www.wikidata.uk-ua.nina.az

Теорія трансцендентних чисел розділ теорії чисел вивчає трансцендентні числа тобто числа дійсні або комплексні які не мо

Теорія трансцендентних чисел

Теорія трансцендентних чисел — розділ теорії чисел, вивчає трансцендентні числа, тобто числа (дійсні або комплексні), які не можуть бути коренями жодного многочлена з цілими коефіцієнтами. Наприклад, такі важливі константи аналізу, як і e, є трансцендентними, а не є, оскільки є коренем многочлена

Одна з головних проблем цієї теорії — з'ясувати, чи є задане число трансцендентним чи ні. Методи і результати теорії трансцендентних чисел широко застосовуються під час дослідження діофантових рівнянь.

Трансцендентні числа Редагувати

Згідно з основною теоремою алгебри, будь-який ненульовий многочлен з цілими коефіцієнтами має комплексний корінь. Іншими словами, для будь-якого многочлена з цілими коефіцієнтами існує комплексне число таке, що Теорія трансцендентних чисел розглядає переважно обернене питання: дано комплексне число ; визначити, чи існує многочлен з цілими коефіцієнтами такий, що Якщо доведено, що такого многочлена не існує, то цим самим доведено трансцендентність числа .

Сукупність усіх коренів многочленів з цілими коефіцієнтами називається множиною алгебричних чисел. Наприклад, кожне раціональне число є алгебричним як корінь многочлена всілякі кінцеві комбінації радикалів довільного степеня з цілих чисел також належать до алгебричних чисел. Таким чином, усі комплексні числа поділяються на два неперетинні класи — алгебричні і трансцендентні. Як з'ясувалося, трансцендентних чисел у деякому сенсі значно більше, ніж алгебричних (див. нижче).

На відміну від множини алгебричних чисел, яка є полем, трансцендентні числа не утворюють ніякої алгебричної структури відносно арифметичних операцій — результат додавання, віднімання, множення і ділення трансцендентних чисел може бути як трансцендентним, так і алгебричним числом. Однак деякі обмежені способи отримати трансцендентне число з іншого трансцендентного існують.

  1. Якщо t — трансцендентне число, то і також трансцендентні.
  2. Якщо a — алгебричне число, не рівне нулю, t — трансцендентне, то трансцендентні.
  3. Якщо t — трансцендентне число, а  — натуральне, то і трансцендентні.

Історія Редагувати

Наближення раціональними числами: від Ліувіля до Рота Редагувати

Поняття трансцендентних чисел, що протиставлені алгебричним, сходить до сімнадцятого століття, коли Готфрід Ляйбніц довів, що синус не є алгебричною функцією. Докладніше це питання в 1740-і роки розглянув Ейлер; він заявив, що значення логарифма для раціональних чисел не є алгебричним, за винятком випадку, коли для деякого раціонального Це твердження Ейлера виявилося правильним, але залишалось не доведеним аж до XX століття. Ейлеру належать і самі терміни: алгебричне і трансцендентне число (в роботі 1775 року).

Перші конкретні приклади трансцендентних чисел навів Жозеф Ліувілль у 1840-х роках за допомогою неперервних дробів. Пізніше, в 1850-х роках, він сформулював необхідну умову того, щоб число було алгебричним; відповідно якщо ця умова порушується, то число напевно трансцендентне. За допомогою такого критерію він описав широкий клас трансцендентних чисел, який отримав назву «чисел Ліувілля». Пізніше встановлено, що числа Ліувілля утворюють на дійсній числовій осі всюди щільну множину, що має потужність континууму і, разом з тим, нульову міру Лебега.

Критерій Ліувілля по суті означає, що алгебричні числа не можна добре апроксимувати (наблизити) раціональними числами (див. Теорема Ліувілля про наближення алгебричних чисел). Таким чином, якщо число добре апроксимується раціональними числами, то воно мусить бути трансцендентним. Точний зміст поняття «добре апроксимується» у Ліувілля такий: якщо є алгебричним числом степеня і ε — будь-яке додатне число, то нерівність

може мати лише скінченне число раціональних розв'язків Таким чином, для доведення трансцендентності слід переконатися, що за будь-яких і існує нескінченно багато розв'язків зазначеної нерівності.

