www.wikidata.uk-ua.nina.az

Алгебрична функція У математиці алгебраїчна функція це функція яку можна визначити як корінь поліноміального алгебраїчно

Алгебрична функція

У математиці алгебраїчна функція — це функція, яку можна визначити як корінь поліноміального (алгебраїчного) рівняння. Досить часто алгебраїчні функції являють собою алгебраїчні вирази із скінченною кількістю членів з використанням лише алгебраїчних операцій додавання, віднімання, множення, ділення та піднесення до дробового степеня. Прикладами таких функцій є:

  • ,
  • ,
  • .

Однак деякі алгебраїчні функції не можна представити за допомогою скінченної кількості таких виразів (теорема Абеля — Руффіні). Таким прикладом є радикал Брінга — функція, що неявно визначається рівнянням

Точніше кажучи, алгебраїчною функцією степеня від однієї змінної є функція , яка неперервна на своїй області визначення і задовольняє поліноміальне рівняння:

де коефіцієнти — поліноміальні функції від із цілими коефіцієнтами. Можна показати, що отримаємо той самий клас функцій, якщо коефіцієнти поліномів є алгебраїчними числами. Якщо ж в коефіцієнтах зустрічаються трансцендентні числа, то функція у загальному випадку не є алгебраїчною, але вона є алгебраїчною над полем, яке породжене цими коефіцієнтами.

Значення алгебраїчної функції для раціонального числа, а в загальному випадку для алгебраїчного числа, завжди є алгебраїчним числом. Іноді розглядають коефіцієнти , які є поліномами над кільцем , і тоді говорять про "алгебраїчні функції над кільцем ".

Функція, яка не є алгебраїчною, називається трансцендентною як, наприклад, у випадку , , , . Композиція трансцендентних функцій може дати алгебраїчну функцію: .

Оскільки поліноміальне рівняння степеня має до коренів (і рівно коренів над алгебраїчно замкненим полем, таким як поле комплексних чисел), то поліноміальне рівняння неявно визначає не одну функцію, а до функцій, які іноді також називаються гілками. Розглянемо для прикладу рівняння одиничного кола: . Воно визначає , але тільки з точністю до знаку; відповідно, маємо дві гілки: .

Алгебраїчна функція від змінних також визначається як функція , яка є розв'язком поліноміального рівняння з змінними

Зазвичай передбачається, що поліном має бути незвідним поліномом.Тоді існування алгебраїчної функції гарантується теоремою про неявну функцію. Формально, алгебраїчна функція з змінних над полем є елементом алгебраїчного замикання[en] поля раціональних функцій .

Визначення і приклади Редагувати

Загалом, функція кількох змінних зветься алгебраїчною в точці , якщо існує окіл цієї точки, де функція задовольняє рівняння вигляду:

де — многочлени відносно , , . Наприклад, функція дійсної змінної є алгебраїчною на інтервалі в полі дійсних чисел, оскільки вона задовольняє рівнянню

Існує аналітичне продовження функції на комплексну площину, з вирізаним відрізком або з двома вирізаними променями і . У цій області отримана функція комплексного змінного є алгебраїчною і аналітичною.

Алгебраїчні функції, що є многочленами або їх частками, називають раціональними; інші алгебраїчні функції називають ірраціональними.

Відомо, що якщо функція є алгебраїчною в точці, то вона є і аналітичною в даній точці. Зворотне невірно. Функції, що є аналітичними, але що не є алгебраїчними, називаються трансцендентними функціями.

Алгебраїчні рівняння Редагувати

Рівняння виду

де і — многочлени з коефіцієнтами з поля раціональних чисел, називається алгебраїчним рівнянням.

