена як замкнена підгрупа групи .) Прикладами книжок, які дотримуються цього підходу, є книги Hall (2015) and Rossmann (2002).

Класи лінійних груп Редагувати

Класичні групи та пов'язані приклади Редагувати

Так звані класичні групи[en] узагальнюють наведені вище приклади 1 і 2. Вони виникають як лінійні алгебраїчні групи, тобто як підгрупи , що визначаються скінченною кількістю рівнянь. Основними прикладами є ортогональні, унітарні та групи, але можна побудувати більше прикладів, використовуючи алгебру з діленням (наприклад, одинична група алгебри кватерніонів є класичною групою). Зауважимо, що проєктивні групи, пов'язані з цими групами, також є лінійними, хоча це і менш очевидно. Наприклад, група не є групою матриць , але вона має точне представлення матрицями (приєднане представлення групи Лі), яке можна використовувати в загальному випадку.

Багато груп Лі є лінійними, але не всі з них. Універсальне накриття не є лінійною групою, як і багато розв'язних груп, наприклад, фактор-група групи Гейзенберга[en] за центральною[en] циклічною підгрупою.

Дискретні підгрупи класичних груп Лі (наприклад, гратки на групах[en] або тонкі групи[en]) також є прикладами цікавих лінійних груп.

Скінченні групи Редагувати

Скінченна група порядку є лінійною порядку щонайбільше над будь-яким полем . Це твердження іноді називають теоремою Келі, і воно є простим результатом того, що дія групи над груповим кільцем шляхом лівого (або правого) множення є лінійною і точною. Скінченна група ліївсього типу (класичні групи над скінченними полями) є важливою сім'єю скінченних простих груп, оскільки вони займають більшість випадків у класифікації скінченних простих груп.

Скінченно породженні матричні групи Редагувати

Хоча вищенаведений приклад 4 занадто загальний, щоб визначити характерний клас (він включає всі лінійні групи), обмеження щодо скінченності множини індексів , тобто щодо скінченності породжених груп[en], дає можливість побудувати багато цікавих прикладів. Наприклад:

  • Пінг-понг лему можна використовувати для побудови багатьох прикладів лінійних груп, які є вільними групами (наприклад, група породжена матрицями , є вільною).
  • Арифметичні групи, як відомо, є скінченно породженими. З іншого боку, важко знайти явну множину генераторів для даної арифметичної групи.
  • Група кіс (визначається як скінченно представлена група) має точне лінійне представлення на скінченновимірному комплексному векторному просторі, де дія генераторів визначається за допомогою явних матриць.

Геометричні приклади Редагувати

У деяких випадках можна показати, що фундаментальна група на многовиді є лінійною групою за допомогою представлень, що мають геометричне походження. Наприклад, усі замкнені поверхні щонайменше 2 роду є гіперболічними поверхнями Рімана. За допомогою теореми про уніформізацію це приводить до представлення її фундаментальної групи в групі ізометрій[en] гіперболічної площини, яка ізоморфна групі і це реалізує фундаментальну групу як групу Фукса. Узагальнення цієї конструкції дається за допомогою поняття (G,X)-структури[en] на многовиді.

Інший приклад — фундаментальна група многовидів Зейферта. З іншого боку, невідомо, чи є всі фундаментальні групи 3-вимірних многовидів лінійними.

Властивості Редагувати

Хоча лінійні групи — це величезний клас прикладів, серед усіх нескінченних груп вони відрізняються багатьма чудовими властивостями. Скінченно породжені лінійні групи мають такі властивості:

Альтернатива Тітса стверджує, що лінійна група або містить неабелеву вільну групу, або є практично[en] розв'язною (тобто містить розв'язну групу скінченного індексу). Це має багато подальших наслідків, наприклад:

  • Функція Дена[en] скінченно породженої лінійної групи може бути лише поліном або експонентою.
  • Аманабельна[en] лінійна група є фактично розв'язною, зокрема елементарно аманабельною[en].
  • Гіпотеза фон Неймана справедлива для лінійних груп.