У XX столітті праці Акселя Туе, Карла Зігеля і Клауса Рота дозволили спростити перевірку нерівності Ліувілля, замінивши вираз спочатку а потім (1955 рік) на Вважалось, що цього результату, відомого як теорема Туе — Зігеля — Рота, вже не можна покращити, оскільки перевірено, що заміна на 2 дає помилкове твердження. Однак Серж Ленг запропонував поліпшення версії Рота; зокрема, він припустив, що можна замінити меншим виразом .

Теорема Рота ефективно завершила роботу, розпочату Ліувіллем, вона дозволила математикам довести трансцендентність багатьох чисел — наприклад, сталої Чемпернауна. Проте ця методика недостатньо сильна, щоб виявити всі трансцендентні числа; зокрема, вона незастосовна до чисел і .

Допоміжні функції: від Ерміта до Бейкера Редагувати

Для аналізу таких чисел, як і в дев'ятнадцятому столітті розроблено інші методи. Зазначені дві константи, як відомо, пов'язані тотожністю Ейлера. Зручним інструментом аналізу стали так звані допоміжні функції[en], які мають багато нулів у досліджуваних точках. Тут багато нулів може означати буквально велике число нулів, або всього один нуль, але з високою кратністю, або навіть багато нулів з високою кратністю кожен.

Шарль Ерміт 1873 року, щоб довести трансцендентність використовував допоміжні функції, які апроксимують функцію для кожного натурального числа . У 1880-ті роки Фердинанд фон Ліндеман використав результати Ерміта для того, щоб довести: якщо  — ненульове алгебричне число, то трансцендентне. Зокрема, звідси випливає, що трансцендентне, оскільки є алгебричним числом (рівне -1). Це відкриття закриває таку відому проблему античності, як «квадратура круга». Інший клас чисел, чия трансцендентність випливає з теореми Ліндемана — логарифми алгебричних чисел.

Подальшим розвитком теми зайнявся Карл Веєрштрасс, який опублікував 1885 року теорему Ліндемана–Веєрштрасса. Він значно розширив клас чисел з доведеною трансцендентністю, включивши до нього значення функцій синуса і косинуса майже для всіх алгебричних значень аргументів.

1900 року Давид Гільберт у своїй відомій доповіді на Другому міжнародному конгресі математиків перелічив найважливіші математичні проблеми. В сьомій з них, одній з найважчих (за його оцінкою), порушено питання про трансцендентність чисел виду де  — алгебричні числа, не нуль і не одиниця, а ірраціональне. У 1930-х роках Олександр Гельфонд і Теодор Шнайдер довели, що всі такі числа справді трансцендентні (теорема Гельфонда — Шнайдера). Автори використовували для доведення неявну допоміжну функцію, існування якої гарантує лема Зігеля[en]. З теореми Гельфонда — Шнайдера випливає трансцендентність таких чисел, як , і сталої Гельфонда.

Наступний важливий результат отримано в 1960-х роках, коли Алан Бейкер просунувся у розв'язанні проблеми, поставленої Гельфондом, яка стосується лінійних форм над логарифмами. Раніше Гельфонду вдалося знайти нетривіальну нижню межу для виразу:

де всі чотири невідомі величини є алгебричними, причому не дорівнюють нулю або одиниці, а ірраціональні. Знайти аналогічні нижні межі для суми трьох і більше логарифмів Гельфонду не вдалося. Доведення теореми Бейкера[en] містило знаходження таких меж і рішення проблеми числа класів Гауса[en]. Ця робота принесла Бейкеру премію Філдса 1970 року за її використання для розв'язання діофантових рівнянь.

З теореми Бейкера випливає, що якщо  — алгебричні числа, які не дорівнюють нулю, або одиниці, і  — алгебричні числа такі, що лінійно незалежні над полем раціональних чисел, то число трансцендентне.

Інші методи: Кантор і Зільбер Редагувати

1874 року Георг Кантор, розробляючи свою теорію множин, довів, що алгебричні числа можна поставити у взаємно-однозначну відповідність із множиною натуральних чисел. Іншими словами, множина алгебричних чисел зліченна, а тоді множина трансцендентних чисел повинна бути не тільки нескінченною, але й більш ніж зліченною (континуально). Пізніше, 1891 року, Кантор використав для доведення простіший і звичніший діагональний метод. Зустрічаються думки, що ці результати Кантора непридатні для побудови конкретних трансцендентних чисел, однак на ділі доведення в обох вищезазначених документах дають методи побудови трансцендентних чисел. Кантор використав теорію множин для доведення повноти множини трансцендентних чисел.