Алгебраїчні функції від однієї змінної Редагувати

Вступ та огляд Редагувати

Неформальне визначення алгебраїчної функції дає ряд підказок про її властивості. Для інтуїтивного розуміння буде корисним розглядати алгебраїчні функції як функції, які можуть бути утворені звичайними алгебраїчними операціями: додаванням, множенням, діленням і добування кореня -го степеня. Це деяке надмірне спрощення; з огляду на фундаментальну теорему теорії Галуа алгебраїчні функції необов'язково виражаються у радикалах. По-перше, зауважимо, що будь-яка поліноміальна функція є алгебраїчною функцією, оскільки вона є просто розв'язком рівняння:

У більш загальному випадку, будь-яка раціональна функція є алгебраїчною, оскільки є розв'язком рівняння

Більше того, корінь -го степеня від будь-якого полінома є алгебраїчною функцією, оскільки є розв'язком рівняння

Неочікувано, але обернена функція для алгебраїчної функції є теж алгебраїчною функцією. Нехай є розв'язком рівняння

для кожного значення , тоді також є розв'язком цього рівняння для кожного значення . Дійсно, змінивши місцями та і згрупувавши доданки, отримуємо

Записавши як функцію від , отримаємо обернену функцію, яка є також алгебраїчною.

Однак не кожна функція має обернену. Наприклад, функція не проходить тест горизонтальної лінії[en], вона не є ін'єктивною. Оберненою є алгебраїчна "функція" . Інший спосіб зрозуміти це полягає в тому, що множина гілок поліноміального рівняння, що визначають нашу алгебраїчну функцію, є графіком алгебраїчної кривої.

Роль комплексних чисел Редагувати

З алгебраїчної точки зору комплексні числа цілком природно виникають при вивченні алгебраїчних функцій. Перш за все, згідно з фундаментальною теоремою алгебри, комплексні числа є алгебраїчно замкненим полем. Отже, будь-яке поліноміальне співвідношення гарантовано матиме принаймні один розв'язок (загалом, кількість розв'язків не перевищує степеня за змінною ) для в кожній точці , за умови, якщо може набувати як комплексних так і дійсних значень. Таким чином, проблеми пов'язані з областю визначення алгебраїчної функції сміливо можна мінімізувати.

Більше того навіть якщо у кінцевому рахунку когось цікавлять дійсні алгебраїчні функції, то може не виявитися способів виразити функцію у термінах додавання, множення, ділення та добування -го кореня без використання комплексних чисел (див. незвідний випадок). Наприклад, розглянемо алгебраїчну функцію, що визначається рівнянням

Використавши кубічну формулу, отримуємо

При квадратний корінь є дійсним і, таким чином, кубічний корінь є добре визначеним, що забезпечує наявність єдиного дійсного кореня. З іншого боку, при квадратний корінь не є дійсним, і для квадратного кореня потрібно вибрати будь-який недійсний квадратний корінь. Таким чином, кубічний корінь потрібно вибрати із трьох недійсних чисел. Якщо аналогічний вибір зробити у двох членах формули, то три випадки кубічного кореня забезпечують три гілки, показані на рисунку.

Можна довести, що неможливо виразити дану функцію у вигляді кореня -го степеня, використовуючи лише дійсні числа, навіть якщо отримана функція набуває дійсних значення на області показаного графіку.

Графік трьох гілок алгебраїчної функції , де , при .

На більш суттєвому теоретичному рівні застосування комплексних чисел дозволяє використовувати ефективні методи комплексного аналізу для дослідження алгебраїчних функцій. Зокрема, за допомогою принципу аргументу можна показати, що будь-яка алгебраїчна функція насправді є аналітичною функцією, принаймні в багатозначному розумінні.

Формально, нехай — комплексний поліном від комплексних змінних і . Припустимо, що таке значення, при якому поліном від змінної має різних нулів. Покажемо, що алгебраїчна функція є аналітичною в околі точки . Виберемо систему з кіл , що неперетинаються і містять кожен із цих нулів. Тоді за принципом аргументу

За неперервністю це є також справедливим для всіх в околі точки . Зокрема, має лише один корінь в , заданий основною теоремою про лишки:

яка є аналітичною функцією.

Монодромія Редагувати

Зауважимо, що вищенаведене доведення аналітичності дозволяє отримати вираз для системи з різних функціональних елементів , за умови, що не є критичною точкою полінома . Критична точка — це точка, в якій кількість різних нулів менша за степінь полінома , і це можливо лише там, де член з найвищим степенем полінома дорівнює нулю, а також дорівнює нулю дискримінант. Отже, існує лише скінченна кількість таких точок . За допомогою детального аналізу властивостей функціональних елементів поблизу критичних точок можна показати, що накриття монодромії[en] є розгалуженим[en] над критичними точками (і, можливо, точкою на нескінченності). Таким чином, голоморфне розширення функцій має в найгіршому випадку алгебраїчні полюси і звичайні алгебраїчні гілки над критичними точками.