Приклади нелінійних груп Редагувати

Неважко навести приклади нескінченно породжених нелінійних груп: наприклад, нескінченна абелева 2-група не може бути лінійною, оскільки, якби це було так, то вона була б діагоналізованою і скінченною. Оскільки симетрична група на нескінченній множині містить цю групу, то вона також не є лінійною. Пошук прикладів скінченно породжених груп є більш тонким і зазвичай вимагає використання однієї із властивостей, перерахованих вище.

  • Оскільки будь-яка скінченна лінійна група є фініто апроксимовною, то вона не може бути одночасно простою і нескінченною.

Таким чином, скінченно породженні нескінченні прості групи, наприклад групи Томпсона та група Хігмана[en] є нелінійними групами.

  • За наслідком вищезазначеної альтернативи Тітса, групи проміжного зростання, такі як група Григорчука[en], не є лінійними.
  • Знову ж таки за альтернативою Тітса, як уже згадувалося вище, усі контрприклади до гіпотези фон Неймана не є лінійними. Зокрема, група Томпсона та групи монстри Тарського.
  • За теоремою Бернсайда, нескінченні скінченно породжені групи з закрутом, такі як групи монстри Тарського не можуть бути лінійними.
  • Існують приклади гіперболічних груп, які не є лінійними, отримані як фактор-групи граток на групах Лі .
  • Група зовнішніх автоморфізм[en] Out(Fn)[en] вільної групи не є лінійною принаймні для .
  • На відміну від випадку груп кіс відкритим є питання[en] чи є лінійною група класів перетворень поверхні[en] роду .

Теорія представлень Редагувати

Після того як встановлено, що група є лінійною, цікаво спробувати знайти «оптимальне» точне лінійне представлення для неї, наприклад, представлення найнижчої можливої розмірності, або навіть спробувати прокласифікувати всі її лінійні представлення (включаючи ті, які не є точними). Ці питання є об'єктом дослідження в теорії представлень. Найважливіші частини цієї теорії включають:

  • Теорія представлення скінченних груп[en].
  • Теорія представлення груп Лі[en] та більш загальних лінійних алгебраїчних груп.

Теорія представлення нескінченних скінченнопороджених груп загалом є загадковою; об'єктом дослідження у цьому випадку є характеристичні многовиди[en] групи, які добре зрозумілі лише у дуже небагатьох випадках, наприклад, вільні групи, групи поверхонь та, загальніше, гратки на групах Лі (наприклад, через теорему Маргуліса про супержорсткість[en] та інші результати про жорсткість).

Див. також Редагувати

Примітки Редагувати

  1. Hall, (2015)
  2. Rossmann, (2002)
  3. ↑ Aschenbrenner, Matthias; Friedl, Stefan; Wilton, Henry (2015). . EMS Series of Lectures in Mathematics. European Math. Soc. Section 9.6. Архів оригіналу за 6 травня 2021. Процитовано 20 травня 2021. 
  4. Wehrfritz, 1973, с. 15.
  5. Wehfritz, 1973, с. 57.
  6. Alperin, Roger C. (1987). An Elementary Account Of Selberg's Lemma. L'Enseignement Mathématique 33. 
  7. ↑ Bestvina, Mladen (2004). . Question 1.15. Архів оригіналу за 1 жовтня 2016. Процитовано 17 серпня 2016. 
  8. Formanek, E.; Procesi, C. (1992). The automorphism group of a free group is not linear. J. Algebra 149 (2): 494–499. doi:10.1016/0021-8693(92)90029-l. 

