www.wikidata.uk-ua.nina.az

Симплектичний простір векторний простір S з заданою на ньому симплектичною формою ω displaystyle omega тобто білінійною

Симплектичний простір

Симплектичний простір — векторний простір S з заданою на ньому симплектичною формою , тобто білінійною кососиметричною невиродженою 2-формою. А саме формою для якої для будь-яких і скалярів виконуються умови:

Дане означення має зміст для векторних просторів над полями характеристика яких не є рівною 2. Над полями характеристика яких є рівною 2 в означенні, як правило, вимагають сильнішу (і еквівалентну для полів іншої характеристики) вимогу, що для всіх векторів:

Пов'язані означення ред.

  • Лінійне відображення L симплектичного простору називається симплектичним, якщо воно зберігає симплектична форму:
  • Множина всіх симплектичних відображень простору S утворює групу, що називається симплектичною групою і позначається Sp(S).
  • Матриця симплектичного відображення називається симплектичною матрицею.
  • Підпростір s симплектичного простору S називається симплектичним, якщо обмеження симплектичної форми на s є невирождени.
  • Два вектора називаються косоортогональними, якщо
  • Косоортогональним доповненням підпростору називається множина всіх векторів, косоортогональних будь-якому вектору з .

Приклади ред.

  • На просторі із базисом позначеним як існує стандартна симплектична форма, яка на базисних векторах задана як
або у векторно-матричній формі:
  • Попередній приклад можна узагальнити для довільного простору для поля характеристика якого не є рівною 2 і кососиметричної матриці (тобто ). Тоді для базису симплектичну форму можна задати на базисних векторах як Тоді у векторно-матричній формі через координати у цьому базисі симплектичну форму можна обчислити як:
  • У комплексному просторі можна задати білінійну кососиметричну форму за формулою
  • Більш загально, якщо на дійсному векторному просторі задані комплексна структура (тобто лінійний ізоморфізм для якого або для всіх ) і узгоджена ермітова структура, тобто скалярний добуток на просторі для якого додатково для всіх , то форма є симплектичною. Вона очевидно є білінійною і також кососиметричною оскільки:
Також вона є невиродженою адже для кожного ненульового для скалярного добутку g значення . Оскільки є ізоморфізмом, то є ненульовим вектором і
Навпаки для скінченновимірного дійсного простору із симплектичною формою існують комплексна структура і ермітова структура для яких . Для визначення цих структур достатньо розглянути базис Дарбу , як у розділі нижче і ввести на базисних векторах і , а скалярний добуток на базисних векторах ввести як:
  • Для будь-якого простору V існує канонічна симплектична структура на просторі , де — простір спряжений до V. Для двох елементів цього простору і , де , а симплектична форма задається як:

Канонічна структура ред.

Симплектичну структуру можна ввести на будь-якому векторному просторі розмірність якого є парним числом. Над полем характеристика якого не є рівною 2 на векторному просторі розмірність якого є непарним числом не існує невиродженої кососиметричної білінійної форми.

Справді ввівши деякий базис білінійна форма однозначно задається за допомогою матриці для якої Тоді у термінах цієї матриці кососиметричність означає, що , а невиродженість, що Але для простору непарної розмірності випливає, що для кососиметричної форми Тобто для простору непарної розмірності для матриці кососиметричної білінійної форми отже форма є виродженою.

Всі симплектичні простори однакової розмірності є ізоморфними, тобто існує лінійний ізоморфізм який із своїм оберненим є симплектичними відображеннями. Розглянемо деякий вектор . Оскільки є невиродженою формою, то існує такий вектор , що

Розглянемо косоортогональне доповнення до лінійної оболонки V векторів і . Це доповнення буде (2n - 2)-вимірним підпростором S, що не перетинається із V і обмеження на нього є невиродженою формою. Отже, процес можна продовжити по індукції. Для простору непарної розмірності процес завершиться на одновимірному підпросторі, на якому є виродженою формою, так що припущення про існування симплектичної структури було хибним. Для простору парної розмірності ми отримаємо базис

для якого

де — символ Кронекера. Він називається канонічним базисом або базисом Дарбу. Наприклад у випадку дійсних векторних просторів із базисом Дарбу простір є ізоморфний простору із симплектичною формою із першого прикладу.

