www.wikidata.uk-ua.nina.az

Група Гейзенберга У математиці група Гейзенберга H displaystyle H названа на честь Вернера Гейзенберга група верхньотрик

Група Гейзенберга

У математиці група Гейзенберга (названа на честь Вернера Гейзенберга) — група верхньотрикутних матриць розмірності вигляду

де операція множення визначена як множення матриць. Елементи , і належать довільному комутативному кільцю з одиницею, в якості якого часто обирають кільце дійсних чисел (в результаті отримують неперервну групу Гейзенберга) або ж кільце цілих чисел (в результаті отримують дискретну групу Гейзенберга).

Неперервна група Гейзенберга з'являється в описі одновимірних систем квантової механіки, особливо в контексті теореми Стоуна–фон Неймана[en]. У загальному випадку групи Гейзенберга можна розглядати у зв'язку з -вимірними системами або ж із довільними симплектичними векторними полями.

Тривимірний випадок ред.

У тривимірному випадку добуток двох матриць Гейзенберга визначається як

Як можна побачити з члена , ця група неабелева[en].

Нейтральним елементом (одиницею) групи Гейзенберга є одинична матриця, а обернений визначається наступним чином:

Ця група є підгрупою 2-вимірної афінної групи :

дія якої на вектор відповідає афінному перетворенню

Є кілька яскравих прикладів тривимірного випадку.

Неперервна група Гейзенберга ред.

Якщо , , — дійсні числа (в кільці ), то маємо неперервну групу Гейзенберга . Це нільпотентна дійсна група Лі розмірності 3.

Додатково до представлення дійсними матрицями, неперервна група Гейзенберга має також декілька різних представлень у термінах функціональних просторів[en]. Згідно з теоремою Стоуна–фон Неймана[en], існує єдине, з точністю до ізоморфізму, незвідне унітарне представлення групи , у якому його центр діє за допомогою заданого нетривіального характеру. Це представлення має декілька важливих застосувань чи моделей. Так, у моделі Шрьодінгера, група Гейзенберга діє на просторі квадратично інтегровних[en] функцій. У тета-представленні[en] вона діє на просторі голоморфних функцій верхньої півплощини; воно назване так на честь зв'язку з тета-функціями.

Дискретна група Гейзенберга ред.

Частина графу Келі дискретної групи Гейзенберга, із генераторами , , як у тексті. (Кольори використані лише для наочності.)

Якщо , , — цілі числа (в кільці ), то маємо дискретну групу Гейзенберга . Це неабелева[en] нільпотентна група з двома генераторами

і

і зі співвідношеннями

де

є генератором центра групи . (Відмітимо, що обернені до матриць , і утворюються заміною над діагоналлю на ).

Згідно з теоремою Громова (в англомовній літературі — теорема Басса), у цієї групи поліноміальна швидкість зростання порядку 4. Можна генерувати будь-які елементи наступним чином:

Група Гейзенберга за модулем непарного простого числа ред.

Якщо , , з для довільного непарного простого , то отримаємо групу Гейзенберга за модулем . Це група порядку із генераторами , та співвідношеннями:

Аналоги групи Гейзенберга над скінченними полями простого непарного порядку називаються додатковою спеціальною групою[en] або ж, більш точно, додатковою спеціальною групою степеня . Узагальнюючи, якщо похідна підгрупа групи міститься в центрі групи , тоді відображення є кососиметричним білінійним оператором на абелівських групах.


Однак, умова, щоб була скінченним векторним простором, вимагає, аби підгрупа Фраттіні групи належала центру групи. А також умова, аби був одновимірним векторним простором над вимагає, щоб порядок центра дорівнював . Звідки випливає, що якщо група неабелева, то — додаткова спеціальна група. Якщо ж група — додаткова спеціальна група, але не степеня , тоді загальна конструкція при застосуванні до симплектичного векторного простору не визначає груповий ізоморфізм у .

Група Гейзенберга за модулем 2 ред.

Група Гейзенберга за модулем 2 має порядок 8 й ізоморфна діедральній групі (група симетрій квадрата). Якщо

і

тоді

і

Елементи і відповідають віддзеркаленням (з кутом між ними, що дорівнює ), у той час, як та відповідають поворотам на . Інші віддзеркалення — це і , а поворот на можна представити як .

Див. також ред.