Джерела Редагувати

  • Джозеф Ротман[en]. An Introduction to the Theory of Groups. — 4th. — Springer (Graduate Texts in Mathematics), 1994. — 532 с. — ISBN 978-0387942858.(англ.)
  • Hall, Brian C. (2015). Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction. Graduate Texts in Mathematics 222 (вид. 2nd). Springer. ISBN 978-3319134666. .
  • Rossmann, Wulf (2002). Lie Groups: An Introduction through Linear Groups. Oxford Graduate Texts in Mathematics. Oxford University Press. ISBN 9780198596837. .
  • Suprnenko, D.A. (1976). Matrix groups. Translations of mathematical monographs 45. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1595-4. 
  • Wehrfritz, B.A.F. (1973). Infinite linear groups. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 76. Springer-Verlag. 
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
U matematici matrichna grupa grupa utvorena nevirodzhenimi matricyami sho zadani nad polem K displaystyle mathbb K z operaciyeyu matrichnogo mnozhennya Linijna grupa ye grupoyu yaka izomorfna matrichnij grupi tobto dopuskaye tochne en skinchennovimirne predstavlennya nad polem K displaystyle mathbb K Bud yaka skinchenna grupa ye linijnoyu oskilki yiyi mozhna realizuvati za dopomogoyu matric perestanovok vikoristovuyuchi teoremu Keli Sered neskinchennih grup linijni grupi utvoryuyut cikavij ta sluhnyanij klas Prikladami nelinijnih grup ye zanadto veliki grupi napriklad grupa perestanovok neskinchennoyi mnozhini abo grupi yaki viyavlyayut pevnu patologichnu povedinku napriklad skinchenno porodzhenna en neskinchenna periodichna grupa Zmist 1 Oznachennya ta osnovni prikladi 2 Klasi linijnih grup 2 1 Klasichni grupi ta pov yazani prikladi 2 2 Skinchenni grupi 2 3 Skinchenno porodzhenni matrichni grupi 2 4 Geometrichni prikladi 3 Vlastivosti 4 Prikladi nelinijnih grup 5 Teoriya predstavlen 6 Div takozh 7 Primitki 8 DzherelaOznachennya ta osnovni prikladi RedaguvatiGrupa G displaystyle G nbsp nazivayetsya linijnoyu yaksho isnuye pole K displaystyle mathbb K nbsp naturalne d displaystyle d nbsp ta in yektivnij gomeomorfizm z grupi G displaystyle G nbsp v zagalnu linijnu grupu G displaystyle G nbsp tochne linijne predstavlennya rozmirnosti d displaystyle d nbsp nad polem K displaystyle mathbb K nbsp pri neobhidnosti mozhna vkazuvati pole i rozmirnist kazhuchi sho grupa G displaystyle G nbsp ye linijnoyu poryadku d displaystyle d nbsp nad polem K displaystyle mathbb K nbsp Osnovni prikladi ce grupi yaki viznachayutsya yak pidgrupi linijnoyi grupi napriklad Sama grupa G L n K displaystyle rm GL n mathbb K nbsp Specialna linijna grupa S L n K displaystyle rm SL n mathbb K nbsp pidgrupa matric z viznachnikom rivnim 1 Grupa nevirodzhenih verhno abo nizhnotrikutnih matric Yaksho g i displaystyle g i nbsp ce sukupnist elementiv u G L n K displaystyle rm GL n mathbb K nbsp sho indeksovana mnozhinoyu I displaystyle I nbsp to pidgrupa porodzhena g i displaystyle g i nbsp ye linijnoyu grupoyu Pri vivchenni grup Li inodi zruchno obmezhuvati uvagu grupam Li yaki mozhut buti tochno predstavleni nad polem kompleksnih chisel Deyaki avtori vimagayut shob grupa bula predstavlena yak zamknena pidgrupa grupi G L n