У канонічному базисі матриця симплектичної форми набуде вигляду

де — одинична матриця порядку n. є симплектичною матрицею.

Будова підпросторів ред.

Розглянемо підпростір і його косоортогональне доповнення . Із невироджені випливає, що:

Крім того,

У загальному випадку ці підпростору перетинаються. Виділяють 4 типи підпросторів:

  • Симплектичні: . Це вірно тоді і тільки тоді, коли обмеження на W є невирожденим, тож таке означення симплектичних підпросторів збігається з даним вище. У відповідних координатах Дарбу W має вигляд
  • Ізотропні: . Підпростір є ізотропним тоді і тільки тоді, коли тотожно дорівнює нулю на ньому. Будь-яким одновимірний підпростір є ізотропним. У відповідних координатах Дарбу W має вигляд
  • Коізотропні: . W є коізотропним тоді і тільки тоді, коли єневирожденою на факторпросторі . Будь-який підпростір корозмірності 1 є коізотропним. У відповідних координатах Дарбу W має вигляд
  • Лагранжеві: . W є лагранжевим тоді і тільки тоді, коли воно одночасно є ізотропним і коізотропним. Будь-який ізотропний підпростір можна вкласти у лагранжевий, а будь-який коізотропний підпростір містить лагранжевий. У відповідних координатах Дарбу W має вигляд

Множина всіх лагранжевих підпросторів простору розмірності 2n утворює многовид, що називається лагранжевим грассманіаном . Він є дифеоморфним многовиду класів суміжності унітарної групи по ортогональній підгрупі , при цьому

Узгоджені комплексні структури ред.

Нехай є скінченновимірним (парної розмірності) векторним простором над полем дійсних чисел із симплектичною формою . Комплексна структура називається узгодженою із симплектичною структурою, якщо:

  • для всіх виконується рівність
  • білінійна форма є скалярним добутком.

Для кожної симплектичної структури існує нескінченна кількість узгоджених комплексних структур. Зокрема можна розглянути довільний скалярний добуток і ввести лінійні відображення задані як і Оскільки і є невиродженими білінійними формами, то є лінійними ізоморфізмами і можна ввести лінійний ізоморфізм заданий як За означенням тоді

Відображення A є кососиметричним адже для всіх Тому в ортонормованому базисі для скалярного добутку цей оператор задається кососиметричною матрицею, яку теж можна позначити A. Тоді матриця є симетричною і додатноозначеною оскільки для всіх

Позначимо і . Тоді є полярним розкладом матриці і оскільки матриця A як кососиметрична матриця є нормальною, то також і відповідно Також тобто визначає комплексну структуру і тобто є ортогональною матрицею тобто для всіх

Для визначеної комплексної структури виконуються рівності:

Також якщо ввести білінійну форму

то з додатноозначеності матриці випливає, що є скалярним добутком і відповідно задає узгоджену комплексну структуру.

Див. також ред.

Література ред.

