www.wikidata.uk-ua.nina.az

Площа фігури Площа плоскої фігури адитивна числова характеристика фігури яка розташована в площині У найпростішому випад

Площа фігури

Площа плоскої фігури — адитивна числова характеристика фігури, яка розташована в площині. У найпростішому випадку, коли фігуру можна розбити на кінцеву множину одиничних квадратів, площа дорівнює кількості квадратів.

Визначення та властивості площі

Формальне введення поняття площі і об'єму здійснюється з допомогою міри Жордана, тут наведено інтуїтивно зрозуміле визначення.

Площа — це дійснозначна функція, визначена на певному класі фігур евклідової площини і задовольняє чотирьом умовам:

  1. Додатність — площа невід'ємна;
  2. Нормування — квадрат зі стороною одиниця має площу 1;
  3. Конгруентність — конгруентні фігури мають рівну площу;
  4. Адитивність — площа об'єднання двох фігур без спільних внутрішніх точок дорівнює сумі площ.

Певний клас фігур повинен бути замкнений відносно операцій перетину та об'єднання, а також відносно рухів площини і включати в себе всі багатокутники. З цих аксіом слідує монотонність площі, тобто

  • Якщо одна фігура міститься в іншій фігурі, то площа першої не перевершує площі другої: Найчастіше за «певний клас» беруть множину квадрованих фігур. Фігура називається квадрованою, якщо для будь-якого існує пара багатокутників і , такі, що i , де позначає площу .

Пов'язані визначення

  • Дві фігури називаються рівновеликими, якщо вони мають однакову площу.

Коментарі

Існує математично строгий, але неоднозначний спосіб визначити площу для всіх обмежених підмножин площині. Тобто на множині всіх обмежених підмножин площині існують різні функції площі, що задовольняють вищенаведеним аксіомам, а множина квадрованих фігур є максимальною множиною фігур, на яких площа визначається однозначно.

Площі деяких фігур

Фігура Формула Коментар
Правильний трикутник  — довжина сторони трикутника.
Трикутник Формула Герона.  — півпериметр, , і  — довжини сторін трикутника.
Трикутник і  — дві сторони трикутника, а  — кут між ними.
Трикутник і  — сторона трикутника і висота, проведена до цієї сторони.
Квадрат  — довжина сторони квадрата.
Прямокутник і  — довжини сторін прямокутника.
Ромб  — сторона ромба,  — внутрішній кут, ,  — діагоналі.
Паралелограм  — довжина однієї із сторін паралелограму, а  — висота, проведена до цієї сторони.
Трапеція і  — довжини паралельних сторін, а  — відстань між ними (висота).
Правильний шестикутник  — довжина сторони шестикутника.
Правильний восьмикутник  — довжина сторони восьмикутника.
Правильний багатокутник  — довжина сторони багатокутника, а  — кількість сторін багатокутника.
Правильний багатокутник  — апофема (або радіус вписаного в багатокутник кола), а  — периметр багатокутника.
Коло або  — радіус кола, а  — його діаметр.
Сектор кола i  — відповідно радіус і кут сектора (в радіанах).
Еліпс і  — велика і мала півосі еліпса.
Поверхня Циліндра і  — радіус і висота циліндра відповідно.
Бічна поверхня циліндра і  — радіус і висота циліндра відповідно.
Поверхня конуса і  — радіус та довжина твірної відповідно.
Бічна поверхня конуса і  — радіус та довжина твірної відповідно.
Поверхня сфери  i  — радіус та діаметр, відповідно.
Поверхня еліпсоїда див. статтю.
  • Площа трикутника дорівнює половині добутку сторони на висоту, проведену до цієї сторони:
  • Площа прямокутника дорівнює добутку його суміжних сторін:
  • Площа довільного чотирикутника ABCD дорівнює половині добутку діагоналей і синуса кута між ними:
  • Площа ромба ABCD дорівнює половині добутку діагоналей:
  • Площа паралелограма дорівнює добутку сторони на висоту, проведену до цієї сторони:
  • Площа трапеції дорівнює добутку півсумі суми основ на висоту:

Див. також

Література

  • Kurt Endl, Wolfgang Luh: Analysis. Band 2. 7. überarbeitete Auflage. Aula-Verlag, Wiesbaden 1989, ISBN 3-89104-455-0, С. 224.