Зауважимо, що поза критичними точками маємо

оскільки за визначенням є різними нулями полінома . Група монодромії діє шляхом перестановки коєфіцієнтів, і таким чином утворює монодромічне представлення групи Галуа полінома . Дія монодромії на універсальному накриваючому просторі є пов'язаним, але іншим поняттям у теорії поверхонь Рімана.)

Історія Редагувати

Ідеї, пов'язані з алгебраїчними функціями, з'явилися, принаймні, ще за часів Рене Декарта. Перше обговорення алгебраїчних функцій, мабуть, було в роботі Едварда Уорінга[en] 1794 року "An Essay on the Principles of Human Knowledge", в якій він пише:

"Нехай величина, що позначає ординату, є алгебраїчною функцією від абсциси , за допомогою звичайних методів ділення та добування коренів можна звести її до нескінченного ряду, який зростає або спадає відповідно до розмірності , а потім знайти інтеграл від кожного з отриманих членів".

Див. також Редагувати


Література Редагувати

  • Ahlfors, Lars (1979). Complex Analysis. McGraw Hill. 
  • van der Waerden, B.L. (1931). Modern Algebra, Volume II. Springer. 

Зовнішні посилання Редагувати

Джерела інформації Редагувати

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
U matematici algebrayichna funkciya ce funkciya yaku mozhna viznachiti yak korin polinomialnogo algebrayichnogo rivnyannya Dosit chasto algebrayichni funkciyi yavlyayut soboyu algebrayichni virazi iz skinchennoyu kilkistyu chleniv z vikoristannyam lishe algebrayichnih operacij dodavannya vidnimannya mnozhennya dilennya ta pidnesennya do drobovogo stepenya Prikladami takih funkcij ye f x 1 x displaystyle f x 1 x f x x displaystyle f x sqrt x f x 1 x 3 x 3 7 7 x 1 3 displaystyle f x frac sqrt 1 x 3 x 3 7 sqrt 7 x 1 3 Odnak deyaki algebrayichni funkciyi ne mozhna predstaviti za dopomogoyu skinchennoyi kilkosti takih viraziv teorema Abelya Ruffini Takim prikladom ye radikal Bringa funkciya sho neyavno viznachayetsya rivnyannyam f x 5 f x x 0 displaystyle f x 5 f x x 0 Tochnishe kazhuchi algebrayichnoyu funkciyeyu stepenya n displaystyle n vid odniyeyi zminnoyi x displaystyle x ye funkciya y f x displaystyle y f x yaka neperervna na svoyij oblasti viznachennya i zadovolnyaye polinomialne rivnyannya a n x y n a n 1 x y n 1 a 0 x 0 displaystyle a n x y n a n 1 x y n 1 cdots a 0 x 0 de koeficiyenti a i x displaystyle a i x polinomialni funkciyi vid x displaystyle x iz cilimi koeficiyentami Mozhna pokazati sho otrimayemo toj samij klas funkcij yaksho koeficiyenti polinomiv a i x displaystyle a i x ye algebrayichnimi chislami Yaksho zh v koeficiyentah zustrichayutsya transcendentni chisla to funkciya u zagalnomu vipadku ne ye algebrayichnoyu ale vona ye algebrayichnoyu nad polem yake porodzhene cimi koeficiyentami Znachennya algebrayichnoyi funkciyi dlya racionalnogo chisla a v zagalnomu vipadku dlya algebrayichnogo chisla zavzhdi ye algebrayichnim chislom Inodi rozglyadayut koeficiyenti a i x displaystyle a i x yaki ye polinomami nad kilcem R displaystyle R i todi govoryat pro algebrayichni funkciyi nad kilcem R displaystyle R Funkciya yaka ne ye algebrayichnoyu nazivayetsya transcendentnoyu yak napriklad u vipadku exp x displaystyle