  • Арнольд В. И., Гивенталь А. Б. Симплектическая геометрия. — 2-ое изд. — Ижевск : РХД, 2000. — 168 с. — ISBN 5-7029-0331-5.
  • Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М : Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 прим. — ISBN 5-354-00341-5.
  • Фоменко А. Т. Симплектическая геометрия. Методы и приложения. — М : Издательство МГУ, 1988. — 414 с.
  • Augustin Banyaga, Djideme F Houenou. A Brief Introduction To Symplectic And Contact Manifolds. — World Scientific, 2016. — 166 с. — ISBN 9814696706.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Simplektichnij prostir vektornij prostir S z zadanoyu na nomu simplektichnoyu formoyu w displaystyle omega tobto bilinijnoyu kososimetrichnoyu nevirodzhenoyu 2 formoyu A same formoyu dlya yakoyi dlya bud yakih a b c S displaystyle mathbf a mathbf b mathbf c in mathbb S i skalyariv l m displaystyle lambda mu vikonuyutsya umovi w a b w b a displaystyle omega mathbf a mathbf b omega mathbf b mathbf a w a l b m c l w a b m w a c displaystyle omega mathbf a lambda mathbf b mu mathbf c lambda omega mathbf a mathbf b mu omega mathbf a mathbf c a S a 0 b S w a b 0 displaystyle forall mathbf a in mathbb S mathbf a neq 0 exists mathbf b in mathbb S omega mathbf a mathbf b neq 0 Dane oznachennya maye zmist dlya vektornih prostoriv nad polyami harakteristika yakih ne ye rivnoyu 2 Nad polyami harakteristika yakih ye rivnoyu 2 v oznachenni yak pravilo vimagayut silnishu i ekvivalentnu dlya poliv inshoyi harakteristiki vimogu sho dlya vsih vektoriv w a a 0 displaystyle omega mathbf a mathbf a 0 Zmist 1 Pov yazani oznachennya 2 Prikladi 3 Kanonichna struktura 4 Budova pidprostoriv 5 Uzgodzheni kompleksni strukturi 6 Div takozh 7 LiteraturaPov yazani oznachennya red Linijne vidobrazhennya L simplektichnogo prostoru nazivayetsya simplektichnim yaksho vono zberigaye simplektichna formu a b L a L b displaystyle left langle mathbf a mathbf b right rangle left langle L mathbf a L mathbf b right rangle nbsp Mnozhina vsih simplektichnih vidobrazhen prostoru S utvoryuye grupu sho nazivayetsya simplektichnoyu grupoyu i poznachayetsya Sp S Matricya simplektichnogo vidobrazhennya nazivayetsya simplektichnoyu matriceyu Pidprostir s simplektichnogo prostoru S nazivayetsya simplektichnim yaksho obmezhennya simplektichnoyi formi na s ye nevirozhdeni Dva vektora a b S displaystyle mathbf a mathbf b in S nbsp nazivayutsya kosoortogonalnimi yaksho a b 0 displaystyle left langle mathbf a mathbf b right rangle 0 nbsp Vidznachimo sho bud yakij vektor e kosoortogonalnim samomu sobi Kosoortogonalnim dopovnennyam pidprostoru s S displaystyle s subset S nbsp nazivayetsya mnozhina vsih vektoriv kosoortogonalnih bud yakomu vektoru z s displaystyle s nbsp Prikladi red Na prostori R 2 n displaystyle mathbb R 2n nbsp iz bazisom poznachenim yak e 1 e n f 1 f n displaystyle mathbf e 1 ldots mathbf e n mathbf f 1 ldots mathbf f n nbsp isnuye standartna simplektichna forma yaka na bazisnih vektorah zadana yakw e i e j 0 i j 1 n displaystyle omega mathbf e i mathbf e j 0 forall i j in 1 ldots n nbsp w f i f j 0 i j 1 n displaystyle omega mathbf f i mathbf f j 0 forall i j in 1 ldots n nbsp w e i f j w f i e j 1 i j 0 i j displaystyle omega mathbf e i mathbf f j omega mathbf f i mathbf e j begin cases 1 amp i j 0 amp i neq j end cases nbsp dd Matricya ciyeyi simplektichnoyi formi vidpovidno maye viglyad W n 0 I n I n 0 displaystyle Omega n begin bmatrix 0 amp I n I n