Однією з останніх тенденцій при розв'язуванні задач теорії трансцендентних чисел стало використання теорії моделей. Проблема полягає в тому, щоб визначити степінь трансцендентності поля

для комплексних чисел які є лінійно незалежними над полем раціональних чисел. Стівен Шануель[en] (Stephen Schanuel) припустив, що відповідь, принаймні, n, але доведення цього поки що немає. У 2004 році, правда, Борис Зільбер опублікував роботу, яка використовує теоретико-модельні методи, щоб створити структуру, яка поводиться дуже схоже на комплексні числа, забезпечені операціями додавання, множення і піднесення до степеня. Крім того, в цій абстрактній структурі гіпотеза Шануеля дійсно виконується. На жаль, поки немає впевненості, що ця структура дійсно така ж, як комплексні числа з названими операціями.

Підходи Редагувати

Вище вже згадувалося, що множина алгебричних чисел всього лиш зліченна і, отже, «майже всі» числа трансцендентні. Трансцендентність числа, таким чином, є типовим випадком; проте зазвичай не просто довести, що дане число є трансцендентним. З цієї причини теорія трансцендентності часто надає перевагу більш кількісному підходу: нехай дано комплексне число α; питається, наскільки близько воно до алгебричних чисел? Наприклад, якщо вдається показати, що ніяке зростання степеня многочлена або його коефіцієнтів не може зробити α його коренем, то це число має бути трансцендентним.

Для реалізації цієї ідеї можна знайти нижню межу форми:

де права сторона — деяка додана функція, що залежить від деякої міри коефіцієнтів многочлена та його степеня нижня межа («міра трансцендентності») визначається за всіма ненульовими многочленами. Випадок відповідає класичній задачі діофантових наближень, тобто пошуку нижньої межі для виразу:

Методи теорії трансцендентності та діофантових наближень мають багато спільного: вони обидва використовують концепцію допоміжних функцій.

Узагальнення Редагувати

Визначення трансцендентності можна узагальнити. Набір чисел називається алгебрично незалежним над полем , якщо існує ненульовий многочлен з цілими коефіцієнтами в такий, що Для поля раціональних чисел і набору з одного числа це визначення збігається з наведеним вище визначенням трансцендентності. Розроблена також теорія трансцендентних p-адичних чисел.

Відкриті проблеми Редагувати

Згадана вище теорема Гельфонда — Шнайдера відкрила великий клас трансцендентних чисел, але цей клас лише зліченний, і для багатьох важливих констант досі не відомо, трансцендентні вони. Не завжди навіть відомо, що вони є ірраціональними. Серед них, наприклад, різні поєднання і e, стала Апері, стала Ейлера — Маскероні.

Досягнення в теорії стосуються переважно чисел, пов'язаних з експонентою. Це означає, що потрібні зовсім нові методи. Головна проблема в теорії трансцендентності — довести, що конкретний набір трансцендентних чисел є алгебрично незалежним, це більш сильне твердження, ніж те, що окремі числа в наборі трансцендентні. Ми знаємо, що і e трансцендентні, але це не означає, що трансцендентним е або інші комбінації цих чисел (за винятком сталої Гельфонда, яка, як вже відомо, трансцендентна). Гіпотеза Шануеля вирішує проблему однак вона також стосується тільки чисел, пов'язаних з експонентою.