C displaystyle rm GL n mathbb C nbsp Prikladami knizhok yaki dotrimuyutsya cogo pidhodu ye knigi Hall 2015 1 and Rossmann 2002 2 Klasi linijnih grup RedaguvatiKlasichni grupi ta pov yazani prikladi Redaguvati Tak zvani klasichni grupi en uzagalnyuyut navedeni vishe prikladi 1 i 2 Voni vinikayut yak linijni algebrayichni grupi tobto yak pidgrupi G L n displaystyle rm GL n nbsp sho viznachayutsya skinchennoyu kilkistyu rivnyan Osnovnimi prikladami ye ortogonalni unitarni ta grupi ale mozhna pobuduvati bilshe prikladiv vikoristovuyuchi algebru z dilennyam napriklad odinichna grupa algebri kvaternioniv ye klasichnoyu grupoyu Zauvazhimo sho proyektivni grupi pov yazani z cimi grupami takozh ye linijnimi hocha ce i mensh ochevidno Napriklad grupa P S L 2 R displaystyle rm PSL 2 mathbb R nbsp ne ye grupoyu matric 2 2 displaystyle 2 times 2 nbsp ale vona maye tochne predstavlennya matricyami 3 3 displaystyle 3 times 3 nbsp priyednane predstavlennya grupi Li yake mozhna vikoristovuvati v zagalnomu vipadku Bagato grup Li ye linijnimi ale ne vsi z nih Universalne nakrittya S L 2 R displaystyle rm SL 2 mathbb R nbsp ne ye linijnoyu grupoyu yak i bagato rozv yaznih grup napriklad faktor grupa grupi Gejzenberga en za centralnoyu en ciklichnoyu pidgrupoyu Diskretni pidgrupi klasichnih grup Li napriklad gratki na grupah en abo tonki grupi en takozh ye prikladami cikavih linijnih grup Skinchenni grupi Redaguvati Skinchenna grupa G displaystyle G nbsp poryadku n displaystyle n nbsp ye linijnoyu poryadku shonajbilshe n displaystyle n nbsp nad bud yakim polem K displaystyle mathbb K nbsp Ce tverdzhennya inodi nazivayut teoremoyu Keli i vono ye prostim rezultatom togo sho diya grupi G displaystyle G nbsp nad grupovim kilcem K G displaystyle K G nbsp shlyahom livogo abo pravogo mnozhennya ye linijnoyu i tochnoyu Skinchenna grupa liyivsogo tipu klasichni grupi nad skinchennimi polyami ye vazhlivoyu sim yeyu skinchennih prostih grup oskilki voni zajmayut bilshist vipadkiv u klasifikaciyi skinchennih prostih grup Skinchenno porodzhenni matrichni grupi Redaguvati Hocha vishenavedenij priklad 4 zanadto zagalnij shob viznachiti harakternij klas vin vklyuchaye vsi linijni grupi obmezhennya shodo skinchennosti mnozhini indeksiv I displaystyle I nbsp tobto shodo skinchennosti porodzhenih grup en daye mozhlivist pobuduvati bagato cikavih prikladiv Napriklad Ping pong lemu mozhna vikoristovuvati dlya pobudovi bagatoh prikladiv linijnih grup yaki ye vilnimi grupami napriklad grupa porodzhena matricyami 1 0 2 1 displaystyle left begin smallmatrix 1 amp 0 2 amp 1 end smallmatrix right nbsp 1 2 0 1 displaystyle left begin smallmatrix 1 amp 2 0 amp 1 end smallmatrix right nbsp ye vilnoyu Arifmetichni grupi yak vidomo ye skinchenno porodzhenimi Z inshogo boku vazhko znajti yavnu mnozhinu generatoriv dlya danoyi arifmetichnoyi grupi Grupa kis viznachayetsya yak skinchenno predstavlena grupa maye tochne linijne predstavlennya na skinchennovimirnomu kompleksnomu vektornomu prostori de diya generatoriv viznachayetsya za dopomogoyu yavnih matric 3 Geometrichni prikladi Redaguvati U deyakih vipadkah mozhna pokazati sho fundamentalna grupa na mnogovidi