www.wikidata.uk-ua.nina.az

Алгебрична крива Алгебричні криві це найпростіші об єкти евклідової геометрії для визначення яких недостатньо лінійних р

Алгебрична крива

Алгебричні криві — це найпростіші об'єкти евклідової геометрії, для визначення яких недостатньо лінійних рівнянь. Зокрема, в евклідовій геометрії плоска алгебрична крива визначається як множина нулів многочлена від двох змінних. Наприклад, одиничне коло — це алгебрична крива, оскільки вона задається рівнянням x2 +y2-1 = 0.

Кубика Чирнгауза — алгебрична крива третього порядку.

За багатьма технічними причинами зручно також розглядати комплексні корені відповідного многочлена, а також узагальнити визначення на випадок довільного поля.

В алгебричній геометрії, плоска афінна алгебрична крива над полем k визначається як множина точок K2, які є коренями многочлена від двох змінних з коефіцієнтами в k, де K — алгебричне замикання поля k. Точки цієї кривої, всі координати яких лежать в k, називаються k-точками. Наприклад, точка належить розглянутому вище одиничному колу, однак не належить його дійсній частині. Многочлен x2 +y2 + 1 задає алгебричну криву, дійсна частина якої порожня.

Більш загально, можна розглядати алгебричні криві, що містяться не в площині, а в просторі з довільною розмірністю або в проєктивному просторі. Виявляється, що багато властивостей алгебричної кривої не залежить від вибору конкретного вкладення в деякий простір, і це призводить до загального визначення алгебричної кривої:

Алгебрична крива — це алгебричний многовид розмірності 1. Це визначення можна переформулювати так: алгебрична крива — це алгебричний многовид, всі підмноговиди якого складаються з однієї точки.

Приклади алгебричних кривих Редагувати

Раціональні криві Редагувати

Раціональна крива, також відома як унікурсальна крива, — це крива, біраціонально еквівалентна афінній прямій (або проєктивній прямій), іншими словами, крива, на якій можлива раціональна параметризація.

Більш конкретно, раціональна крива в n-вимірному просторі може бути параметризована (за винятком деякого числа ізольованих «особливих точок») за допомогою n раціональних функцій від єдиного параметра t.

x2 + xy + y2 = 1

Наприклад, розглянемо еліпс x2 +xy+y2 = 1 з раціональною точкою (-1, 0). Провівши через неї пряму y=t (x+ 1), підставивши вираз y через x в рівняння та розв'язавши відносно x, отримаємо рівняння

які задають раціональну параметризацію еліпса. У такому вигляді подавані всі точки еліпса крім точки (-1, 0), можна зіставити їй t = ∞, тобто параметризувати еліпс проєктивною прямою.

Цю раціональну параметризацію можна розглядати як параметризацію «еліпса в проєктивному просторі», перейшовши до однорідних координат, тобто замінивши t на T/U, а x, y — на X/Z,Y/Z відповідно. Параметризація еліпса X2 +XY+Y2 =Z2 проєктивної прямої прийме такий вигляд:

Еліптичні криві Редагувати

Раціональні криві (над алгебричним замкненим полем) — це алгебричні криві роду 0 (див. нижче), у цій термінології еліптичні криві — це криві роду 1 з раціональною точкою. Основний приклад такої кривої — кубика без особливостей; такої кубики достатньо, щоб промоделювати будь-яку криву роду 1.

Еліптична крива несе на собі структуру абелевої групи. Сума трьох точок на кубиці дорівнює нулю тоді і лише тоді, коли ці точки колінеарні.

Перетин двох конік є кривою четвертого порядку роду 1, а значить, еліптичною кривою, якщо вона містить хоча б одну раціональну точку. В іншому випадку перетин може бути раціональною кривою четвертого порядку з особливостями, або бути розкладеним на криві меншого порядку (кубика і пряма, дві коніки, коніку і дві прямі або чотири прямі).

Зв'язок з полями функцій Редагувати

Вивчення алгебричних кривих може бути зведене до вивчення нескоротних кривих (тобто не розкладаються в об'єднання двох менших кривих). Кожній такій кривій можна зіставити поле раціональних функцій на ній; виявляється, що криві біраціонально еквівалентні тоді і лише тоді, коли їх поля функцій ізоморфні. Це означає, що категорія алгебричних кривих та раціональних відображень двоїста категорії одновимірних полів алгебричних функцій, тобто полів, які є алгебричними розширеннями поля .