exp x tg x displaystyle operatorname tg x ln x displaystyle ln x G x displaystyle Gamma x Kompoziciya transcendentnih funkcij mozhe dati algebrayichnu funkciyu f x cos arcsin x 1 x 2 displaystyle f x cos arcsin x sqrt 1 x 2 Oskilki polinomialne rivnyannya stepenya n displaystyle n maye do n displaystyle n koreniv i rivno n displaystyle n koreniv nad algebrayichno zamknenim polem takim yak pole kompleksnih chisel to polinomialne rivnyannya neyavno viznachaye ne odnu funkciyu a do n displaystyle n funkcij yaki inodi takozh nazivayutsya gilkami Rozglyanemo dlya prikladu rivnyannya odinichnogo kola y 2 x 2 1 displaystyle y 2 x 2 1 Vono viznachaye y displaystyle y ale tilki z tochnistyu do znaku vidpovidno mayemo dvi gilki y 1 x 2 displaystyle y pm sqrt 1 x 2 Algebrayichna funkciya vid m displaystyle m zminnih takozh viznachayetsya yak funkciya y f x 1 x m displaystyle y f x 1 dots x m yaka ye rozv yazkom polinomialnogo rivnyannya z m 1 displaystyle m 1 zminnimi p y x 1 x 2 x m 0 displaystyle p y x 1 x 2 dots x m 0 Zazvichaj peredbachayetsya sho polinom p displaystyle p maye buti nezvidnim polinomom Todi isnuvannya algebrayichnoyi funkciyi garantuyetsya teoremoyu pro neyavnu funkciyu Formalno algebrayichna funkciya z m displaystyle m zminnih nad polem K displaystyle K ye elementom algebrayichnogo zamikannya en polya racionalnih funkcij K x 1 x m displaystyle K x 1 dots x m Zmist 1 Viznachennya i prikladi 2 Algebrayichni rivnyannya 3 Algebrayichni funkciyi vid odniyeyi zminnoyi 3 1 Vstup ta oglyad 4 Rol kompleksnih chisel 5 Monodromiya 6 Istoriya 7 Div takozh 8 Literatura 9 Zovnishni posilannya 10 Dzherela informaciyiViznachennya i prikladi RedaguvatiZagalom funkciya kilkoh zminnih u f x y z displaystyle u f x y z dots nbsp zvetsya algebrayichnoyu v tochci x 0 y 0 z 0 displaystyle x 0 y 0 z 0 dots nbsp yaksho isnuye okil ciyeyi tochki de funkciya zadovolnyaye rivnyannya viglyadu P 0 x y z u n P 1 x y z u n 1 P n x y z 0 displaystyle P 0 x y z dots u n P 1 x y z dots u n 1 dots P n x y z dots 0 nbsp de P 0 P 1 P n displaystyle P 0 P 1 dots P n nbsp mnogochleni vidnosno x displaystyle x nbsp y displaystyle y nbsp z displaystyle z nbsp Napriklad funkciya dijsnoyi zminnoyi F x 1 x 2 displaystyle F x sqrt 1 x 2 nbsp ye algebrayichnoyu na intervali 1 1 displaystyle 1 1 nbsp v poli dijsnih chisel oskilki vona zadovolnyaye rivnyannyu F 2 x 2 1 displaystyle F 2 x 2 1 nbsp Isnuye analitichne prodovzhennya funkciyi F x 1 x 2 displaystyle F x sqrt 1 x 2 nbsp na kompleksnu ploshinu z virizanim vidrizkom 1 1 displaystyle 1 1 nbsp abo z dvoma virizanimi promenyami 1 displaystyle infty 1 nbsp i 1 displaystyle 1 infty nbsp U cij oblasti otrimana funkciya kompleksnogo zminnogo ye algebrayichnoyu i analitichnoyu Algebrayichni funkciyi sho ye mnogochlenami abo yih chastkami nazivayut racionalnimi inshi algebrayichni funkciyi nazivayut irracionalnimi Vidomo sho yaksho funkciya ye algebrayichnoyu v tochci to vona ye i analitichnoyu v danij tochci Zvorotne nevirno Funkciyi sho ye analitichnimi ale sho ne ye algebrayichnimi nazivayutsya transcendentnimi funkciyami Algebrayichni rivnyannya RedaguvatiRivnyannya vidu P