www.wikidata.uk-ua.nina.az

Кватерніонна алгебра У математиці кватерніонною алгеброю над полем F називається центральна проста алгебра A над F розмі

Кватерніонна алгебра

У математиці кватерніонною алгеброю над полем F називається центральна проста алгебра A над F розмірність якої є рівною 4.

Еквівалентні означення Редагувати

Пряма побудова Редагувати

Коли F має характеристику не рівну 2, кожну кватерніонну алгебру над F можна описати як 4-вимірний векторний простір над F із базисом і таблицею множення для базисних елементів:

де a і b є деякими ненульовими елементами поля F. Із цих рівностей також випливає:

Для позначення кватерніонної алгебри із вказаною таблицею множення використовується позначення (a,b)F або просто (a,b).

Коли поле F має характеристику 2 таблиця множення базових елементів має трохи інший вигляд:

У будь-якому випадку кватерніонна алгебра над F задана цими співвідношеннями є центральною простою алгеброю розмірності 4 над F і навпаки кожна центральна проста алгебра розмірності 4 є кватерніонною алгеброю заданою якимось із співвідношень (в залежності від характеристики).

Для елемента кватерніонної алгебри над полем характеристика якого не є рівною 2 його спряжений елемент задається як

Для кватерніонної алгебри нормою називається відображення:

Еквівалентно

Побудова за допомогою етальних квадратичних алгебр Редагувати

Для полів довільної характеристики кватерніонну алгебру можна побудувати за допомогою етальних квадратичних алгебр, з використанням побудови Келі — Діксона.

Якщо C є етальною квадратичною алгеброю над F (тобто алгеброю ізоморфною або квадратичному сепарабельному розширенню поля F), то існує єдиний автоморфізм J алгебри C, що відрізняється від одиничного і називається спряженням.

Конкретно можна взяти де задовольняє рівнянню Спряження у цьому випадку задається як Якщо многочлен не має коренів у F, то C є сепарабельним квадратичним розширенням поля F. Якщо цей многочлен має корені у F, то C є ізоморфною Наприклад для многочлен має корені у F і ізоморфізм між і задається через співвідношення і Таким чином кожна етальна квадратична алгебра C має вигляд

Якщо a є ненульовим елементом F то на F-векторному просторі можна ввести множення (x, y)(x', y') = (xx' + aJ(y')y, yJ(x')+ y'x). Із цією операцією Q є кватерніонною алгеброю над F, яку позначають як (C, b)F. Навпаки кожна кватерніонна алгебра над F може бути отримана у описаний спосіб.

Наприклад для поле комплексних чисел є етальною квадратичною алгеброю і для a = –1, алгебра Q є ізоморфною звичайним кватерніонам.

За допомогою сепарабельних квадратичних розширень Редагувати

Нехай F — поле довільної характеристики і L — його квадратичне сепарабельне розширення і Нехай J позначає єдиний неодиничний F-автоморфізм поля L.

Тоді алгебра L + L u, де і для кожного також є кватерніонною алгеброю над F і кожна кватерніонна алгебра одержується в такий спосіб.

Для елементів a + bu і c + du добуток є рівним

Спряження на кватерніонній алгебрі є лінійним продовженням J на L і J(u) = -u.

Приклади Редагувати

  • Класичні кватерніони є кватерніонною алгеброю над . У цьому випадку (a = b = −1)
  • Для спліт-кватерніонів (a = −1, b = +1). Для спліт-кватерніонів також і . Спліт-кватерніони є ізоморфними алгебрі квадратних дійсних матриць порядку 2.
  • Звичайні кватерніони і спліт-кватерніони є єдиними прикладами кватерніонних алгебр над полем дійсних чисел. Всі інші є ізоморфними одній із цих алгебр.
  • Алгебра квадратних матриць порядку 2 з елементами з поля F є кватерніонною алгеброю над полем F. Якщо F є скінченним полем,алгебрично замкнутим полем (наприклад ) чи навіть сепарабельно замкнутим полем то ця алгебра є єдиною з точністю до ізоморфізму.