ye linijnoyu grupoyu za dopomogoyu predstavlen sho mayut geometrichne pohodzhennya Napriklad usi zamkneni poverhni shonajmenshe 2 rodu ye giperbolichnimi poverhnyami Rimana Za dopomogoyu teoremi pro uniformizaciyu ce privodit do predstavlennya yiyi fundamentalnoyi grupi v grupi izometrij en giperbolichnoyi ploshini yaka izomorfna grupi P S L 2 R displaystyle rm PSL 2 mathbb R nbsp i ce realizuye fundamentalnu grupu yak grupu Fuksa Uzagalnennya ciyeyi konstrukciyi dayetsya za dopomogoyu ponyattya G X strukturi en na mnogovidi Inshij priklad fundamentalna grupa mnogovidiv Zejferta Z inshogo boku nevidomo chi ye vsi fundamentalni grupi 3 vimirnih mnogovidiv linijnimi 3 Vlastivosti RedaguvatiHocha linijni grupi ce velicheznij klas prikladiv sered usih neskinchennih grup voni vidriznyayutsya bagatma chudovimi vlastivostyami Skinchenno porodzheni linijni grupi mayut taki vlastivosti Voni skinchenno aproksimovni grupi Teorema Bernsajda grupa z zakrutom skinchennoyi eksponenti yaka ye linijnoyu nad polem harakteristiki 0 maye buti skinchennoyu 4 Teorema Shura linijna grupa z zakrutom ye lokalno skinchennoyu grupoyu Zokrema yaksho grupa skinchenno porodzhena to vona skinchenna 5 Lema Selberga bud yaka skinchenno porodzhena linijna grupa mistit bezzakrutovu pidgrupu skinchennogo indeksu 6 Alternativa Titsa stverdzhuye sho linijna grupa abo mistit neabelevu vilnu grupu abo ye praktichno en rozv yaznoyu tobto mistit rozv yaznu grupu skinchennogo indeksu Ce maye bagato podalshih naslidkiv napriklad Funkciya Dena en skinchenno porodzhenoyi linijnoyi grupi mozhe buti lishe polinom abo eksponentoyu Amanabelna en linijna grupa ye faktichno rozv yaznoyu zokrema elementarno amanabelnoyu en Gipoteza fon Nejmana spravedliva dlya linijnih grup Prikladi nelinijnih grup RedaguvatiNevazhko navesti prikladi neskinchenno porodzhenih nelinijnih grup napriklad neskinchenna abeleva 2 grupa Z 2 Z N displaystyle mathbb Z 2 mathbb Z N nbsp ne mozhe buti linijnoyu oskilki yakbi ce bulo tak to vona bula b diagonalizovanoyu i skinchennoyu Oskilki simetrichna grupa na neskinchennij mnozhini mistit cyu grupu to vona takozh ne ye linijnoyu Poshuk prikladiv skinchenno porodzhenih grup ye bilsh tonkim i zazvichaj vimagaye vikoristannya odniyeyi iz vlastivostej pererahovanih vishe Oskilki bud yaka skinchenna linijna grupa ye finito aproksimovnoyu to vona ne mozhe buti odnochasno prostoyu i neskinchennoyu Takim chinom skinchenno porodzhenni neskinchenni prosti grupi napriklad grupi Tompsona F displaystyle F nbsp ta grupa Higmana en ye nelinijnimi grupami Za naslidkom vishezaznachenoyi alternativi Titsa grupi promizhnogo zrostannya taki yak grupa Grigorchuka en ne ye linijnimi Znovu zh taki za alternativoyu Titsa yak uzhe zgaduvalosya vishe usi kontrprikladi do gipotezi fon Nejmana ne ye linijnimi Zokrema grupa Tompsona F displaystyle F nbsp ta grupi monstri Tarskogo Za teoremoyu Bernsajda neskinchenni skinchenno porodzheni grupi z zakrutom taki yak grupi monstri Tarskogo ne mozhut buti linijnimi 7 Isnuyut prikladi giperbolichnih grup yaki ne ye linijnimi otrimani yak faktor grupi gratok na grupah Li S p n 1 displaystyle rm Sp n 1 nbsp 7 Grupa zovnishnih