Література ред.

  • Binz, Ernst; Pods, Sonja (2008). Geometry of Heisenberg Groups. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4495-3. 
  • Hall, Brian C. (2013). Quantum Theory for Mathematicians. Graduate Texts in Mathematics. Т. 267. Springer. Bibcode:2013qtm..book.....H. ISBN 978-1461471158. 
  • Hall, Brian C. (2015). Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction. Graduate Texts in Mathematics. Т. 222 (вид. second). Springer. ISBN 978-3319134666. 
  • Howe, Roger (1980). On the role of the Heisenberg group in harmonic analysis. Bulletin of the American Mathematical Society. 3 (2): 821–843. doi:10.1090/s0273-0979-1980-14825-9. MR 0578375. 
  • Kirillov, Alexandre A. (2004). Ch. 2: "Representations and Orbits of the Heisenberg Group. Lectures on the Orbit Method. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-3530-0. 
  • Mackey, George (1976). The theory of Unitary Group Representations. Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press. ISBN 978-0226500522. 

Зовнішні посилання ред.

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
U matematici grupa Gejzenberga H displaystyle H nazvana na chest Vernera Gejzenberga grupa verhnotrikutnih matric rozmirnosti 3 3 displaystyle 3 times 3 viglyadu 1ac01b001 displaystyle left begin matrix 1 amp a amp c 0 amp 1 amp b 0 amp 0 amp 1 end matrix right de operaciya mnozhennya viznachena yak mnozhennya matric Elementi a displaystyle a b displaystyle b i c displaystyle c nalezhat dovilnomu komutativnomu kilcyu z odiniceyu v yakosti yakogo chasto obirayut kilce dijsnih chisel v rezultati otrimuyut neperervnu grupu Gejzenberga abo zh kilce cilih chisel v rezultati otrimuyut diskretnu grupu Gejzenberga Neperervna grupa Gejzenberga z yavlyayetsya v opisi odnovimirnih sistem kvantovoyi mehaniki osoblivo v konteksti teoremi Stouna fon Nejmana en U zagalnomu vipadku grupi Gejzenberga mozhna rozglyadati u zv yazku z n displaystyle n vimirnimi sistemami abo zh iz dovilnimi simplektichnimi vektornimi polyami Zmist 1 Trivimirnij vipadok 2 Neperervna grupa Gejzenberga 3 Diskretna grupa Gejzenberga 4 Grupa Gejzenberga za modulem neparnogo prostogo chisla UNIQ postMath 00000029 QINU 5 Grupa Gejzenberga za modulem 2 6 Div takozh 7 Literatura 8 Zovnishni posilannyaTrivimirnij vipadok red U trivimirnomu vipadku dobutok dvoh matric Gejzenberga viznachayetsya yak 1ac01b001 1a c 01b 001 1a a c ab c 01b b 001 displaystyle left begin matrix 1 amp a amp c 0 amp 1 amp b 0 amp 0 amp 1 end matrix right left begin matrix 1 amp a amp c 0 amp 1 amp b 0 amp 0 amp 1 end matrix right left begin matrix 1 amp a a amp c ab c 0 amp 1 amp b b 0 amp 0 amp 1 end matrix right nbsp Yak mozhna pobachiti z chlena ab displaystyle ab nbsp cya grupa neabeleva en Nejtralnim elementom odiniceyu grupi Gejzenberga ye odinichna matricya a obernenij viznachayetsya nastupnim chinom 1ac01b001 1 1 aab c01 b001 displaystyle left begin matrix 1 amp a amp c 0 amp 1 amp b 0 amp 0 amp 1 end matrix right 1 left begin matrix 1 amp a amp ab c 0 amp 1 amp b 0 amp 0 amp 1 end matrix right nbsp Cya grupa ye pidgrupoyu 2 vimirnoyi afinnoyi grupi Aff 2 displaystyle rm Aff 2 nbsp 1ac01b001 displaystyle left begin matrix 1 amp a amp c 0 amp 1 amp b 0 amp 0 amp 1 end matrix right nbsp diya yakoyi na vektor x 1 displaystyle vec x 1 nbsp vidpovidaye afinnomu peretvorennyu 1a01 