Властивості Редагувати

Всюди нижче F є полем характеристика якого не є рівною 2.

  • Кватерніонні алгебри (a,b)F і (b,a)F є ізоморфними.
  • Кватерніонна алгебра (a,b)F є або алгеброю з діленням або ізоморфною алгебрі 2×2 матриць над F: у другому випадку кажуть, що алгебра розщеплюється.
  • Кожна кватерніонна алгебра стає алгеброю матриць після розширення скалярів, тобто для деякого розширення K поля F, є ізоморфною алгебрі квадратних матриць порядку 2 над K.
  • Елемент q кватерніонної алгебри (a,b)F є оборотним тоді і тільки, коли його норма не дорівнює нулю. Як наслідок кватерніонна алгебра є алгеброю з діленням якщо і тільки якщо її норма є рівною нулю лише для нульового елемента.
  • Кватерніонна алгебра (a,b)F розщеплюється якщо і тільки якщо b є рівним нормі деякого елемента у квадратичному розширенні поля F.
  • Нехай A — деяка кватерніонна алгебра над полем F і Тоді A є ізоморфною кватерніонній алгебрі (a,b)F для деякого тоді і тільки тоді коли -алгебра розщеплюється і тоді і тільки тоді коли A містить підполе ізоморфне .
  • Нехай — кватерніонна алгебра. Тоді для алгебра є ізоморфною і для кожного такого ізоморфізму для норми виконується рівність
  • Коніка C(a,b) задана як
має точку (x,y,z) з координатами у полі F для алгебр, що розщеплюються і тільки для них.

Застосування Редагувати

Кватерніонні алгебри застосовуються у теорії чисел, зокрема при вивченні квадратичних форм. Вони зокрема визначають елементи порядку 2 у групі Брауера поля F. Для деяких полів, наприклад алгебричних числових полів, кожен елемент порядку 2 у групі Брауера є класом еквівалентності кватерніонної алгебри.

Згідно теореми Меркур'єва кожен елемент порядку 2 у групі Брауера довільного поля є класом еквівалентності тензорного добутку кватерніонних алгебр..

Класифікація Редагувати

Над полем дійсних чисел є два класи ізоморфізмів кватерніонних алгебр: 2×2 матриці з дійсними елементами і класичні кватерніони Гамільтона.

Над довільним локальним полем F теж є два класи ізоморфізмів кватерніонних алгебр: 2×2 матриці над F і однозначно визначена (з точністю до ізоморфізму) алгебри з діленням. Проте кватерніонна алгебра з діленням над локальним полем є зазвичай не алгебра (-1,-1)F, як у випадку дійсних чисел. Наприклад для p-адичних чисел є алгебрj. з діленням лише у випадку p = 2.

Одним із способів класифікації кватерніонних алгебр над F є однозначна відповідність між класами еквівалентності кватерніонних алгебр над F і класами еквівалентності їх норм як квадратичних форм.

Кватерніонні алгебри над полем раціональних чисел Редагувати

Кватерніонні алгебри над полем раціональних чисел мають арифметичну теорію схожу до квадратичних розширень .

Нехай — кватерніонна алгебра над і позначає поповнення по p-адичній нормі (тобто p-адичні числа для деякого простого числа p) або звичайній нормі (тобто дійсні числа ). Алгебра є кватерніонною алгеброю над полем .

Тоді може бути ізоморфною алгебрі квадратних матриць порядку 2 над або бути алгеброю з діленням.

Кажуть, що алгебра розщеплюється у якщо є ізоморфною алгебрі квадратних матриць порядку 2 над . В іншому випадку алгебра не розщеплюється у . Наприклад, раціональні кватерніони (-1,-1)Q не розщеплюються у 2 і і розщеплюються для всіх непарних простих чисел. Алгебра раціональних квадратних матриць порядку 2 розщеплюється для всіх .

Кватерніонна алгебра над полем раціональних чисел яка розщеплюється у є аналогом дійсного квадратичного поля, а алгебра яка не розщеплюється у є аналогом уявного квадратичного поля.