x 1 x n Q x 1 x n displaystyle P x 1 ldots x n Q x 1 ldots x n nbsp de P displaystyle P nbsp i Q displaystyle Q nbsp mnogochleni z koeficiyentami z polya racionalnih chisel nazivayetsya algebrayichnim rivnyannyam Algebrayichni funkciyi vid odniyeyi zminnoyi RedaguvatiVstup ta oglyad Redaguvati Neformalne viznachennya algebrayichnoyi funkciyi daye ryad pidkazok pro yiyi vlastivosti Dlya intuyitivnogo rozuminnya bude korisnim rozglyadati algebrayichni funkciyi yak funkciyi yaki mozhut buti utvoreni zvichajnimi algebrayichnimi operaciyami dodavannyam mnozhennyam dilennyam i dobuvannya korenya n displaystyle n nbsp go stepenya Ce deyake nadmirne sproshennya z oglyadu na fundamentalnu teoremu teoriyi Galua algebrayichni funkciyi neobov yazkovo virazhayutsya u radikalah Po pershe zauvazhimo sho bud yaka polinomialna funkciya y p x displaystyle y p x nbsp ye algebrayichnoyu funkciyeyu oskilki vona ye prosto rozv yazkom rivnyannya y p x 0 displaystyle y p x 0 nbsp U bilsh zagalnomu vipadku bud yaka racionalna funkciya y p x q x displaystyle y dfrac p x q x nbsp ye algebrayichnoyu oskilki ye rozv yazkom rivnyannya q x y p x 0 displaystyle q x y p x 0 nbsp Bilshe togo korin n displaystyle n nbsp go stepenya vid bud yakogo polinoma y p x n displaystyle y sqrt n p x nbsp ye algebrayichnoyu funkciyeyu oskilki ye rozv yazkom rivnyannya y n p x 0 displaystyle y n p x 0 nbsp Neochikuvano ale obernena funkciya dlya algebrayichnoyi funkciyi ye tezh algebrayichnoyu funkciyeyu Nehaj y displaystyle y nbsp ye rozv yazkom rivnyannya a n x y n a 0 x 0 displaystyle a n x y n cdots a 0 x 0 nbsp dlya kozhnogo znachennya x displaystyle x nbsp todi x displaystyle x nbsp takozh ye rozv yazkom cogo rivnyannya dlya kozhnogo znachennya y displaystyle y nbsp Dijsno zminivshi miscyami x displaystyle x nbsp ta y displaystyle y nbsp i zgrupuvavshi dodanki otrimuyemo b m y x m b m 1 y x m 1 b 0 y 0 displaystyle b m y x m b m 1 y x m 1 cdots b 0 y 0 nbsp Zapisavshi x displaystyle x nbsp yak funkciyu vid y displaystyle y nbsp otrimayemo obernenu funkciyu yaka ye takozh algebrayichnoyu Odnak ne kozhna funkciya maye obernenu Napriklad funkciya y x 2 displaystyle y x 2 nbsp ne prohodit test gorizontalnoyi liniyi en vona ne ye in yektivnoyu Obernenoyu ye algebrayichna funkciya x y displaystyle x pm sqrt y nbsp Inshij sposib zrozumiti ce polyagaye v tomu sho mnozhina gilok polinomialnogo rivnyannya sho viznachayut nashu algebrayichnu funkciyu ye grafikom algebrayichnoyi krivoyi Rol kompleksnih chisel RedaguvatiZ algebrayichnoyi tochki zoru kompleksni chisla cilkom prirodno vinikayut pri vivchenni algebrayichnih funkcij Persh za vse zgidno z fundamentalnoyu teoremoyu algebri kompleksni chisla ye algebrayichno zamknenim polem Otzhe bud yake polinomialne spivvidnoshennya p y x 0 displaystyle p y x 0 nbsp garantovano matime prinajmni odin rozv yazok zagalom kilkist rozv yazkiv ne perevishuye stepenya p displaystyle p nbsp za zminnoyu y displaystyle y nbsp dlya y displaystyle y nbsp v kozhnij tochci x displaystyle x nbsp za umovi yaksho y displaystyle y nbsp mozhe nabuvati yak kompleksnih tak i dijsnih znachen Takim chinom problemi pov yazani