Комплексні криві як дійсні поверхні Редагувати

Комплексна алгебрична крива, вкладена в афінний або проєктивний простір, має топологічну розмірність 2, іншими словами, є поверхнею. Зокрема, комплексна алгебрична крива без особливостей є двовимірним орієнтованим многовидом.

Топологічний рід цієї поверхні збігається з родом алгебричної кривої (який можна обчислити алгебричними способами). Дуже коротко: якщо проєкція кривої без особливостей на площину є алгебричною кривою ступеня d зі звичайними особливостями (точки подвійного самоперетину, з різними дотичними прямими у кожної з компонент), то вихідна крива має рід (d-1) (d-2) /2-k, де k — число цих особливостей.

Вивчення компактних ріманових поверхонь складається фактично у вивченні комплексних алгебричних кривих без особливостей, розглянутих як поверхні з додатковою аналітичною структурою. Більш точно, такі категорії еквівалентні:

Класифікація особливостей Редагувати

x3 − y2 = 0

Особливі точки включають в себе кілька типів точок, в яких крива «перетинає сама себе», а також різні типи каспів. Наприклад, на малюнку зображена крива x3-y2 = 0 з каспом на початку координат.

Особливі точки можна класифікувати за їхніми інваріантами. Наприклад, особливу точку з дельта-інваріантом δ можна інтуїтивно описати як точку, в якій зустрічаються одразу δ «самоперетинів». У разі точки P нескоротьної кривої δ можна обчислити як довжину модуля , де  — локальне кільце в точці P та  — його ціле замикання. Обчислення дельта-інваріантів всіх особливих точок дозволяє обчислити рід кривої за формулою:

Інші важливі інваріанти: кратність m особливості (максимальне ціле число, таке що всі похідні які задають криву многочлена, порядок яких не перевищує m, дорівнюють нулю) і число Мілнора[en].

Див. також Редагувати

Примітки Редагувати

  1. Ю. И. Манин. Рациональные точки на алгебраических кривых. — Успехи математических наук, т. XIX, вып. 6 (120), 1964.