x cb displaystyle left begin matrix 1 amp a 0 amp 1 end matrix right vec x left begin matrix c b end matrix right nbsp Ye kilka yaskravih prikladiv trivimirnogo vipadku Neperervna grupa Gejzenberga red Yaksho a displaystyle a nbsp b displaystyle b nbsp c displaystyle c nbsp dijsni chisla v kilci R displaystyle mathbb R nbsp to mayemo neperervnu grupu Gejzenberga H3 R displaystyle H 3 mathbb R nbsp Ce nilpotentna dijsna grupa Li rozmirnosti 3 Dodatkovo do predstavlennya dijsnimi 3 3 displaystyle 3 times 3 nbsp matricyami neperervna grupa Gejzenberga maye takozh dekilka riznih predstavlen u terminah funkcionalnih prostoriv en Zgidno z teoremoyu Stouna fon Nejmana en isnuye yedine z tochnistyu do izomorfizmu nezvidne unitarne predstavlennya grupi H displaystyle H nbsp u yakomu jogo centr diye za dopomogoyu zadanogo netrivialnogo harakteru Ce predstavlennya maye dekilka vazhlivih zastosuvan chi modelej Tak u modeli Shrodingera grupa Gejzenberga diye na prostori kvadratichno integrovnih en funkcij U teta predstavlenni en vona diye na prostori golomorfnih funkcij verhnoyi pivploshini vono nazvane tak na chest zv yazku z teta funkciyami Diskretna grupa Gejzenberga red nbsp Chastina grafu Keli diskretnoyi grupi Gejzenberga iz generatorami x displaystyle x nbsp y displaystyle y nbsp z displaystyle z nbsp yak u teksti Kolori vikoristani lishe dlya naochnosti Yaksho a displaystyle a nbsp b displaystyle b nbsp c displaystyle c nbsp cili chisla v kilci Z displaystyle mathbb Z nbsp to mayemo diskretnu grupu Gejzenberga H3 Z displaystyle H 3 mathbb Z nbsp Ce neabeleva en nilpotentna grupa z dvoma generatorami x 110010001 displaystyle x left begin matrix 1 amp 1 amp 0 0 amp 1 amp 0 0 amp 0 amp 1 end matrix right nbsp i y 100011001 displaystyle y left begin matrix 1 amp 0 amp 0 0 amp 1 amp 1 0 amp 0 amp 1 end matrix right nbsp i zi spivvidnoshennyami z xyx 1y 1 xz zx yz zy displaystyle z xyx 1 y 1 quad xz zx quad yz zy nbsp de z 101010001 displaystyle z left begin matrix 1 amp 0 amp 1 0 amp 1 amp 0 0 amp 0 amp 1 end matrix right nbsp ye generatorom centra grupi H3 displaystyle H 3 nbsp Vidmitimo sho oberneni do matric x displaystyle x nbsp y displaystyle y nbsp i z displaystyle z nbsp utvoryuyutsya zaminoyu 1 displaystyle 1 nbsp nad diagonallyu na 1 displaystyle 1 nbsp Zgidno z teoremoyu Gromova v anglomovnij literaturi teorema Bassa u ciyeyi grupi polinomialna shvidkist zrostannya poryadku 4 Mozhna generuvati bud yaki elementi nastupnim chinom 1ac01b001 ybzcxa displaystyle left begin matrix 1 amp a amp c 0 amp 1 amp b 0 amp 0 amp 1 end matrix right y b z c x a nbsp Grupa Gejzenberga za modulem neparnogo prostogo chisla p displaystyle p red Yaksho a displaystyle a nbsp b displaystyle b nbsp c displaystyle c nbsp z Z pZ displaystyle Z pZ nbsp dlya dovilnogo neparnogo prostogo p displaystyle p nbsp to otrimayemo grupu Gejzenberga za modulem p displaystyle p nbsp Ce grupa poryadku p3 displaystyle p 3 nbsp iz generatorami x displaystyle x nbsp y displaystyle y nbsp ta spivvidnoshennyami z xyx 1y 1 xp yp zp 1 xz zx yz zy displaystyle z xyx 1 y 1 quad x p y p z p 1 quad xz zx quad yz zy nbsp Analogi grupi Gejzenberga nad skinchennimi polyami prostogo neparnogo poryadku p displaystyle p nbsp nazivayutsya dodatkovoyu specialnoyu grupoyu en abo zh bilsh tochno dodatkovoyu specialnoyu grupoyu stepenya p displaystyle