Примітки Редагувати

  1. Bourbaki N. Elements of the History of Mathematics, Springer (1994).
  2. Гельфонд, 1952, с. 8.
  3. Euler, L. Introductio in analysin infinitorum. — Lausanne, 1748.
  4. ↑ Жуков А..
  5. J. Liouville. Sur les classes très étendues de quantités dont la valeur n'est ni algébrique ni même réductible à des irrationelles algébriques, Comptes Rendus Acad.
  6. Гельфонд, 1952, с. 9.
  7. Thue, A. Über Annäherungswerte algebraischer Zahlen // Journal für die reine und angewandte Mathematik. — 1909. — Т. 135 (20 October). — С. 284—305. — DOI:10.1515/crll.1909.135.284.
  8. Siegel, C. L. Approximation algebraischer Zahlen // Mathematische Zeitschrift[en] : journal. — 1921. — Vol. 10, no. 3—4 (20 October). — P. 172—213. — DOI:10.1007/BF01211608.
  9. Roth, K. F. Rational approximations to algebraic numbers // Mathematika[en] : journal. — 1955. — Vol. 2, no. 1 (20 October). — P. 1—20. — DOI:10.1112/S0025579300000644.
  10. Mahler, K. On the approximation of π // Proc. Akad. Wetensch. Ser. A. — 1953. — Т. 56 (20 October). — С. 30—42.
  11. Hermite, C. Sur la fonction exponentielle // C. R. Acad. Sci. Paris[en]. — 1873. — Т. 77 (20 October).
  12. Lindemann, F. Ueber die Zahl π // Mathematische Annalen. — 1882. — Т. 20, № 2 (20 October). — С. 213—225. — DOI:10.1007/BF01446522.
  13. Weierstrass, K. Zu Hrn. Lindemann's Abhandlung: 'Über die Ludolph'sche Zahl' // Sitzungber. Königl. Preuss. Akad. Wissensch. zu Berlin : magazin. — 1885. — Bd. 2 pages=1067—1086 (20 Oktober).
  14. Schneider, T. Transzendenzuntersuchungen periodischer Funktionen. I. Transzendend von Potenzen // Journal für die reine und angewandte Mathematik : magazin. — 1935. — Bd. 172 (20 Oktober). — S. 65—69. — DOI:10.1515/crll.1935.172.65.
  15. Baker A. Linear forms in the logarithms of algebraic numbers.
  16. Cantor, G. Ueber eine Eigenschaft des Ingebriffes aller reelen algebraischen Zahlen // Journal für die reine und angewandte Mathematik : magazin. — 1874. — Bd. 77 (20 Oktober). — S. 258—262. — DOI:10.1515/crll.1874.77.258.
  17. Cantor, G. Ueber eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre // Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung : magazin. — 1891. — Bd. 1 (20 Oktober). — S. 75—78. з джерела 7 травня 2021. Процитовано 13 січня 2021.
  18. Kac, M.; Stanislaw, U. Mathematics and Logic. — Fredering A. Praeger, 1968. — С. 13.
  19. Gray, R. Georg Cantor and Transcendental Numbers // Amer. Math. Monthly : journal. — 1994. — Vol. 101, no. 9 (20 October). — P. 819—832. з джерела 21 січня 2022. Процитовано 13 січня 2021.
  20. Zilber, B. Pseudo-exponentiation on algebraically closed fields of characteristic zero // Annals of Pure and Applied Logic : journal. — 2005. — Vol. 132, no. 1 (20 October). — P. 67—95. — DOI:10.1016/j.apal.2004.07.001.
  21. Математическая энциклопедия, 1985, с. 426—427.
  22. Hyun Seok, Lee.

Література Редагувати

  • Гельфонд А. О. Трансцендентные и алгебраические числа. — М. : ГИТТЛ, 1952. — 224 с.
  • Трансцендентное число // [1] — М. : Советская Энциклопедия, 1985. — Т. 5. з джерела 17 листопада 2020
  • Фельдман Н. И. Седьмая проблема Гильберта. — М. : Изд-во МГУ, 1982. — 312 с.
  • Хинчин А. Я. [2] — М. : ГИФМЛ, 1960. з джерела 2 листопада 2021
  • Baker, Alan. Transcendental Number Theory. — Cambridge University Press, 1975. — ISBN 0-521-20461-5.
  • Baker, Alan; Wüstholz, Gisbert. Logarithmic Forms and Diophantine Geometry, New Mathematical Monographs 9. — Cambridge University Press, 2007. — ISBN 978-0-521-88268-2.
  • Lang, Serge. Introduction to Transcendental Numbers. — Addison–Wesley, 1966. — ISBN 0-521-20461-5.

