www.wikidata.uk-ua.nina.az

Раціональне число Раціональні числа в математиці множина раціональних чисел визначається як множина нескоротних дробів і

Раціональне число

Раціональні числа — в математиці множина раціональних чисел визначається як множина нескоротних дробів із цілим чисельником і натуральним знаменником:

Раціональне число
Досліджується в rational number theoryd
Формула
Позначення у формулі , , , і
Протилежно Ірраціональні числа
Підтримується Вікіпроєктом Вікіпедія:Проєкт:Математика
 Раціональне число у Вікісховищі
Відображення натуральних, цілих, раціональних, дійсних і комплексних чисел
колами Ейлера

або як множина розв'язків рівняння

тобто n — натуральне число, m — ціле число.

Множина раціональних чисел є підмножиною алгебраїчних та дійсних чисел.

Термінологія ред.

Формальне означення ред.

Можна дати формальне означення раціональних чисел як множини класів еквівалентності пар за відношенням еквівалентності

При цьому операції додавання й множення визначаються так:

Пов'язані ред.

Правильним зветься дріб, в якого модуль чисельника менший за модуль знаменника.

Дріб, який не є правильним, зветься неправильним.

Наприклад, дроби , та  є правильними, а , та  є неправильними.

Будь-яке ціле число (крім нуля) можна подати в вигляді неправильного дробу зі знаменником 1.

Число 0 є правильним дробом .

Дріб, записаний як ціле число й правильний дріб, зветься мішаним дробом й розглядається як сума цього числа та дробу.

Наприклад, .

У строгій математичній літературі запис у вигляді змішаного дробу переважно не використовується через подібність позначення змішаного дробу з позначенням добутку цілого числа з дробом.

Властивості ред.

Основні властивості ред.

Для раціональних чисел виконуються шістнадцять основних властивостей, які можна отримати з властивостей цілих чисел.

  1. Впорядкованість. Для будь-яких раціональних чисел та існує правило, яке дозволяє однозначно ідентифікувати між ними одне й тільки одне з трьох відношень: «», «» або «». Це правило зветься правилом впорядкування і формулюється так: два невід'ємні числа та зв'язані тим же відношенням, що й два цілі числа та ; два недодатні числа та зв'язані тим же відношенням, що й два невід'ємні числа и ; якщо ж невід'ємне, а  — від'ємне, то .
  2. Операція додавання. Для будь-яких раціональних чисел та існує правило додавання, яке ставить їм у відповідність певне раціональне число . При цьому число зветься сумою чисел та й позначається , а процес знаходження такого числа зветься додаванням. Правило додавання має такий вигляд: .
  3. Операція множення. Для будь-яких раціональних чисел та існує правило множення, яке ставить їм у відповідність певне раціональне число . При цьому число зветься добутком чисел та й позначається , а процес знаходження такого числа зветься множенням. Правило множення має такий вигляд: .
  4. Транзитивність відношення порядку. Для будь-якої трійки раціональних чисел , та якщо менше та менше , то менше , а якщо дорівнює й дорівнює , то дорівнює .
  5. Комутативність додавання. Від зміни місць раціональних доданків сума не змінюється.
  6. Асоціативність додавання. Порядок додавання трьох раціональних чисел не впливає на результат.
  7. Існування нуля. Існує раціональне число 0 (нуль), яке не змінює будь-яке інше раціональне число при додаванні.
  8. Існування протилежних чисел. Будь-яке раціональне число має відповідне протилежне раціональне число, при додаванні до якого утворюється 0.
  9. Комутативність множення. Від зміни місць раціональних множників добуток не змінюється.
  10. Асоціативність множення. Порядок множення трьох раціональних чисел не впливає на результат.
  11. Існування одиниці. Існує раціональне число 1, яке не змінює будь-яке інше раціональне число при множенні.
  12. Існування обернених чисел. Будь-яке раціональне число, що не дорівнює нулю, має відповідне обернене раціональне число, множення на яке дає 1.
  13. Дистрибутивність множення відносно додавання. Операція множення узгоджена з операцією додавання за допомогою розподільного закону:
  14. Зв'язок відношення порядку з операцією додавання. До лівої й правої частин раціональної нерівності можна додавати одне й те ж раціональне число.
  15. Зв'язок відношення порядку з операцією множення. Ліву й праву частини раціональної нерівності можна множити на одне й те ж додатне раціональне число.
  16. Аксіома Архімеда. Яким би не було раціональне число , можна взяти стільки одиниць, що їхня сума буде більшою за .