Література Редагувати

  • Ж.-П. Серр. Алгебраические группы и поля классов. — М. : Мир, 1968. — С. 285.
  • Джон Милнор. Особые точки комплексных гиперповерхностей. — М. : Мир, 1971. — С. 121.
  • Egbert Brieskorn, Horst Knörrer. Plane Algebraic Curves. — Birkhäuser, 1986.
  • Hershel M. Farkas, Irwin Kra. Riemann Surfaces. — Springer, 1980.
  • W. Fulton. Algebraic Curves: an introduction to algebraic geometry.
  • C.G. Gibson. Elementary Geometry of Algebraic Curves: An Undergraduate Introduction. — Cambridge University Press, 1998.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Algebrichni krivi ce najprostishi ob yekti evklidovoyi geometriyi dlya viznachennya yakih nedostatno linijnih rivnyan Zokrema v evklidovij geometriyi ploska algebrichna kriva viznachayetsya yak mnozhina nuliv mnogochlena vid dvoh zminnih Napriklad odinichne kolo ce algebrichna kriva oskilki vona zadayetsya rivnyannyam x2 y2 1 0 1 Kubika Chirngauza algebrichna kriva tretogo poryadku Za bagatma tehnichnimi prichinami zruchno takozh rozglyadati kompleksni koreni vidpovidnogo mnogochlena a takozh uzagalniti viznachennya na vipadok dovilnogo polya V algebrichnij geometriyi ploska afinna algebrichna kriva nad polem k viznachayetsya yak mnozhina tochok K2 yaki ye korenyami mnogochlena vid dvoh zminnih z koeficiyentami v k de K algebrichne zamikannya polya k Tochki ciyeyi krivoyi vsi koordinati yakih lezhat v k nazivayutsya k tochkami Napriklad tochka 2 3 displaystyle 2 sqrt 3 nalezhit rozglyanutomu vishe odinichnomu kolu odnak ne nalezhit jogo dijsnij chastini Mnogochlen x2 y2 1 zadaye algebrichnu krivu dijsna chastina yakoyi porozhnya Bilsh zagalno mozhna rozglyadati algebrichni krivi sho mistyatsya ne v ploshini a v prostori z dovilnoyu rozmirnistyu abo v proyektivnomu prostori Viyavlyayetsya sho bagato vlastivostej algebrichnoyi krivoyi ne zalezhit vid viboru konkretnogo vkladennya v deyakij prostir i ce prizvodit do zagalnogo viznachennya algebrichnoyi krivoyi Algebrichna kriva ce algebrichnij mnogovid rozmirnosti 1 Ce viznachennya mozhna pereformulyuvati tak algebrichna kriva ce algebrichnij mnogovid vsi pidmnogovidi yakogo skladayutsya z odniyeyi tochki Zmist 1 Prikladi algebrichnih krivih 1 1 Racionalni krivi 1 2 Eliptichni krivi 2 Zv yazok z polyami funkcij 3 Kompleksni krivi yak dijsni poverhni 4 Klasifikaciya osoblivostej 5 Div takozh 6 Primitki 7 LiteraturaPrikladi algebrichnih krivih RedaguvatiRacionalni krivi Redaguvati Racionalna kriva takozh vidoma yak unikursalna kriva ce kriva biracionalno ekvivalentna afinnij pryamij abo proyektivnij pryamij inshimi slovami kriva na yakij mozhliva racionalna parametrizaciya Bilsh konkretno racionalna kriva v n vimirnomu prostori mozhe buti parametrizovana za vinyatkom deyakogo chisla izolovanih osoblivih tochok za dopomogoyu n racionalnih funkcij vid yedinogo parametra t nbsp x2 xy y2 1Napriklad rozglyanemo elips x2 xy y2 1 z racionalnoyu tochkoyu 1 0 Provivshi cherez neyi pryamu y t x 1 pidstavivshi viraz y cherez x v rivnyannya ta rozv yazavshi vidnosno x otrimayemo rivnyannya x 1 t 2 1 t t 2 displaystyle x frac 1 t 2 1 t t 2 nbsp y t x 1 t t 2 1 t t 2 displaystyle y t x 1 frac t t 2 1 t t 2 nbsp yaki zadayut racionalnu parametrizaciyu elipsa U takomu viglyadi podavani vsi tochki elipsa krim tochki 1 0 mozhna zistaviti yij t tobto parametrizuvati elips proyektivnoyu pryamoyu Cyu racionalnu parametrizaciyu mozhna rozglyadati yak parametrizaciyu elipsa v proyektivnomu prostori perejshovshi do odnoridnih koordinat tobto zaminivshi t na T U a x y na X Z Y Z vidpovidno Parametrizaciya elipsa X2 XY Y2 Z2 proyektivnoyi pryamoyi prijme takij viglyad X U 2 T 2 Y T T 2 U Z T 2 T U U 2 displaystyle X U 2 T 2 quad Y T T 2 U quad Z T 2 TU U 2 nbsp Eliptichni krivi Redaguvati Dokladnishe Eliptichna krivaRacionalni krivi nad algebrichnim zamknenim polem ce algebrichni krivi rodu 0 div nizhche u cij terminologiyi eliptichni krivi ce krivi rodu 1 z racionalnoyu tochkoyu Osnovnij priklad takoyi krivoyi kubika bez osoblivostej takoyi kubiki dostatno shob promodelyuvati