amp 0 end bmatrix nbsp de I n displaystyle I n nbsp odinichna matricya poryadku n Yaksho vektori u comu bazisi zapisati cherez koordinati a a 1 a 2 n T b b 1 b 2 n T displaystyle mathbf a a 1 ldots a 2n T mathbf b b 1 ldots b 2n T nbsp to simplektichna forma cherez koordinati zapisuyetsya yak w a b i 1 n a i b n i a n i b i displaystyle omega mathbf a mathbf b sum i 1 n a i b n i a n i b i nbsp dd abo u vektorno matrichnij formi w a b a T W n b displaystyle omega mathbf a mathbf b mathbf a T cdot Omega n cdot mathbf b nbsp dd Poperednij priklad mozhna uzagalniti dlya dovilnogo prostoru F 2 n displaystyle mathbb F 2n nbsp dlya polya F displaystyle mathbb F nbsp harakteristika yakogo ne ye rivnoyu 2 i kososimetrichnoyi matrici M displaystyle M nbsp tobto M T M displaystyle M T M nbsp Todi dlya bazisu e 1 e 2 n displaystyle mathbf e 1 ldots mathbf e 2n nbsp simplektichnu formu mozhna zadati na bazisnih vektorah yak w e i e j M i j displaystyle omega mathbf e i mathbf e j M ij nbsp Todi u vektorno matrichnij formi cherez koordinati u comu bazisi simplektichnu formu mozhna obchisliti yak w a b a T M b displaystyle omega mathbf a mathbf b mathbf a T cdot M cdot mathbf b nbsp dd U kompleksnomu prostori C n displaystyle mathbb C n nbsp mozhna zadati bilinijnu kososimetrichnu formu za formuloyu u w Im u w displaystyle left langle u w right rangle operatorname Im left u w right nbsp de displaystyle left cdot cdot right nbsp ermitova forma Cya forma zadaye simplektichnu strukturu na prostori C n displaystyle mathbb C n nbsp rozglyanutomu yak dijsnij prostir R 2 n displaystyle mathbb R 2n nbsp Bilsh zagalno yaksho na dijsnomu vektornomu prostori V displaystyle V nbsp zadani kompleksna struktura J displaystyle J nbsp tobto linijnij izomorfizm dlya yakogo J 2 I displaystyle J 2 I nbsp abo J J v v displaystyle J J mathbf v mathbf v nbsp dlya vsih v V displaystyle mathbf v in V nbsp i uzgodzhena ermitova struktura tobto skalyarnij dobutok na prostori V displaystyle V nbsp dlya yakogo dodatkovo g v w g J v J w displaystyle g mathbf v mathbf w g J mathbf v J mathbf w nbsp dlya vsih v w V displaystyle mathbf v mathbf w in V nbsp to forma w v w g v J w displaystyle omega mathbf v mathbf w g mathbf v J mathbf w nbsp ye simplektichnoyu Vona ochevidno ye bilinijnoyu i takozh kososimetrichnoyu oskilki w v w g v J w g J v J J w g J v w g w J v w w v displaystyle omega mathbf v mathbf w g mathbf v J mathbf w g J mathbf v J J mathbf w g J mathbf v mathbf w g mathbf w J mathbf v omega mathbf w mathbf v nbsp dd Takozh vona ye nevirodzhenoyu adzhe dlya kozhnogo nenulovogo v V displaystyle mathbf v in V nbsp dlya skalyarnogo dobutku g znachennya g v v gt 0 displaystyle g mathbf v mathbf v gt 0 nbsp Oskilki J displaystyle J nbsp ye izomorfizmom to w J 1 v displaystyle mathbf w J 1 mathbf v nbsp ye nenulovim vektorom i w v w g v J w g v v 0 displaystyle omega mathbf v w g mathbf v J mathbf w g mathbf v mathbf v neq 0 nbsp Navpaki dlya skinchennovimirnogo dijsnogo prostoru V displaystyle V nbsp iz simplektichnoyu formoyu w displaystyle w nbsp isnuyut kompleksna struktura J displaystyle J nbsp i ermitova struktura g displaystyle g nbsp dlya yakih w v w g v J w displaystyle omega mathbf v mathbf w g mathbf v J mathbf w nbsp Dlya viznachennya cih struktur dostatno rozglyanuti bazis Darbu p 1 p n q 1 q n displaystyle mathbf p 1 dots mathbf p n mathbf q 1 dots mathbf q n nbsp yak u rozdili nizhche i vvesti na bazisnih