Додаткові властивості ред.

Решта властивостей раціональних чисел не входять до основних, бо вони не опираються на властивості цілих чисел, а можуть бути доведені з використанням основних властивостей чи за означенням певного математичного об'єкта. Таких властивостей дуже багато, ось деякі з них:

  • Друге відношення порядку «>» також транзитивне.
  • Добуток будь-якого раціонального числа на нуль дорівнює нулю.
  • Раціональні нерівності одного знаку можна почленно додавати.
  • Множина раціональних чисел є полем відносно операцій додавання та множення дробів.
  • Кожне раціональне число є алгебраїчним.

Топологічні властивості ред.

Підпростір евклідового простору має такі властивості:

Зліченність ред.

Нумерація раціональних чисел

Зліченна множина — в теорії множин така нескінченна множина, елементи якої можна занумерувати натуральними числами. Легко довести, що множина раціональних чисел зліченна. Для цього достатньо привести алгоритм, який нумерує раціональні числа, тобто встановлює бієкцію між множинами раціональних і натуральних чисел. Ілюстрація зображує один з варіантів цього алгоритму. Існують і інші способи занумерувати раціональні числа. Наприклад для цього можна використати ряд Фарея, дерево Калкіна — Вілфа або дерево Штерна — Броко.

Див. також ред.

Виноски ред.

  1. В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 2. Вещественные числа // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М. : Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 30 — 31. — ISBN 5-482-00445-7.

Джерела ред.