bud yaku krivu rodu 1 Eliptichna kriva nese na sobi strukturu abelevoyi grupi Suma troh tochok na kubici dorivnyuye nulyu todi i lishe todi koli ci tochki kolinearni Peretin dvoh konik ye krivoyu chetvertogo poryadku rodu 1 a znachit eliptichnoyu krivoyu yaksho vona mistit hocha b odnu racionalnu tochku V inshomu vipadku peretin mozhe buti racionalnoyu krivoyu chetvertogo poryadku z osoblivostyami abo buti rozkladenim na krivi menshogo poryadku kubika i pryama dvi koniki koniku i dvi pryami abo chotiri pryami Zv yazok z polyami funkcij RedaguvatiVivchennya algebrichnih krivih mozhe buti zvedene do vivchennya neskorotnih krivih tobto ne rozkladayutsya v ob yednannya dvoh menshih krivih Kozhnij takij krivij mozhna zistaviti pole racionalnih funkcij na nij viyavlyayetsya sho krivi biracionalno ekvivalentni todi i lishe todi koli yih polya funkcij izomorfni Ce oznachaye sho kategoriya algebrichnih krivih ta racionalnih vidobrazhen dvoyista kategoriyi odnovimirnih poliv algebrichnih funkcij tobto poliv yaki ye algebrichnimi rozshirennyami polya k x displaystyle k x nbsp Kompleksni krivi yak dijsni poverhni RedaguvatiKompleksna algebrichna kriva vkladena v afinnij abo proyektivnij prostir maye topologichnu rozmirnist 2 inshimi slovami ye poverhneyu Zokrema kompleksna algebrichna kriva bez osoblivostej ye dvovimirnim oriyentovanim mnogovidom Topologichnij rid ciyeyi poverhni zbigayetsya z rodom algebrichnoyi krivoyi yakij mozhna obchisliti algebrichnimi sposobami Duzhe korotko yaksho proyekciya krivoyi bez osoblivostej na ploshinu ye algebrichnoyu krivoyu stupenya d zi zvichajnimi osoblivostyami tochki podvijnogo samoperetinu z riznimi dotichnimi pryamimi u kozhnoyi z komponent to vihidna kriva maye rid d 1 d 2 2 k de k chislo cih osoblivostej Vivchennya kompaktnih rimanovih poverhon skladayetsya faktichno u vivchenni kompleksnih algebrichnih krivih bez osoblivostej rozglyanutih yak poverhni z dodatkovoyu analitichnoyu strukturoyu Bilsh tochno taki kategoriyi ekvivalentni Kategoriya proyektivnih algebrichnih krivih bez osoblivostej z racionalnimi vidobrazhennyami yak morfizmom Kategoriya kompaktnih rimanovih poverhon ta golomorfnih funkcij Klasifikaciya osoblivostej Redaguvati nbsp x3 y2 0Osoblivi tochki vklyuchayut v sebe kilka tipiv tochok v yakih kriva peretinaye sama sebe a takozh rizni tipi kaspiv Napriklad na malyunku zobrazhena kriva x3 y2 0 z kaspom na pochatku koordinat Osoblivi tochki mozhna klasifikuvati za yihnimi invariantami Napriklad osoblivu tochku z delta invariantom d mozhna intuyitivno opisati yak tochku v yakij zustrichayutsya odrazu d samoperetiniv U razi tochki P neskorotnoyi krivoyi d mozhna obchisliti yak dovzhinu modulya O P O P displaystyle widetilde mathcal O P mathcal O P nbsp de O P displaystyle mathcal O P nbsp lokalne kilce v tochci P ta O P displaystyle widetilde mathcal O P nbsp jogo cile zamikannya Obchislennya delta invariantiv vsih osoblivih tochok dozvolyaye obchisliti rid krivoyi za formuloyu g 1 2 d 1 d 2 P d P displaystyle g frac 1 2 d 1 d 2 sum P delta P nbsp Inshi vazhlivi invarianti kratnist m osoblivosti maksimalne cile chislo take sho vsi pohidni yaki zadayut krivu mnogochlena poryadok yakih ne perevishuye m dorivnyuyut nulyu i chislo Milnora en Div takozh RedaguvatiKriva Eliptichna kriva Poverhnya Rimana Teorema Bezu algebrichna geometriya Algebrichna poverhnyaPrimitki Redaguvati Yu I Manin Racionalnye tochki na algebraicheskih krivyh Uspehi matematicheskih nauk t XIX vyp 6 120 1964 Literatura RedaguvatiZh P Serr Algebraicheskie gruppy i polya klassov M Mir 1968 S 285 Dzhon Milnor Osobye tochki kompleksnyh giperpoverhnostej M Mir 1971 S 121 Egbert Brieskorn Horst Knorrer Plane Algebraic Curves Birkhauser 1986 Hershel M Farkas Irwin Kra Riemann Surfaces Springer 1980 W Fulton Algebraic Curves an introduction to algebraic geometry C G Gibson Elementary Geometry of Algebraic Curves An Undergraduate Introduction Cambridge University Press 1998 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Algebrichna kriva amp oldid 37870317