vektorah J p i q i displaystyle J mathbf p i mathbf q i nbsp i J q i p i displaystyle J mathbf q i mathbf p i nbsp a skalyarnij dobutok na bazisnih vektorah vvesti yak g p i q j 0 g q i q j g p i p j d i j displaystyle g mathbf p i mathbf q j 0 g mathbf q i mathbf q j g mathbf p i mathbf p j delta ij nbsp Dlya bud yakogo prostoru V isnuye kanonichna simplektichna struktura na prostori V V displaystyle V oplus V nbsp de V displaystyle V nbsp prostir spryazhenij do V Dlya dvoh elementiv cogo prostoru u u displaystyle mathbf u mathbf u nbsp i v v displaystyle mathbf v mathbf v nbsp de u v V displaystyle mathbf u mathbf v in V nbsp a u v V displaystyle mathbf u mathbf v in V nbsp simplektichna forma zadayetsya yak w u u v v v u u v displaystyle omega mathbf u mathbf u mathbf v mathbf v v mathbf u u mathbf v nbsp Kanonichna struktura red Simplektichnu strukturu mozhna vvesti na bud yakomu vektornomu prostori rozmirnist yakogo ye parnim chislom Nad polem harakteristika yakogo ne ye rivnoyu 2 na vektornomu prostori rozmirnist yakogo ye neparnim chislom ne isnuye nevirodzhenoyi kososimetrichnoyi bilinijnoyi formi Spravdi vvivshi deyakij bazis e 1 e 2 n 1 displaystyle mathbf e 1 ldots mathbf e 2n 1 nbsp bilinijna forma odnoznachno zadayetsya za dopomogoyu matrici W displaystyle Omega nbsp dlya yakoyi W i j w e i e j displaystyle Omega ij omega mathbf e i mathbf e j nbsp Todi u terminah ciyeyi matrici kososimetrichnist oznachaye sho W T W displaystyle Omega T Omega nbsp a nevirodzhenist sho det W 0 displaystyle det Omega neq 0 nbsp Ale dlya prostoru neparnoyi rozmirnosti viplivaye sho dlya kososimetrichnoyi formi det W det W T det W 1 2 n 1 det W displaystyle det Omega det Omega T det Omega 1 2n 1 det Omega nbsp Tobto dlya prostoru neparnoyi rozmirnosti dlya matrici kososimetrichnoyi bilinijnoyi formi det W 0 displaystyle det Omega 0 nbsp otzhe forma ye virodzhenoyu Vsi simplektichni prostori odnakovoyi rozmirnosti ye izomorfnimi tobto isnuye linijnij izomorfizm yakij iz svoyim obernenim ye simplektichnimi vidobrazhennyami Rozglyanemo deyakij vektor q 1 S dim S 2 n displaystyle mathbf q 1 in mathbb S dim mathbb S 2n nbsp Oskilki w displaystyle omega nbsp ye nevirodzhenoyu formoyu to isnuye takij vektor p 1 S displaystyle mathbf p 1 in mathbb S nbsp sho p 1 q 1 1 displaystyle left langle mathbf p 1 mathbf q 1 right rangle 1 nbsp Rozglyanemo kosoortogonalne dopovnennya do linijnoyi obolonki V vektoriv p 1 displaystyle mathbf p 1 nbsp i q 1 displaystyle mathbf q 1 nbsp Ce dopovnennya bude 2n 2 vimirnim pidprostorom S sho ne peretinayetsya iz V i obmezhennya w displaystyle omega nbsp na nogo ye nevirodzhenoyu formoyu Otzhe proces mozhna prodovzhiti po indukciyi Dlya prostoru neparnoyi rozmirnosti proces zavershitsya na odnovimirnomu pidprostori na yakomu w displaystyle omega nbsp ye virodzhenoyu formoyu tak sho pripushennya pro isnuvannya simplektichnoyi strukturi bulo hibnim Dlya prostoru parnoyi rozmirnosti mi otrimayemo bazis p 1 p n q 1 q n displaystyle mathbf p 1 dots mathbf p n mathbf q 1 dots mathbf q n nbsp dlya yakogo p i q j d i j q i q j p i p j 0 displaystyle left langle mathbf p i mathbf q j right rangle delta ij left langle mathbf q i mathbf q j right rangle left langle mathbf p i mathbf p j right rangle 0 nbsp de d i j displaystyle delta ij nbsp simvol Kronekera Vin nazivayetsya kanonichnim bazisom abo bazisom Darbu Napriklad u vipadku dijsnih vektornih prostoriv iz bazisom Darbu prostir