z oblastyu viznachennya algebrayichnoyi funkciyi smilivo mozhna minimizuvati Bilshe togo navit yaksho u kincevomu rahunku kogos cikavlyat dijsni algebrayichni funkciyi to mozhe ne viyavitisya sposobiv viraziti funkciyu u terminah dodavannya mnozhennya dilennya ta dobuvannya n displaystyle n nbsp go korenya bez vikoristannya kompleksnih chisel div nezvidnij vipadok Napriklad rozglyanemo algebrayichnu funkciyu sho viznachayetsya rivnyannyam y 3 x y 1 0 displaystyle y 3 xy 1 0 nbsp Vikoristavshi kubichnu formulu otrimuyemo y 2 x 108 12 81 12 x 3 3 108 12 81 12 x 3 3 6 displaystyle y frac 2x sqrt 3 108 12 sqrt 81 12x 3 frac sqrt 3 108 12 sqrt 81 12x 3 6 nbsp Pri x 3 4 3 displaystyle x leq frac 3 sqrt 3 4 nbsp kvadratnij korin ye dijsnim i takim chinom kubichnij korin ye dobre viznachenim sho zabezpechuye nayavnist yedinogo dijsnogo korenya Z inshogo boku pri x gt 3 4 3 displaystyle x gt frac 3 sqrt 3 4 nbsp kvadratnij korin ne ye dijsnim i dlya kvadratnogo korenya potribno vibrati bud yakij nedijsnij kvadratnij korin Takim chinom kubichnij korin potribno vibrati iz troh nedijsnih chisel Yaksho analogichnij vibir zrobiti u dvoh chlenah formuli to tri vipadki kubichnogo korenya zabezpechuyut tri gilki pokazani na risunku Mozhna dovesti sho nemozhlivo viraziti danu funkciyu u viglyadi korenya n displaystyle n nbsp go stepenya vikoristovuyuchi lishe dijsni chisla navit yaksho otrimana funkciya nabuvaye dijsnih znachennya na oblasti pokazanogo grafiku nbsp Grafik troh gilok algebrayichnoyi funkciyi y displaystyle y nbsp de y 3 x y 1 0 displaystyle y 3 xy 1 0 nbsp pri 3 2 3 2 lt x lt 50 displaystyle left frac 3 2 right frac 3 2 lt x lt 50 nbsp Na bilsh suttyevomu teoretichnomu rivni zastosuvannya kompleksnih chisel dozvolyaye vikoristovuvati efektivni metodi kompleksnogo analizu dlya doslidzhennya algebrayichnih funkcij Zokrema za dopomogoyu principu argumentu mozhna pokazati sho bud yaka algebrayichna funkciya naspravdi ye analitichnoyu funkciyeyu prinajmni v bagatoznachnomu rozuminni Formalno nehaj p x y displaystyle p x y nbsp kompleksnij polinom vid kompleksnih zminnih x displaystyle x nbsp i y displaystyle y nbsp Pripustimo sho x 0 C displaystyle x 0 in mathbb C nbsp take znachennya pri yakomu polinom p x 0 y displaystyle p x 0 y nbsp vid zminnoyi y displaystyle y nbsp maye n displaystyle n nbsp riznih nuliv Pokazhemo sho algebrayichna funkciya ye analitichnoyu v okoli tochki x 0 displaystyle x 0 nbsp Viberemo sistemu z n displaystyle n nbsp kil D i displaystyle Delta i nbsp sho neperetinayutsya i mistyat kozhen iz cih nuliv Todi za principom argumentu 1 2 p i D i p y x 0 y p x 0 y d y 1 displaystyle frac 1 2 pi rm i oint partial Delta i frac p y x 0 y p x 0 y rm d y 1 nbsp Za neperervnistyu ce ye takozh spravedlivim dlya vsih x displaystyle x nbsp v okoli tochki x 0 displaystyle x 0 nbsp Zokrema p x y displaystyle p x y nbsp maye lishe odin korin v D i displaystyle Delta i nbsp zadanij osnovnoyu teoremoyu pro lishki f i x 1 2 p i D i y p y x y p x y d y displaystyle f i x frac 1 2 pi rm i oint partial Delta i y frac p y x y p x y rm d y nbsp yaka ye analitichnoyu funkciyeyu Monodromiya