Посилання Редагувати

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Teoriya transcendentnih chisel rozdil teoriyi chisel vivchaye transcendentni chisla tobto chisla dijsni abo kompleksni yaki ne mozhut buti korenyami zhodnogo mnogochlena z cilimi koeficiyentami Napriklad taki vazhlivi konstanti analizu yak p displaystyle pi i e ye transcendentnimi a 2 displaystyle sqrt 2 ne ye oskilki 2 displaystyle sqrt 2 ye korenem mnogochlena x 2 2 displaystyle x 2 2 Odna z golovnih problem ciyeyi teoriyi z yasuvati chi ye zadane chislo transcendentnim chi ni Metodi i rezultati teoriyi transcendentnih chisel shiroko zastosovuyutsya pid chas doslidzhennya diofantovih rivnyan Zmist 1 Transcendentni chisla 2 Istoriya 2 1 Nablizhennya racionalnimi chislami vid Liuvilya do Rota 2 2 Dopomizhni funkciyi vid Ermita do Bejkera 2 3 Inshi metodi Kantor i Zilber 3 Pidhodi 4 Uzagalnennya 5 Vidkriti problemi 6 Primitki 7 Literatura 8 PosilannyaTranscendentni chisla RedaguvatiDokladnishe Transcendentne chisloZgidno z osnovnoyu teoremoyu algebri bud yakij nenulovij mnogochlen z cilimi koeficiyentami maye kompleksnij korin Inshimi slovami dlya bud yakogo mnogochlena P x displaystyle P x nbsp z cilimi koeficiyentami isnuye kompleksne chislo a displaystyle alpha nbsp take sho P a 0 displaystyle P alpha 0 nbsp Teoriya transcendentnih chisel rozglyadaye perevazhno obernene pitannya dano kompleksne chislo a displaystyle alpha nbsp viznachiti chi isnuye mnogochlen P x displaystyle P x nbsp z cilimi koeficiyentami takij sho P a 0 displaystyle P alpha 0 nbsp Yaksho dovedeno sho takogo mnogochlena ne isnuye to cim samim dovedeno transcendentnist chisla a displaystyle alpha nbsp Sukupnist usih koreniv mnogochleniv z cilimi koeficiyentami nazivayetsya mnozhinoyu algebrichnih chisel Napriklad kozhne racionalne chislo m n displaystyle m over n nbsp ye algebrichnim yak korin mnogochlena n x m displaystyle nx m nbsp vsilyaki kincevi kombinaciyi radikaliv dovilnogo stepenya z cilih chisel takozh nalezhat do algebrichnih chisel Takim chinom usi kompleksni chisla podilyayutsya na dva neperetinni klasi algebrichni i transcendentni Yak z yasuvalosya transcendentnih chisel u deyakomu sensi znachno bilshe nizh algebrichnih div nizhche Na vidminu vid mnozhini algebrichnih chisel yaka ye polem transcendentni chisla ne utvoryuyut niyakoyi algebrichnoyi strukturi vidnosno arifmetichnih operacij rezultat dodavannya vidnimannya mnozhennya i dilennya transcendentnih chisel mozhe buti yak transcendentnim tak i algebrichnim chislom Odnak deyaki obmezheni sposobi otrimati transcendentne chislo z inshogo transcendentnogo isnuyut Yaksho t transcendentne chislo to t displaystyle t nbsp i 1 t displaystyle 1 t nbsp takozh transcendentni Yaksho a algebrichne chislo ne rivne nulyu t transcendentne to a t a t a t t a displaystyle a pm t at a t t a nbsp transcendentni Yaksho t transcendentne chislo a n displaystyle n nbsp naturalne to t n displaystyle t n nbsp i t n displaystyle sqrt n t nbsp transcendentni Istoriya RedaguvatiNablizhennya racionalnimi chislami vid Liuvilya do Rota Redaguvati Ponyattya transcendentnih chisel sho protistavleni algebrichnim shodit do simnadcyatogo stolittya koli Gotfrid Lyajbnic doviv sho sinus ne ye algebrichnoyu funkciyeyu 1 Dokladnishe ce pitannya v 1740 i roki rozglyanuv Ejler 2 vin zayaviv 3 sho znachennya logarifma log a b displaystyle log a b nbsp dlya racionalnih chisel a b displaystyle a b nbsp ne ye algebrichnim za vinyatkom vipadku koli b a c displaystyle b a c nbsp dlya deyakogo racionalnogo c displaystyle c nbsp Ce tverdzhennya