avtomorfizm en Out Fn en vilnoyi grupi ne ye linijnoyu prinajmni dlya n 4 displaystyle n 4 nbsp 8 Na vidminu vid vipadku grup kis vidkritim ye pitannya en chi ye linijnoyu grupa klasiv peretvoren poverhni en rodu gt 1 displaystyle gt 1 nbsp Teoriya predstavlen RedaguvatiPislya togo yak vstanovleno sho grupa ye linijnoyu cikavo sprobuvati znajti optimalne tochne linijne predstavlennya dlya neyi napriklad predstavlennya najnizhchoyi mozhlivoyi rozmirnosti abo navit sprobuvati proklasifikuvati vsi yiyi linijni predstavlennya vklyuchayuchi ti yaki ne ye tochnimi Ci pitannya ye ob yektom doslidzhennya v teoriyi predstavlen Najvazhlivishi chastini ciyeyi teoriyi vklyuchayut Teoriya predstavlennya skinchennih grup en Teoriya predstavlennya grup Li en ta bilsh zagalnih linijnih algebrayichnih grup Teoriya predstavlennya neskinchennih skinchennoporodzhenih grup zagalom ye zagadkovoyu ob yektom doslidzhennya u comu vipadku ye harakteristichni mnogovidi en grupi yaki dobre zrozumili lishe u duzhe nebagatoh vipadkah napriklad vilni grupi grupi poverhon ta zagalnishe gratki na grupah Li napriklad cherez teoremu Margulisa pro superzhorstkist en ta inshi rezultati pro zhorstkist Div takozh RedaguvatiSpecialna linijna grupa S L n K displaystyle rm SL n mathbb K nbsp Grupa Li Linijna algebrichna grupa Ortogonalna grupa Unitarna grupa Simplektichna grupa Odinichna grupa Algebri kvaternioniv Diskretna pidgrupa Grupa Liyevogo tipu Ping pong lema Grupa kis Grupa Fuksa Rozsharuvannya Zejferta Teorema uniformizaciyi Zadacha Bernsajda Grupa z zakrutom Funkciya Dena en Elementarna amanabelna grupa en Gipoteza fon Nejmana Grupa Tompsona F displaystyle F nbsp Grupa Gigmana en Grupa Grigorchuka en Monstr Tarskogo Primitki Redaguvati Hall 2015 Rossmann 2002 a b Aschenbrenner Matthias Friedl Stefan Wilton Henry 2015 3 manifolds groups EMS Series of Lectures in Mathematics European Math Soc Section 9 6 Arhiv originalu za 6 travnya 2021 Procitovano 20 travnya 2021 Wehrfritz 1973 s 15 Wehfritz 1973 s 57 Alperin Roger C 1987 An Elementary Account Of Selberg s Lemma L Enseignement Mathematique 33 a b Bestvina Mladen 2004 Questions in Geometric Group Theory Question 1 15 Arhiv originalu za 1 zhovtnya 2016 Procitovano 17 serpnya 2016 Formanek E Procesi C 1992 The automorphism group of a free group is not linear J Algebra 149 2 494 499 doi 10 1016 0021 8693 92 90029 l Dzherela RedaguvatiDzhozef Rotman en An Introduction to the Theory of Groups 4th Springer Graduate Texts in Mathematics 1994 532 s ISBN 978 0387942858 angl Hall Brian C 2015 Lie Groups Lie Algebras and Representations An Elementary Introduction Graduate Texts in Mathematics 222 vid 2nd Springer ISBN 978 3319134666 Rossmann Wulf 2002 Lie Groups An Introduction through Linear Groups Oxford Graduate Texts in Mathematics Oxford University Press ISBN 9780198596837 Suprnenko D A 1976 Matrix groups Translations of mathematical monographs 45 American Mathematical Society ISBN 0 8218 1595 4 Wehrfritz B A F 1973 Infinite linear groups Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 76 Springer Verlag Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Linijna grupa amp oldid 37807449