ye izomorfnij prostoru R 2 n displaystyle mathbb R 2n nbsp iz simplektichnoyu formoyu iz pershogo prikladu U kanonichnomu bazisi matricya simplektichnoyi formi nabude viglyadu W n 0 I n I n 0 displaystyle Omega n begin bmatrix 0 amp I n I n amp 0 end bmatrix nbsp de I n displaystyle I n nbsp odinichna matricya poryadku n W n displaystyle Omega n nbsp ye simplektichnoyu matriceyu Budova pidprostoriv red Rozglyanemo pidprostir W S displaystyle W subset mathbb S nbsp i jogo kosoortogonalne dopovnennya W displaystyle W perp nbsp Iz nevirodzheni w displaystyle omega nbsp viplivaye sho dim W dim W dim S displaystyle dim W dim W perp dim mathbb S nbsp Krim togo W W displaystyle W perp perp W nbsp U zagalnomu vipadku ci pidprostoru peretinayutsya Vidilyayut 4 tipi pidprostoriv Simplektichni W W 0 displaystyle W cap W perp 0 nbsp Ce virno todi i tilki todi koli obmezhennya w displaystyle omega nbsp na W ye nevirozhdenim tozh take oznachennya simplektichnih pidprostoriv zbigayetsya z danim vishe U vidpovidnih koordinatah Darbu W maye viglyad p 1 p k 0 0 q 1 q k 0 0 2 k dim W displaystyle p 1 dots p k 0 dots 0 q 1 dots q k 0 dots 0 2k dim W nbsp Izotropni W W displaystyle W subset W perp nbsp Pidprostir ye izotropnim todi i tilki todi koli w displaystyle omega nbsp totozhno dorivnyuye nulyu na nomu Bud yakim odnovimirnij pidprostir ye izotropnim U vidpovidnih koordinatah Darbu W maye viglyad p 1 p k 0 0 0 0 k dim W displaystyle p 1 dots p k 0 dots 0 0 dots 0 k dim W nbsp Koizotropni W W displaystyle W perp subset W nbsp W ye koizotropnim todi i tilki todi koli w displaystyle omega nbsp yenevirozhdenoyu na faktorprostori W W displaystyle W W perp nbsp Bud yakij pidprostir korozmirnosti 1 ye koizotropnim U vidpovidnih koordinatah Darbu W maye viglyad p 1 p n q 1 q k 0 0 n k dim W 2 n dim S displaystyle p 1 dots p n q 1 dots q k 0 dots 0 n k dim W 2n dim mathbb S nbsp Lagranzhevi W W displaystyle W perp W nbsp W ye lagranzhevim todi i tilki todi koli vono odnochasno ye izotropnim i koizotropnim Bud yakij izotropnij pidprostir mozhna vklasti u lagranzhevij a bud yakij koizotropnij pidprostir mistit lagranzhevij U vidpovidnih koordinatah Darbu W maye viglyad p 1 p n 0 0 n dim W 2 n dim S displaystyle p 1 dots p n 0 dots 0 n dim W 2n dim mathbb S nbsp Mnozhina vsih lagranzhevih pidprostoriv prostoru rozmirnosti 2n utvoryuye mnogovid sho nazivayetsya lagranzhevim grassmanianom L n displaystyle Lambda n nbsp Vin ye difeomorfnim mnogovidu klasiv sumizhnosti unitarnoyi grupi U n displaystyle mathbb U n nbsp po ortogonalnij pidgrupi O n displaystyle mathbb O n nbsp pri comu dim L n n n 1 2 displaystyle dim Lambda n frac n n 1 2 nbsp Uzgodzheni kompleksni strukturi red Nehaj V displaystyle V nbsp ye skinchennovimirnim parnoyi rozmirnosti vektornim prostorom nad polem dijsnih chisel iz simplektichnoyu formoyu w displaystyle omega nbsp Kompleksna struktura J displaystyle J nbsp nazivayetsya uzgodzhenoyu iz simplektichnoyu strukturoyu yaksho dlya vsih v w V displaystyle mathbf v mathbf w in V nbsp vikonuyetsya rivnist w v w w J v J w displaystyle omega mathbf v mathbf w omega J mathbf v J mathbf w nbsp bilinijna forma g J v w w v J w displaystyle g J mathbf v mathbf w omega mathbf v J mathbf w nbsp ye skalyarnim dobutkom Dlya kozhnoyi simplektichnoyi strukturi isnuye neskinchenna kilkist uzgodzhenih kompleksnih struktur Zokrema mozhna rozglyanuti dovilnij skalyarnij dobutok g displaystyle g nbsp i vvesti