Ejlera viyavilosya pravilnim ale zalishalos ne dovedenim azh do XX stolittya Ejleru nalezhat i sami termini algebrichne i transcendentne chislo v roboti 1775 roku 4 Pershi konkretni prikladi transcendentnih chisel naviv Zhozef Liuvill u 1840 h rokah za dopomogoyu neperervnih drobiv Piznishe v 1850 h rokah vin sformulyuvav neobhidnu umovu togo shob chislo bulo algebrichnim vidpovidno yaksho cya umova porushuyetsya to chislo napevno transcendentne 5 Za dopomogoyu takogo kriteriyu vin opisav shirokij klas transcendentnih chisel yakij otrimav nazvu chisel Liuvillya Piznishe vstanovleno sho chisla Liuvillya utvoryuyut na dijsnij chislovij osi vsyudi shilnu mnozhinu sho maye potuzhnist kontinuumu i razom z tim nulovu miru Lebega Kriterij Liuvillya po suti oznachaye sho algebrichni chisla ne mozhna dobre aproksimuvati nabliziti racionalnimi chislami div Teorema Liuvillya pro nablizhennya algebrichnih chisel Takim chinom yaksho chislo dobre aproksimuyetsya racionalnimi chislami to vono musit buti transcendentnim Tochnij zmist ponyattya dobre aproksimuyetsya u Liuvillya takij yaksho a displaystyle alpha nbsp ye algebrichnim chislom stepenya d 2 displaystyle d geqslant 2 nbsp i e bud yake dodatne chislo to nerivnist a p q lt 1 q d e displaystyle left alpha frac p q right lt frac 1 q d varepsilon nbsp mozhe mati lishe skinchenne chislo racionalnih rozv yazkiv p q displaystyle p q nbsp Takim chinom dlya dovedennya transcendentnosti slid perekonatisya sho za bud yakih d displaystyle d nbsp i e gt 0 displaystyle varepsilon gt 0 nbsp isnuye neskinchenno bagato rozv yazkiv zaznachenoyi nerivnosti 6 U XX stolitti praci Akselya Tue 7 Karla Zigelya 8 i Klausa Rota 9 dozvolili sprostiti perevirku nerivnosti Liuvillya zaminivshi viraz d e displaystyle d varepsilon nbsp spochatku d 2 e 1 displaystyle d 2 varepsilon 1 nbsp a potim 1955 rik na 2 e displaystyle 2 varepsilon nbsp Vvazhalos sho cogo rezultatu vidomogo yak teorema Tue Zigelya Rota vzhe ne mozhna pokrashiti oskilki perevireno sho zamina 2 e displaystyle 2 varepsilon nbsp na 2 daye pomilkove tverdzhennya Odnak Serzh Leng zaproponuvav polipshennya versiyi Rota zokrema vin pripustiv sho q 2 e displaystyle q 2 varepsilon nbsp mozhna zaminiti menshim virazom q 2 ln q 1 e displaystyle q 2 ln q 1 varepsilon nbsp Teorema Rota efektivno zavershila robotu rozpochatu Liuvillem vona dozvolila matematikam dovesti transcendentnist bagatoh chisel napriklad staloyi Chempernauna Prote cya metodika nedostatno silna shob viyaviti vsi transcendentni chisla zokrema vona nezastosovna do chisel e displaystyle e nbsp i p displaystyle pi nbsp 10 Dopomizhni funkciyi vid Ermita do Bejkera Redaguvati Dlya analizu takih chisel yak e displaystyle e nbsp i p displaystyle pi nbsp v dev yatnadcyatomu stolitti rozrobleno inshi metodi Zaznacheni dvi konstanti yak vidomo pov yazani totozhnistyu Ejlera Zruchnim instrumentom analizu stali tak zvani dopomizhni funkciyi en yaki mayut bagato nuliv u doslidzhuvanih tochkah Tut bagato nuliv mozhe oznachati bukvalno velike chislo nuliv abo vsogo odin nul ale z visokoyu kratnistyu abo navit bagato nuliv z visokoyu kratnistyu kozhen Sharl Ermit 1873 roku shob dovesti transcendentnist e displaystyle e nbsp vikoristovuvav dopomizhni funkciyi yaki aproksimuyut funkciyu e k x displaystyle e kx nbsp dlya kozhnogo naturalnogo chisla k displaystyle k nbsp 11 U 1880 ti roki Ferdinand fon Lindeman vikoristav rezultati Ermita 12 dlya togo shob dovesti yaksho a displaystyle alpha nbsp nenulove algebrichne chislo to e a displaystyle e alpha nbsp transcendentne Zokrema zvidsi