Вікіпідручник має книгу на тему
Основні числові системи
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Racionalni chisla v matematici mnozhina racionalnih chisel viznachayetsya yak mnozhina neskorotnih drobiv iz cilim chiselnikom i naturalnim znamennikom Racionalne chisloDoslidzhuyetsya vrational number theorydFormulaa b Q a Z b N displaystyle frac a b in mathbb Q Leftrightarrow a in mathbb Z b in mathbb N Poznachennya u formuliQ displaystyle mathbb Q Z displaystyle mathbb Z N displaystyle mathbb N a displaystyle a i b displaystyle b ProtilezhnoIrracionalni chislaPidtrimuyetsya VikiproyektomVikipediya Proyekt Matematika Racionalne chislo u VikishovishiVidobrazhennya naturalnih cilih racionalnih dijsnih i kompleksnih chisel kolami Ejlera Q m n m Z n N displaystyle mathbb Q left frac m n m in mathbb Z n in mathbb N right abo yak mnozhina rozv yazkiv rivnyannya n x m n N m Z displaystyle nx m quad n in mathbb N quad m in mathbb Z tobto n naturalne chislo m cile chislo Mnozhina racionalnih chisel ye pidmnozhinoyu algebrayichnih ta dijsnih chisel Zmist 1 Terminologiya 1 1 Formalne oznachennya 1 2 Pov yazani 2 Vlastivosti 2 1 Osnovni vlastivosti 2 2 Dodatkovi vlastivosti 2 3 Topologichni vlastivosti 3 Zlichennist 4 Div takozh 5 Vinoski 6 DzherelaTerminologiya red Formalne oznachennya red Mozhna dati formalne oznachennya racionalnih chisel yak mnozhini klasiv ekvivalentnosti par m n m Z n N displaystyle left m n mid m in mathbb Z n in mathbb N right nbsp za vidnoshennyam ekvivalentnosti m n m n m n m n displaystyle m n sim m n iff m cdot n m cdot n nbsp Pri comu operaciyi dodavannya j mnozhennya viznachayutsya tak m 1 n 1 m 2 n 2 m 1 n 2 m 2 n 1 n 1 n 2 displaystyle left m 1 n 1 right left m 2 n 2 right left m 1 cdot n 2 m 2 cdot n 1 n 1 cdot n 2 right nbsp m 1 n 1 m 2 n 2 m 1 m 2 n 1 n 2 displaystyle left m 1 n 1 right cdot left m 2 n 2 right left m 1 cdot m 2 n 1 cdot n 2 right nbsp Pov yazani red Pravilnim zvetsya drib v yakogo modul chiselnika menshij za modul znamennika Drib yakij ne ye pravilnim zvetsya nepravilnim Napriklad drobi 3 5 displaystyle frac 3 5 nbsp 7 8 displaystyle frac 7 8 nbsp ta 1 2 displaystyle frac 1 2 nbsp ye pravilnimi a 8 3 displaystyle frac 8 3 nbsp 9 5 displaystyle frac 9 5 nbsp ta 2 1 displaystyle frac 2 1 nbsp ye nepravilnimi Bud yake cile chislo krim nulya mozhna podati v viglyadi nepravilnogo drobu zi znamennikom 1 Chislo 0 ye pravilnim drobom 0 1 displaystyle frac 0 1 nbsp Drib zapisanij yak cile chislo j pravilnij drib zvetsya mishanim drobom j rozglyadayetsya yak suma cogo chisla ta drobu Napriklad 2 3 7 2 3 7 14 7 3 7 17 7 displaystyle 2 frac 3 7 2 frac 3 7 frac 14 7 frac 3 7 frac 17 7 nbsp U strogij matematichnij literaturi zapis u viglyadi zmishanogo drobu perevazhno ne vikoristovuyetsya cherez podibnist poznachennya zmishanogo drobu z poznachennyam dobutku cilogo chisla z drobom Vlastivosti red Osnovni vlastivosti red Dlya racionalnih chisel vikonuyutsya shistnadcyat osnovnih vlastivostej yaki mozhna otrimati z vlastivostej cilih chisel 1 Vporyadkovanist Dlya bud yakih racionalnih chisel a displaystyle a nbsp ta b displaystyle b nbsp isnuye pravilo yake dozvolyaye odnoznachno identifikuvati mizh nimi odne j tilki odne z troh vidnoshen lt displaystyle lt nbsp gt displaystyle gt nbsp abo displaystyle nbsp Ce pravilo zvetsya pravilom vporyadkuvannya i formulyuyetsya tak dva nevid yemni chisla a m a n a displaystyle a frac m a n a nbsp ta b m b n b displaystyle b frac m b n b nbsp zv yazani tim zhe vidnoshennyam sho j dva cili chisla m a n b displaystyle m a cdot n b nbsp ta m b n a displaystyle m b cdot n a nbsp dva nedodatni chisla a displaystyle a nbsp ta b displaystyle b nbsp zv yazani tim zhe vidnoshennyam sho j dva nevid yemni chisla b displaystyle left b right nbsp i a displaystyle left a right nbsp yaksho zh a displaystyle a nbsp nevid yemne a b displaystyle b nbsp vid yemne to a gt b displaystyle a gt b nbsp a