Ресурси Інтернету

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Plosha ploskoyi figuri aditivna chislova harakteristika figuri yaka roztashovana v ploshini U najprostishomu vipadku koli figuru mozhna rozbiti na kincevu mnozhinu odinichnih kvadrativ plosha dorivnyuye kilkosti kvadrativ Zmist 1 Viznachennya ta vlastivosti ploshi 2 Pov yazani viznachennya 3 Komentari 4 Ploshi deyakih figur 5 Div takozh 6 Literatura 7 Resursi InternetuViznachennya ta vlastivosti ploshi RedaguvatiFormalne vvedennya ponyattya ploshi i ob yemu zdijsnyuyetsya z dopomogoyu miri Zhordana tut navedeno intuyitivno zrozumile viznachennya Plosha ce dijsnoznachna funkciya viznachena na pevnomu klasi figur evklidovoyi ploshini i zadovolnyaye chotirom umovam Dodatnist plosha nevid yemna Normuvannya kvadrat zi storonoyu odinicya maye ploshu 1 Kongruentnist kongruentni figuri mayut rivnu ploshu Aditivnist plosha ob yednannya dvoh figur bez spilnih vnutrishnih tochok dorivnyuye sumi plosh Pevnij klas figur povinen buti zamknenij vidnosno operacij peretinu ta ob yednannya a takozh vidnosno ruhiv ploshini i vklyuchati v sebe vsi bagatokutniki Z cih aksiom sliduye monotonnist ploshi tobto Yaksho odna figura mistitsya v inshij figuri to plosha pershoyi ne perevershuye ploshi drugoyi Najchastishe za pevnij klas berut mnozhinu kvadrovanih figur Figura F displaystyle F nazivayetsya kvadrovanoyu yaksho dlya bud yakogo e gt 0 displaystyle varepsilon gt 0 isnuye para bagatokutnikiv P displaystyle P i Q displaystyle Q taki sho P F Q displaystyle P subset F subset Q i S Q S P lt e displaystyle S Q S P lt varepsilon de S P displaystyle S P poznachaye ploshu P displaystyle P Pov yazani viznachennya RedaguvatiDvi figuri nazivayutsya rivnovelikimi yaksho voni mayut odnakovu ploshu Komentari RedaguvatiIsnuye matematichno strogij ale neodnoznachnij sposib viznachiti ploshu dlya vsih obmezhenih pidmnozhin ploshini Tobto na mnozhini vsih obmezhenih pidmnozhin ploshini isnuyut rizni funkciyi ploshi sho zadovolnyayut vishenavedenim aksiomam a mnozhina kvadrovanih figur ye maksimalnoyu mnozhinoyu figur na yakih plosha viznachayetsya odnoznachno Ploshi deyakih figur Redaguvati Figura Formula KomentarPravilnij trikutnik 1 4 3 a 2 displaystyle tfrac 1 4 sqrt 3 a 2 a displaystyle a dovzhina storoni trikutnika Trikutnik p p a p b p c displaystyle sqrt p p a p b p c Formula Gerona p displaystyle p pivperimetr a displaystyle a b displaystyle b i c displaystyle c dovzhini storin trikutnika Trikutnik 1 2 a b sin a displaystyle tfrac 1 2 ab sin alpha a displaystyle a i b displaystyle b dvi storoni trikutnika a a displaystyle alpha kut mizh nimi Trikutnik 1 2 b h displaystyle tfrac 1 2 bh b displaystyle b i h displaystyle h storona trikutnika i visota provedena do ciyeyi storoni Kvadrat a 2 displaystyle a 2 a displaystyle a dovzhina storoni kvadrata Pryamokutnik a b displaystyle ab a displaystyle a i b displaystyle b dovzhini storin pryamokutnika Romb a 2 sin a 1 2 b c displaystyle a 2 sin alpha tfrac 1 2 bc a displaystyle a storona romba a displaystyle alpha vnutrishnij kut b displaystyle b c displaystyle c diagonali Paralelogram b h displaystyle bh b displaystyle b dovzhina odniyeyi iz storin paralelogramu a h displaystyle h visota provedena do ciyeyi storoni Trapeciya 1 2 a b h displaystyle tfrac 1 2 a b h a displaystyle a i b displaystyle b dovzhini paralelnih storin a h displaystyle h vidstan mizh nimi visota Pravilnij