Кількість де кватерніонна алгебра над полем раціональних чисел не розщеплюється є парним числом. До того ж ця множина визначає B з точністю до ізоморфізму. Добуток простих чисел по яких B розщеплюється називається дискримінантом B.

Примітки Редагувати

  1. Gille & Szamuely (2006) p.2
  2. Gille & Szamuely (2006) p.3
  3. Gille & Szamuely (2006) p.7
  4. Lam (2005) p.139

Див. також Редагувати

Література Редагувати

  • Gille, Philippe; Szamuely, Tamás (2017). Central simple algebras and Galois cohomology. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 165. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-15637-1. 
  • Knus, Max-Albert; Merkurjev, Alexander; Rost, Markus; Tignol, Jean-Pierre (1998). The book of involutions. Colloquium Publications 44. With a preface by J. Tits. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-0904-0. MR 1632779. Zbl 0955.16001. 
  • Lam, Tsit-Yuen (2005). Introduction to Quadratic Forms over Fields. Graduate Studies in Mathematics 67. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1095-2. MR 2104929. Zbl 1068.11023. 
  • Vignéras, Marie-France (1980). Arithmetique Des Algebres De Quaternions. Lecture notes in Mathematics (French) 800. Springer-Verlag. ISBN 978-0387099835. 
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
U matematici kvaternionnoyu algebroyu nad polem F nazivayetsya centralna prosta algebra A nad F rozmirnist yakoyi ye rivnoyu 4 Zmist 1 Ekvivalentni oznachennya 1 1 Pryama pobudova 1 2 Pobudova za dopomogoyu etalnih kvadratichnih algebr 1 3 Za dopomogoyu separabelnih kvadratichnih rozshiren 2 Prikladi 3 Vlastivosti 4 Zastosuvannya 5 Klasifikaciya 6 Kvaternionni algebri nad polem racionalnih chisel 7 Primitki 8 Div takozh 9 LiteraturaEkvivalentni oznachennya RedaguvatiPryama pobudova Redaguvati Koli F maye harakteristiku ne rivnu 2 kozhnu kvaternionnu algebru nad F mozhna opisati yak 4 vimirnij vektornij prostir nad F iz bazisom 1 i j k displaystyle 1 i j k nbsp i tabliceyu mnozhennya dlya bazisnih elementiv i 2 a displaystyle i 2 a nbsp j 2 b displaystyle j 2 b nbsp i j k displaystyle ij k nbsp j i k displaystyle ji k nbsp de a i b ye deyakimi nenulovimi elementami polya F Iz cih rivnostej takozh viplivaye k 2 i j i j i i j j a b displaystyle k 2 ijij iijj ab nbsp Dlya poznachennya kvaternionnoyi algebri iz vkazanoyu tabliceyu mnozhennya vikoristovuyetsya poznachennya a b F abo prosto a b 1 Koli pole F maye harakteristiku 2 tablicya mnozhennya bazovih elementiv maye trohi inshij viglyad i 2 i a displaystyle i 2 i a nbsp j 2 b displaystyle j 2 b nbsp i j k displaystyle ij k nbsp j i k j displaystyle ji k j nbsp U bud yakomu vipadku kvaternionna algebra nad F zadana cimi spivvidnoshennyami ye centralnoyu prostoyu algebroyu rozmirnosti 4 nad F i navpaki kozhna centralna prosta algebra rozmirnosti 4 ye kvaternionnoyu algebroyu zadanoyu yakimos iz spivvidnoshen v zalezhnosti vid harakteristiki Dlya elementa q t x i y j z k displaystyle q t xi yj zk nbsp kvaternionnoyi algebri nad polem harakteristika yakogo ne ye rivnoyu 2 jogo spryazhenij element zadayetsya yak q t x i y j z k displaystyle bar q t xi yj zk nbsp Dlya kvaternionnoyi algebri