linijni vidobrazhennya w g V V displaystyle bar omega bar g V to V nbsp zadani yak w v w w v w displaystyle bar omega mathbf v mathbf w omega mathbf v mathbf w nbsp i g v w g v w displaystyle bar g mathbf v mathbf w g mathbf v mathbf w nbsp Oskilki w displaystyle omega nbsp i g displaystyle g nbsp ye nevirodzhenimi bilinijnimi formami to w g displaystyle bar omega bar g nbsp ye linijnimi izomorfizmami i mozhna vvesti linijnij izomorfizm A V V displaystyle A V to V nbsp zadanij yak A g 1 w displaystyle A bar g 1 circ bar omega nbsp Za oznachennyam todi g A v w w v w displaystyle g A mathbf v mathbf w omega mathbf v mathbf w nbsp Vidobrazhennya A ye kososimetrichnim adzhe g v A w g A w v w w v w v w g A v w displaystyle g mathbf v A mathbf w g A mathbf w mathbf v omega mathbf w mathbf v omega mathbf v mathbf w g A mathbf v mathbf w nbsp dlya vsih v w V displaystyle mathbf v mathbf w in V nbsp Tomu v ortonormovanomu bazisi dlya skalyarnogo dobutku g displaystyle g nbsp cej operator zadayetsya kososimetrichnoyu matriceyu yaku tezh mozhna poznachiti A Todi matricya A T A A A displaystyle A T A AA nbsp ye simetrichnoyu i dodatnooznachenoyu oskilki g A T A v v w A v A v gt 0 displaystyle g A T A mathbf v mathbf v omega A mathbf v A mathbf v gt 0 nbsp dlya vsih v 0 displaystyle mathbf v neq 0 nbsp Poznachimo R A T A displaystyle R sqrt A T A nbsp i J R 1 A displaystyle J R 1 A nbsp Todi A R J displaystyle A RJ nbsp ye polyarnim rozkladom matrici i oskilki matricya A yak kososimetrichna matricya ye normalnoyu to takozh R J J R displaystyle RJ JR nbsp i vidpovidno A J R J J J R J J A displaystyle AJ RJJ JRJ JA nbsp Takozh J J R 1 R J J R 1 J A A A 1 A A I displaystyle JJ R 1 RJJ R 1 JA AA 1 AA I nbsp tobto J displaystyle J nbsp viznachaye kompleksnu strukturu i J T J A T R 1 T R 1 A A A A 1 A I displaystyle J T J A T R 1 T R 1 A A AA 1 A I nbsp tobto J displaystyle J nbsp ye ortogonalnoyu matriceyu tobto g v w g J v J w displaystyle g mathbf v mathbf w g J mathbf v J mathbf w nbsp dlya vsih v w V displaystyle mathbf v mathbf w in V nbsp Dlya viznachenoyi kompleksnoyi strukturi vikonuyutsya rivnosti w J v J w g A J v J w g J A v J w g A v w w v w displaystyle omega J mathbf v J mathbf w gAJ mathbf v J mathbf w gJA mathbf v J mathbf w g A mathbf v mathbf w omega mathbf v mathbf w nbsp Takozh yaksho vvesti bilinijnu formu g J v w w v J w g A v J w g J A v w g R v w displaystyle g J mathbf v mathbf w omega mathbf v J mathbf w g A mathbf v J mathbf w g JA mathbf v mathbf w g R mathbf v mathbf w nbsp to z dodatnooznachenosti matrici R displaystyle R nbsp viplivaye sho g J displaystyle g J nbsp ye skalyarnim dobutkom i vidpovidno J displaystyle J nbsp zadaye uzgodzhenu kompleksnu strukturu Div takozh red Simplektichna geometriya Simplektichna grupa Simplektichna matricya Simplektichna forma Simplektichnij bazis Simplektichnij mnogovidLiteratura red Arnold V I Givental A B Simplekticheskaya geometriya 2 oe izd Izhevsk RHD 2000 168 s ISBN 5 7029 0331 5 Arnold V I Matematicheskie metody klassicheskoj mehaniki 5 e izd stereotipnoe M Editorial URSS 2003 416 s 1500 prim ISBN 5 354 00341 5 Fomenko A T Simplekticheskaya geometriya Metody i prilozheniya M Izdatelstvo MGU 1988 414 s Augustin Banyaga Djideme F Houenou A Brief Introduction To Symplectic And Contact Manifolds World Scientific 2016 166 s ISBN 9814696706 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Simplektichnij prostir amp oldid 40529663