p nbsp Uzagalnyuyuchi yaksho pohidna pidgrupa grupi G displaystyle G nbsp mistitsya v centri Z displaystyle Z nbsp grupi G displaystyle G nbsp todi vidobrazhennya G ZG Z Z displaystyle G ZG Z rightarrow Z nbsp ye kososimetrichnim bilinijnim operatorom na abelivskih grupah Odnak umova shob G Z displaystyle G Z nbsp bula skinchennim vektornim prostorom vimagaye abi pidgrupa Frattini grupi G displaystyle G nbsp nalezhala centru grupi A takozh umova abi Z displaystyle Z nbsp buv odnovimirnim vektornim prostorom nad Z pZ displaystyle Z pZ nbsp vimagaye shob poryadok centra Z displaystyle Z nbsp dorivnyuvav p displaystyle p nbsp Zvidki viplivaye sho yaksho grupa G displaystyle G nbsp neabeleva to G displaystyle G nbsp dodatkova specialna grupa Yaksho zh grupa G displaystyle G nbsp dodatkova specialna grupa ale ne stepenya p displaystyle p nbsp todi zagalna konstrukciya pri zastosuvanni do simplektichnogo vektornogo prostoru G Z displaystyle G Z nbsp ne viznachaye grupovij izomorfizm u G displaystyle G nbsp Grupa Gejzenberga za modulem 2 red Grupa Gejzenberga za modulem 2 maye poryadok 8 j izomorfna diedralnij grupi D4 displaystyle D 4 nbsp grupa simetrij kvadrata Yaksho x 110010001 displaystyle x left begin matrix 1 amp 1 amp 0 0 amp 1 amp 0 0 amp 0 amp 1 end matrix right nbsp i y 100011001 displaystyle y left begin matrix 1 amp 0 amp 0 0 amp 1 amp 1 0 amp 0 amp 1 end matrix right nbsp todi xy 111011001 displaystyle xy left begin matrix 1 amp 1 amp 1 0 amp 1 amp 1 0 amp 0 amp 1 end matrix right nbsp i yx 110011001 displaystyle yx left begin matrix 1 amp 1 amp 0 0 amp 1 amp 1 0 amp 0 amp 1 end matrix right nbsp Elementi x displaystyle x nbsp i y displaystyle y nbsp vidpovidayut viddzerkalennyam z kutom mizh nimi sho dorivnyuye 45 displaystyle 45 circ nbsp u toj chas yak xy displaystyle xy nbsp ta yx displaystyle yx nbsp vidpovidayut povorotam na 90 displaystyle 90 circ nbsp Inshi viddzerkalennya ce xyx displaystyle xyx nbsp i yxy displaystyle yxy nbsp a povorot na 180 displaystyle 180 circ nbsp mozhna predstaviti yak xyxy displaystyle xyxy nbsp yxyx displaystyle yxyx nbsp Div takozh red Kanonichne komutacijne spivvidnoshennya Peretvorennya Vignera Fejlya en Teorema Stouna fon Nejmana en Proektivne predstavlennya en Literatura red Binz Ernst Pods Sonja 2008 Geometry of Heisenberg Groups American Mathematical Society ISBN 978 0 8218 4495 3 Hall Brian C 2013 Quantum Theory for Mathematicians Graduate Texts in Mathematics T 267 Springer Bibcode 2013qtm book H ISBN 978 1461471158 Hall Brian C 2015 Lie Groups Lie Algebras and Representations An Elementary Introduction Graduate Texts in Mathematics T 222 vid second Springer ISBN 978 3319134666 Howe Roger 1980 On the role of the Heisenberg group in harmonic analysis Bulletin of the American Mathematical Society 3 2 821 843 doi 10 1090 s0273 0979 1980 14825 9 MR 0578375 Kirillov Alexandre A 2004 Ch 2 Representations and Orbits of the Heisenberg Group Lectures on the Orbit Method American Mathematical Society ISBN 0 8218 3530 0 Mackey George 1976 The theory of Unitary Group Representations Chicago Lectures in Mathematics University of Chicago Press ISBN 978 0226500522 Zovnishni posilannya red Groupprops The Group Properties Wiki Unitriangular matrix group UT 3 p Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Grupa Gejzenberga amp oldid 41340345