normoyu nazivayetsya vidobrazhennya N t x i y j z k t 2 a x 2 b y 2 a b z 2 displaystyle N t xi yj zk t 2 ax 2 by 2 abz 2 nbsp Ekvivalentno N q q q displaystyle N q q bar q nbsp Pobudova za dopomogoyu etalnih kvadratichnih algebr Redaguvati Dlya poliv dovilnoyi harakteristiki kvaternionnu algebru mozhna pobuduvati za dopomogoyu etalnih kvadratichnih algebr z vikoristannyam pobudovi Keli Diksona Yaksho C ye etalnoyu kvadratichnoyu algebroyu nad F tobto algebroyu izomorfnoyu F F displaystyle F oplus F nbsp abo kvadratichnomu separabelnomu rozshirennyu polya F to isnuye yedinij avtomorfizm J algebri C sho vidriznyayetsya vid odinichnogo i nazivayetsya spryazhennyam Konkretno mozhna vzyati C F m F F n displaystyle C F mu F F nu nbsp de n displaystyle nu nbsp zadovolnyaye rivnyannyu n 2 n m 4 m 1 0 displaystyle nu 2 nu mu 4 mu 1 neq 0 nbsp Spryazhennya u comu vipadku zadayetsya yak J a b n a b b n displaystyle J alpha beta nu alpha beta beta nu nbsp Yaksho mnogochlen x 2 x m displaystyle x 2 x mu nbsp ne maye koreniv u F to C ye separabelnim kvadratichnim rozshirennyam polya F Yaksho cej mnogochlen maye koreni u F to C ye izomorfnoyu F F displaystyle F oplus F nbsp Napriklad dlya m 0 displaystyle mu 0 nbsp mnogochlen maye koreni u F i izomorfizm mizh C F m displaystyle C F mu nbsp i F F displaystyle F oplus F nbsp zadayetsya cherez spivvidnoshennya 1 1 1 displaystyle 1 to 1 1 nbsp i v 0 1 displaystyle v to 0 1 nbsp Takim chinom kozhna etalna kvadratichna algebra C maye viglyad F m displaystyle F mu nbsp Yaksho a ye nenulovim elementom F to na F vektornomu prostori Q C C displaystyle Q C oplus C nbsp mozhna vvesti mnozhennya x y x y xx aJ y y yJ x y x Iz ciyeyu operaciyeyu Q ye kvaternionnoyu algebroyu nad F yaku poznachayut yak C b F Navpaki kozhna kvaternionna algebra nad F mozhe buti otrimana u opisanij sposib Napriklad dlya F R displaystyle F mathbb R nbsp pole kompleksnih chisel C displaystyle mathbb C nbsp ye etalnoyu kvadratichnoyu algebroyu i dlya a 1 algebra Q ye izomorfnoyu zvichajnim kvaternionam Za dopomogoyu separabelnih kvadratichnih rozshiren Redaguvati Nehaj F pole dovilnoyi harakteristiki i L jogo kvadratichne separabelne rozshirennya i 0 3 F displaystyle 0 neq xi in F nbsp Nehaj J poznachaye yedinij neodinichnij F avtomorfizm polya L Todi algebra L L u de u 2 3 displaystyle u 2 xi nbsp i dlya kozhnogo m F displaystyle m in F nbsp takozh u m J m u displaystyle um J m u nbsp ye kvaternionnoyu algebroyu nad F i kozhna kvaternionna algebra oderzhuyetsya v takij sposib Dlya elementiv a bu i c du dobutok ye rivnim a b u c d u a c b J d 3 a b b J c u displaystyle a bu c du ac bJ d xi ab bJ c u nbsp Spryazhennya na kvaternionnij algebri ye linijnim prodovzhennyam J na L i J u u Prikladi RedaguvatiKlasichni kvaternioni ye kvaternionnoyu algebroyu nad F R displaystyle F mathbb R nbsp U comu vipadku a b 1 Dlya split kvaternioniv a 1 b 1 Dlya split kvaternioniv takozh k 2 1 displaystyle k 2 1 nbsp i j k i displaystyle jk i nbsp Split kvaternioni ye izomorfnimi algebri kvadratnih dijsnih matric poryadku 2 Zvichajni kvaternioni i split kvaternioni ye yedinimi prikladami kvaternionnih algebr nad polem dijsnih