shestikutnik 3 2 3 a 2 displaystyle tfrac 3 2 sqrt 3 a 2 a displaystyle a dovzhina storoni shestikutnika Pravilnij vosmikutnik 2 1 2 a 2 displaystyle 2 left 1 sqrt 2 right a 2 a displaystyle a dovzhina storoni vosmikutnika Pravilnij bagatokutnik n a 2 4 tan p n displaystyle frac na 2 4 cdot tan pi n a displaystyle a dovzhina storoni bagatokutnika a n displaystyle n kilkist storin bagatokutnika Pravilnij bagatokutnik 1 2 a p displaystyle tfrac 1 2 ap a displaystyle a apofema abo radius vpisanogo v bagatokutnik kola a p displaystyle p perimetr bagatokutnika Kolo p r 2 displaystyle pi r 2 abo p d 2 4 displaystyle frac pi d 2 4 r displaystyle r radius kola a d displaystyle d jogo diametr Sektor kola 1 2 r 2 8 displaystyle tfrac 1 2 r 2 theta r displaystyle r i 8 displaystyle theta vidpovidno radius i kut sektora v radianah Elips p a b displaystyle pi ab a displaystyle a i b displaystyle b velika i mala pivosi elipsa Poverhnya Cilindra 2 p r r h displaystyle 2 pi r r h r displaystyle r i h displaystyle h radius i visota cilindra vidpovidno Bichna poverhnya cilindra 2 p r h displaystyle 2 pi rh r displaystyle r i h displaystyle h radius i visota cilindra vidpovidno Poverhnya konusa p r r l displaystyle pi r r l r displaystyle r i l displaystyle l radius ta dovzhina tvirnoyi vidpovidno Bichna poverhnya konusa p r l displaystyle pi rl r displaystyle r i l displaystyle l radius ta dovzhina tvirnoyi vidpovidno Poverhnya sferi 4 p r 2 p d 2 displaystyle 4 pi r 2 text pi d 2 r displaystyle r i d displaystyle d radius ta diametr vidpovidno Poverhnya elipsoyida div stattyu Plosha trikutnika dorivnyuye polovini dobutku storoni na visotu provedenu do ciyeyi storoni S 1 2 a h displaystyle S frac 1 2 ah Plosha pryamokutnika dorivnyuye dobutku jogo sumizhnih storin S a b displaystyle S ab Plosha dovilnogo chotirikutnika ABCD dorivnyuye polovini dobutku diagonalej i sinusa kuta mizh nimi S A B C D 1 2 A C B D sin b displaystyle S ABCD frac 1 2 AC cdot BD cdot sin beta de b displaystyle beta kut mizh diagonalyami Plosha romba ABCD dorivnyuye polovini dobutku diagonalej S A B C D 1 2 A C B D displaystyle S ABCD frac 1 2 AC cdot BD Plosha paralelograma dorivnyuye dobutku storoni na visotu provedenu do ciyeyi storoni S a h displaystyle S ah Plosha trapeciyi dorivnyuye dobutku pivsumi sumi osnov na visotu S a b 2 h displaystyle S frac a b 2 cdot h Div takozh RedaguvatiMira Borelya Mira Zhordana Mira Lebega Oriyentovana plosha Plosha poverhni Teorema Bojyai Gervina pro rivnoskladenist rivnovelikih bagatokutnikiv Zagadka zniklogo kvadrataLiteratura RedaguvatiKurt Endl Wolfgang Luh Analysis Band 2 7 uberarbeitete Auflage Aula Verlag Wiesbaden 1989 ISBN 3 89104 455 0 S 224 Resursi Internetu RedaguvatiGebiet in Kurvenintegrale und konservative Vektorfelder auf Mathematik Online Uni Stuttgart Arhivovano 21 travnya 2016 u Wayback Machine V Boltyanskij O ponyatiyah ploshadi i obyoma Arhivovano 5 travnya 2017 u Wayback Machine Kvant 5 1977 B P Gejdman Ploshadi mnogougolnikov Arhivovano 10 chervnya 2017 u Wayback Machine Biblioteka Matematicheskoe prosveshenie Arhivovano 12 sichnya 2014 u Wayback Machine vypusk 16 2002 V A Rohlin Ploshad i obyom Arhivovano 11 kvitnya 2021 u Wayback Machine Enciklopediya elementarnoj matematiki Kniga 5 Geometriya pod redakciej P S Aleksandrova A I Markushevicha i A Ya Hinchina Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Plosha figuri amp oldid 36157128