b Q a lt b a gt b a b displaystyle forall a b in mathbb Q left a lt b lor a gt b lor a b right nbsp nbsp Dodavannya drobiv Operaciya dodavannya Dlya bud yakih racionalnih chisel a displaystyle a nbsp ta b displaystyle b nbsp isnuye pravilo dodavannya yake stavit yim u vidpovidnist pevne racionalne chislo c displaystyle c nbsp Pri comu chislo c displaystyle c nbsp zvetsya sumoyu chisel a displaystyle a nbsp ta b displaystyle b nbsp j poznachayetsya a b displaystyle left a b right nbsp a proces znahodzhennya takogo chisla zvetsya dodavannyam Pravilo dodavannya maye takij viglyad m a n a m b n b m a n b m b n a n a n b displaystyle frac m a n a frac m b n b frac m a cdot n b m b cdot n a n a cdot n b nbsp a b Q a b Q displaystyle forall a b in mathbb Q exists left a b right in mathbb Q nbsp Operaciya mnozhennya Dlya bud yakih racionalnih chisel a displaystyle a nbsp ta b displaystyle b nbsp isnuye pravilo mnozhennya yake stavit yim u vidpovidnist pevne racionalne chislo c displaystyle c nbsp Pri comu chislo c displaystyle c nbsp zvetsya dobutkom chisel a displaystyle a nbsp ta b displaystyle b nbsp j poznachayetsya a b displaystyle left a cdot b right nbsp a proces znahodzhennya takogo chisla zvetsya mnozhennyam Pravilo mnozhennya maye takij viglyad m a n a m b n b m a m b n a n b displaystyle frac m a n a cdot frac m b n b frac m a cdot m b n a cdot n b nbsp a b Q a b Q displaystyle forall a b in mathbb Q exists left a cdot b right in mathbb Q nbsp Tranzitivnist vidnoshennya poryadku Dlya bud yakoyi trijki racionalnih chisel a displaystyle a nbsp b displaystyle b nbsp ta c displaystyle c nbsp yaksho a displaystyle a nbsp menshe b displaystyle b nbsp ta b displaystyle b nbsp menshe c displaystyle c nbsp to a displaystyle a nbsp menshe c displaystyle c nbsp a yaksho a displaystyle a nbsp dorivnyuye b displaystyle b nbsp j b displaystyle b nbsp dorivnyuye c displaystyle c nbsp to a displaystyle a nbsp dorivnyuye c displaystyle c nbsp a b c Q a lt b b lt c a lt c a b b c a c displaystyle forall a b c in mathbb Q left a lt b land b lt c Rightarrow a lt c right land left a b land b c Rightarrow a c right nbsp Komutativnist dodavannya Vid zmini misc racionalnih dodankiv suma ne zminyuyetsya a b Q a b b a displaystyle forall a b in mathbb Q a b b a nbsp Asociativnist dodavannya Poryadok dodavannya troh racionalnih chisel ne vplivaye na rezultat a b c Q a b c a b c displaystyle forall a b c in mathbb Q left a b right c a left b c right nbsp Isnuvannya nulya Isnuye racionalne chislo 0 nul yake ne zminyuye bud yake inshe racionalne chislo pri dodavanni 0 Q a Q a 0 a displaystyle exists 0 in mathbb Q forall a in mathbb Q a 0 a nbsp Isnuvannya protilezhnih chisel Bud yake racionalne chislo maye vidpovidne protilezhne racionalne chislo pri dodavanni do yakogo utvoryuyetsya 0 a Q a Q a a 0 displaystyle forall a in mathbb Q exists left a right in mathbb Q a left a right 0 nbsp Komutativnist mnozhennya Vid zmini misc racionalnih mnozhnikiv dobutok ne zminyuyetsya a b Q a b b a displaystyle forall a b in mathbb Q a cdot b b cdot a nbsp Asociativnist mnozhennya Poryadok mnozhennya troh racionalnih chisel ne vplivaye na rezultat a b c Q a b c a b c displaystyle forall a b c in mathbb Q left a cdot b right cdot c a cdot left b cdot c right nbsp Isnuvannya odinici Isnuye racionalne chislo 1 yake ne zminyuye bud yake inshe racionalne chislo pri mnozhenni 1 Q a Q a 1 a displaystyle exists 1 in mathbb Q forall a in mathbb Q a cdot 1 a nbsp Isnuvannya obernenih chisel Bud yake racionalne chislo sho ne dorivnyuye nulyu maye vidpovidne obernene racionalne chislo mnozhennya na yake daye 1 a Q a 1 Q a a 1 1 displaystyle forall a in mathbb Q exists a 1 in mathbb Q a cdot a 1 1 nbsp Distributivnist mnozhennya vidnosno dodavannya Operaciya mnozhennya uzgodzhena z operaciyeyu dodavannya za dopomogoyu rozpodilnogo zakonu a b c Q a b c a c b c displaystyle forall a b c in mathbb Q left a b