chisel Vsi inshi ye izomorfnimi odnij iz cih algebr Algebra kvadratnih matric poryadku 2 z elementami z polya F ye kvaternionnoyu algebroyu nad polem F Yaksho F ye skinchennim polem algebrichno zamknutim polem napriklad F C displaystyle F mathbb C nbsp chi navit separabelno zamknutim polem to cya algebra ye yedinoyu z tochnistyu do izomorfizmu Vlastivosti RedaguvatiVsyudi nizhche F ye polem harakteristika yakogo ne ye rivnoyu 2 Kvaternionni algebri a b F i b a F ye izomorfnimi Kvaternionna algebra a b F ye abo algebroyu z dilennyam abo izomorfnoyu algebri 2 2 matric nad F u drugomu vipadku kazhut sho algebra rozsheplyuyetsya 2 Kozhna kvaternionna algebra staye algebroyu matric pislya rozshirennya skalyariv tobto dlya deyakogo rozshirennya K polya F A F K displaystyle A otimes F K nbsp ye izomorfnoyu algebri kvadratnih matric poryadku 2 nad K Element q kvaternionnoyi algebri a b F ye oborotnim todi i tilki koli jogo norma ne dorivnyuye nulyu Yak naslidok kvaternionna algebra ye algebroyu z dilennyam yaksho i tilki yaksho yiyi norma ye rivnoyu nulyu lishe dlya nulovogo elementa Kvaternionna algebra a b F rozsheplyuyetsya yaksho i tilki yaksho b ye rivnim normi deyakogo elementa u kvadratichnomu rozshirenni F a displaystyle F sqrt a nbsp polya F Nehaj A deyaka kvaternionna algebra nad polem F i a F displaystyle a in F nbsp Todi A ye izomorfnoyu kvaternionnij algebri a b F dlya deyakogo b F displaystyle b in F nbsp todi i tilki todi koli F a displaystyle F sqrt a nbsp algebra A F F a displaystyle A otimes F F sqrt a nbsp rozsheplyuyetsya i todi i tilki todi koli A mistit pidpole izomorfne F a displaystyle F sqrt a nbsp Nehaj a b F displaystyle a b F nbsp kvaternionna algebra Todi dlya K F a displaystyle K F sqrt a nbsp algebra A F K displaystyle A otimes F K nbsp ye izomorfnoyu M 2 K displaystyle M 2 K nbsp i dlya kozhnogo takogo izomorfizmu ϕ displaystyle phi nbsp dlya normi vikonuyetsya rivnist N q det ϕ q 1 displaystyle N q det phi q otimes 1 nbsp Konika C a b zadana yaka x 2 b y 2 z 2 displaystyle ax 2 by 2 z 2 nbsp dd maye tochku x y z z koordinatami u poli F dlya algebr sho rozsheplyuyutsya i tilki dlya nih 3 Zastosuvannya RedaguvatiKvaternionni algebri zastosovuyutsya u teoriyi chisel zokrema pri vivchenni kvadratichnih form Voni zokrema viznachayut elementi poryadku 2 u grupi Brauera polya F Dlya deyakih poliv napriklad algebrichnih chislovih poliv kozhen element poryadku 2 u grupi Brauera ye klasom ekvivalentnosti kvaternionnoyi algebri Zgidno teoremi Merkur yeva kozhen element poryadku 2 u grupi Brauera dovilnogo polya ye klasom ekvivalentnosti tenzornogo dobutku kvaternionnih algebr 4 Klasifikaciya RedaguvatiNad polem dijsnih chisel ye dva klasi izomorfizmiv kvaternionnih algebr 2 2 matrici z dijsnimi elementami i klasichni kvaternioni Gamiltona Nad dovilnim lokalnim polem F tezh ye dva klasi izomorfizmiv kvaternionnih algebr 2 2 matrici nad F i odnoznachno viznachena z tochnistyu do izomorfizmu algebri z dilennyam Prote kvaternionna algebra z dilennyam nad lokalnim polem ye zazvichaj ne algebra 1 1 F yak u vipadku dijsnih chisel Napriklad dlya p adichnih chisel 1 1 Q p displaystyle 1 1 mathbb Q p nbsp