RedaguvatiZauvazhimo sho vishenavedene dovedennya analitichnosti dozvolyaye otrimati viraz dlya sistemi z n displaystyle n nbsp riznih funkcionalnih elementiv f i x displaystyle f i x nbsp za umovi sho x displaystyle x nbsp ne ye kritichnoyu tochkoyu polinoma p x y displaystyle p x y nbsp Kritichna tochka ce tochka v yakij kilkist riznih nuliv mensha za stepin polinoma p displaystyle p nbsp i ce mozhlivo lishe tam de chlen z najvishim stepenem polinoma p displaystyle p nbsp dorivnyuye nulyu a takozh dorivnyuye nulyu diskriminant Otzhe isnuye lishe skinchenna kilkist takih tochok c 1 c n displaystyle c 1 dots c n nbsp Za dopomogoyu detalnogo analizu vlastivostej funkcionalnih elementiv f i displaystyle f i nbsp poblizu kritichnih tochok mozhna pokazati sho nakrittya monodromiyi en ye rozgaluzhenim en nad kritichnimi tochkami i mozhlivo tochkoyu na neskinchennosti Takim chinom golomorfne rozshirennya funkcij f i displaystyle f i nbsp maye v najgirshomu vipadku algebrayichni polyusi i zvichajni algebrayichni gilki nad kritichnimi tochkami Zauvazhimo sho poza kritichnimi tochkami mayemo p x y a n x y f 1 x y f 2 x y f n x displaystyle p x y a n x y f 1 x y f 2 x cdots y f n x nbsp oskilki f i displaystyle f i nbsp za viznachennyam ye riznimi nulyami polinoma p displaystyle p nbsp Grupa monodromiyi diye shlyahom perestanovki koyeficiyentiv i takim chinom utvoryuye monodromichne predstavlennya grupi Galua polinoma p displaystyle p nbsp Diya monodromiyi na universalnomu nakrivayuchomu prostori ye pov yazanim ale inshim ponyattyam u teoriyi poverhon Rimana Istoriya RedaguvatiIdeyi pov yazani z algebrayichnimi funkciyami z yavilisya prinajmni she za chasiv Rene Dekarta Pershe obgovorennya algebrayichnih funkcij mabut bulo v roboti Edvarda Uoringa en 1794 roku An Essay on the Principles of Human Knowledge v yakij vin pishe Nehaj velichina sho poznachaye ordinatu ye algebrayichnoyu funkciyeyu vid abscisi x displaystyle x nbsp za dopomogoyu zvichajnih metodiv dilennya ta dobuvannya koreniv mozhna zvesti yiyi do neskinchennogo ryadu yakij zrostaye abo spadaye vidpovidno do rozmirnosti x displaystyle x nbsp a potim znajti integral vid kozhnogo z otrimanih chleniv Div takozh RedaguvatiAnalitichna funkciya Kompleksna funkciya Elementarna funkciya Funkciya matematika Uzagalnena funkciya Spisok specialnih funkcij ta eponimiv en Spisok tipiv funkcij en Polinom Racionalna funkciya Specialni funkciyi Transcendentna funkciyaLiteratura RedaguvatiAhlfors Lars 1979 Complex Analysis McGraw Hill van der Waerden B L 1931 Modern Algebra Volume II Springer Zovnishni posilannya RedaguvatiDefinition of Algebraic function in the Encyclopedia of Math Weisstein Eric W Algebraic Function angl na sajti Wolfram MathWorld Algebraic Function na PlanetMath angl Definition of Algebraic function Arhivovano 2020 10 26 u Wayback Machine in in David J Darling s Internet Encyclopedia of ScienceDzherela informaciyi RedaguvatiUkrayinska radyanska enciklopediya u 12 t gol red M P Bazhan redkol O K Antonov ta in 2 ge vid K Golovna redakciya URE 1974 1985 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Algebrichna funkciya amp oldid 36317094