right cdot c a cdot c b cdot c nbsp Zv yazok vidnoshennya poryadku z operaciyeyu dodavannya Do livoyi j pravoyi chastin racionalnoyi nerivnosti mozhna dodavati odne j te zh racionalne chislo a b c Q a lt b a c lt b c displaystyle forall a b c in mathbb Q a lt b Rightarrow a c lt b c nbsp Zv yazok vidnoshennya poryadku z operaciyeyu mnozhennya Livu j pravu chastini racionalnoyi nerivnosti mozhna mnozhiti na odne j te zh dodatne racionalne chislo a b c Q c gt 0 a lt b a c lt b c displaystyle forall a b c in mathbb Q c gt 0 land a lt b Rightarrow a cdot c lt b cdot c nbsp Aksioma Arhimeda Yakim bi ne bulo racionalne chislo a displaystyle a nbsp mozhna vzyati stilki odinic sho yihnya suma bude bilshoyu za a displaystyle a nbsp a Q n N k 1 n 1 gt a displaystyle forall a in mathbb Q exists n in mathbb N sum k 1 n 1 gt a nbsp Dodatkovi vlastivosti red Reshta vlastivostej racionalnih chisel ne vhodyat do osnovnih bo voni ne opirayutsya na vlastivosti cilih chisel a mozhut buti dovedeni z vikoristannyam osnovnih vlastivostej chi za oznachennyam pevnogo matematichnogo ob yekta Takih vlastivostej duzhe bagato os deyaki z nih Druge vidnoshennya poryadku gt takozh tranzitivne a b c Q a gt b b gt c a gt c displaystyle forall a b c in mathbb Q a gt b land b gt c Rightarrow a gt c nbsp Dobutok bud yakogo racionalnogo chisla na nul dorivnyuye nulyu a Q a 0 0 displaystyle forall a in mathbb Q a cdot 0 0 nbsp Racionalni nerivnosti odnogo znaku mozhna pochlenno dodavati a b c d Q a gt b c gt d a c gt b d displaystyle forall a b c d in mathbb Q a gt b land c gt d Rightarrow a c gt b d nbsp Mnozhina racionalnih chisel Q displaystyle mathbb Q nbsp ye polem vidnosno operacij dodavannya ta mnozhennya drobiv Q displaystyle left mathbb Q cdot right nbsp pole Kozhne racionalne chislo ye algebrayichnim Q A displaystyle mathbb Q subset mathbb A nbsp Topologichni vlastivosti red Pidprostir Q displaystyle mathbb Q nbsp evklidovogo prostoru R displaystyle mathbb R nbsp maye taki vlastivosti Q displaystyle mathbb Q nbsp ye Fs mnozhinoyu ale ne ye Gd mnozhinoyu v R displaystyle mathbb R nbsp Evklidova metrika peretvoryuye Q displaystyle mathbb Q nbsp na metrichnij prostir yakij ye cilkom normalnim ta parakompaktnim Q displaystyle mathbb Q nbsp yak zlichenne ob yednannya odnotochkovih mnozhin ye prostorom pershoyi kategoriyi Q displaystyle mathbb Q nbsp separabelnij Q displaystyle mathbb Q nbsp zadovolnyaye drugu aksiomu zlichennosti Q displaystyle mathbb Q nbsp ne lokalno kompaktnij i ne s lokalno kompaktnij Q displaystyle mathbb Q nbsp s kompaktnij Q displaystyle mathbb Q nbsp cilkom vidokremlenij Q displaystyle mathbb Q nbsp shilnij u sobi i ne rozsiyanij Q displaystyle mathbb Q nbsp nulvimirnij Peretin 0 1 Q displaystyle 0 1 cap mathbb Q nbsp cilkom obmezhenij ale ne kompaktnij Zlichennist red nbsp Numeraciya racionalnih chiselZlichenna mnozhina v teoriyi mnozhin taka neskinchenna mnozhina elementi yakoyi mozhna zanumeruvati naturalnimi chislami Legko dovesti sho mnozhina racionalnih chisel zlichenna Dlya cogo dostatno privesti algoritm yakij numeruye racionalni chisla tobto vstanovlyuye biyekciyu mizh mnozhinami racionalnih i naturalnih chisel Ilyustraciya zobrazhuye odin z variantiv cogo algoritmu Isnuyut i inshi sposobi zanumeruvati racionalni chisla Napriklad dlya cogo mozhna vikoristati ryad Fareya derevo Kalkina Vilfa abo derevo Shterna Broko Div takozh red Drib Racionalnij viraz Dijsni chisla Irracionalni chisla Shilnij poryadokVinoski red V A Ilin V A Sadovnichij Bl H Sendov Glava 2 Veshestvennye chisla Matematicheskij analiz Pod red A N Tihonova 3 e izd pererab i dop M Prospekt 2006 T 1 S 30 31 ISBN 5 482 00445 7 Dzherela red Vikipidruchnik maye knigu na temu Osnovni chislovi sistemiAleksandrov P S Vvedenie v teoriyu mnozhestv i obshuyu topologiyu Moskva Nauka 1977 368 s ISBN 5354008220 ros Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Racionalne chislo amp oldid 40240580