ye algebrj z dilennyam lishe u vipadku p 2 Odnim iz sposobiv klasifikaciyi kvaternionnih algebr nad F ye odnoznachna vidpovidnist mizh klasami ekvivalentnosti kvaternionnih algebr nad F i klasami ekvivalentnosti yih norm yak kvadratichnih form Kvaternionni algebri nad polem racionalnih chisel RedaguvatiKvaternionni algebri nad polem racionalnih chisel mayut arifmetichnu teoriyu shozhu do kvadratichnih rozshiren Q displaystyle mathbb Q nbsp Nehaj B displaystyle B nbsp kvaternionna algebra nad Q displaystyle mathbb Q nbsp i Q n displaystyle mathbb Q nu nbsp poznachaye popovnennya Q displaystyle mathbb Q nbsp po p adichnij normi tobto p adichni chisla Q p displaystyle mathbb Q p nbsp dlya deyakogo prostogo chisla p abo zvichajnij normi tobto dijsni chisla Q R displaystyle Q infty mathbb R nbsp Algebra B n Q n Q B displaystyle B nu mathbb Q nu otimes mathbb Q B nbsp ye kvaternionnoyu algebroyu nad polem Q n displaystyle mathbb Q nu nbsp Todi B n displaystyle B nu nbsp mozhe buti izomorfnoyu algebri kvadratnih matric poryadku 2 nad Q n displaystyle mathbb Q nu nbsp abo buti algebroyu z dilennyam Kazhut sho algebra B displaystyle B nbsp rozsheplyuyetsya u n displaystyle nu nbsp yaksho B n displaystyle B nu nbsp ye izomorfnoyu algebri kvadratnih matric poryadku 2 nad Q n displaystyle mathbb Q nu nbsp V inshomu vipadku algebra ne rozsheplyuyetsya u n displaystyle nu nbsp Napriklad racionalni kvaternioni 1 1 Q ne rozsheplyuyutsya u 2 i displaystyle infty nbsp i rozsheplyuyutsya dlya vsih neparnih prostih chisel Algebra racionalnih kvadratnih matric poryadku 2 rozsheplyuyetsya dlya vsih n displaystyle nu nbsp Kvaternionna algebra nad polem racionalnih chisel yaka rozsheplyuyetsya u displaystyle infty nbsp ye analogom dijsnogo kvadratichnogo polya a algebra yaka ne rozsheplyuyetsya u displaystyle infty nbsp ye analogom uyavnogo kvadratichnogo polya Kilkist n displaystyle nu nbsp de kvaternionna algebra nad polem racionalnih chisel ne rozsheplyuyetsya ye parnim chislom Do togo zh cya mnozhina viznachaye B z tochnistyu do izomorfizmu Dobutok prostih chisel po yakih B rozsheplyuyetsya nazivayetsya diskriminantom B Primitki Redaguvati Gille amp Szamuely 2006 p 2 Gille amp Szamuely 2006 p 3 Gille amp Szamuely 2006 p 7 Lam 2005 p 139Div takozh RedaguvatiKvaternioni Centralna prosta algebraLiteratura RedaguvatiGille Philippe Szamuely Tamas 2017 Central simple algebras and Galois cohomology Cambridge Studies in Advanced Mathematics 165 Cambridge Cambridge University Press ISBN 978 1 107 15637 1 Knus Max Albert Merkurjev Alexander Rost Markus Tignol Jean Pierre 1998 The book of involutions Colloquium Publications 44 With a preface by J Tits Providence RI American Mathematical Society ISBN 0 8218 0904 0 MR 1632779 Zbl 0955 16001 Lam Tsit Yuen 2005 Introduction to Quadratic Forms over Fields Graduate Studies in Mathematics 67 American Mathematical Society ISBN 0 8218 1095 2 MR 2104929 Zbl 1068 11023 Vigneras Marie France 1980 Arithmetique Des Algebres De Quaternions Lecture notes in Mathematics French 800 Springer Verlag ISBN 978 0387099835 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Kvaternionna algebra amp oldid 26668179