viplivaye sho p displaystyle pi nbsp transcendentne oskilki e i p displaystyle e i pi nbsp ye algebrichnim chislom rivne 1 Ce vidkrittya zakrivaye taku vidomu problemu antichnosti yak kvadratura kruga Inshij klas chisel chiya transcendentnist viplivaye z teoremi Lindemana logarifmi algebrichnih chisel Podalshim rozvitkom temi zajnyavsya Karl Veyershtrass yakij opublikuvav 1885 roku teoremu Lindemana Veyershtrassa 13 Vin znachno rozshiriv klas chisel z dovedenoyu transcendentnistyu vklyuchivshi do nogo znachennya funkcij sinusa i kosinusa majzhe dlya vsih algebrichnih znachen argumentiv 4 1900 roku David Gilbert u svoyij vidomij dopovidi na Drugomu mizhnarodnomu kongresi matematikiv perelichiv najvazhlivishi matematichni problemi V somij z nih odnij z najvazhchih za jogo ocinkoyu porusheno pitannya pro transcendentnist chisel vidu a b displaystyle a b nbsp de a b displaystyle a b nbsp algebrichni chisla a displaystyle a nbsp ne nul i ne odinicya a b displaystyle b nbsp irracionalne U 1930 h rokah Oleksandr Gelfond i Teodor Shnajder 14 doveli sho vsi taki chisla spravdi transcendentni teorema Gelfonda Shnajdera Avtori vikoristovuvali dlya dovedennya neyavnu dopomizhnu funkciyu isnuvannya yakoyi garantuye lema Zigelya en Z teoremi Gelfonda Shnajdera viplivaye transcendentnist takih chisel yak e p displaystyle e pi nbsp 2 2 displaystyle 2 sqrt 2 nbsp i staloyi Gelfonda Nastupnij vazhlivij rezultat otrimano v 1960 h rokah koli Alan Bejker prosunuvsya u rozv yazanni problemi postavlenoyi Gelfondom yaka stosuyetsya linijnih form nad logarifmami Ranishe Gelfondu vdalosya znajti netrivialnu nizhnyu mezhu dlya virazu b 1 log a 1 b 2 log a 2 displaystyle beta 1 log alpha 1 beta 2 log alpha 2 nbsp de vsi chotiri nevidomi velichini ye algebrichnimi prichomu a 1 a 2 displaystyle alpha 1 alpha 2 nbsp ne dorivnyuyut nulyu abo odinici a b 1 b 2 displaystyle beta 1 beta 2 nbsp irracionalni Znajti analogichni nizhni mezhi dlya sumi troh i bilshe logarifmiv Gelfondu ne vdalosya Dovedennya teoremi Bejkera en mistilo znahodzhennya takih mezh i rishennya problemi chisla klasiv Gausa en Cya robota prinesla Bejkeru premiyu Fildsa 1970 roku za yiyi vikoristannya dlya rozv yazannya diofantovih rivnyan Z teoremi Bejkera viplivaye sho yaksho a 1 a n displaystyle alpha 1 dots alpha n nbsp algebrichni chisla yaki ne dorivnyuyut nulyu abo odinici i b 1 b n displaystyle beta 1 dots beta n nbsp algebrichni chisla taki sho 1 b 1 b n displaystyle 1 beta 1 dots beta n nbsp linijno nezalezhni nad polem racionalnih chisel to chislo a 1 b 1 a 2 b 2 a n b n displaystyle alpha 1 beta 1 alpha 2 beta 2 cdots alpha n beta n nbsp transcendentne 15 Inshi metodi Kantor i Zilber Redaguvati 1874 roku Georg Kantor rozroblyayuchi svoyu teoriyu mnozhin doviv sho algebrichni chisla mozhna postaviti u vzayemno odnoznachnu vidpovidnist iz mnozhinoyu naturalnih chisel Inshimi slovami mnozhina algebrichnih chisel zlichenna a todi mnozhina transcendentnih chisel povinna buti ne tilki neskinchennoyu ale j bilsh nizh zlichennoyu kontinualno 16 Piznishe 1891 roku Kantor vikoristav dlya dovedennya prostishij i zvichnishij diagonalnij metod 17 Zustrichayutsya dumki sho ci rezultati Kantora nepridatni dlya pobudovi konkretnih transcendentnih chisel 18 odnak na dili dovedennya v oboh vishezaznachenih dokumentah dayut metodi pobudovi transcendentnih chisel 19 Kantor vikoristav teoriyu mnozhin dlya dovedennya povnoti mnozhini transcendentnih chisel Odniyeyu z ostannih tendencij pri rozv yazuvanni zadach teoriyi transcendentnih chisel stalo vikoristannya teoriyi modelej Problema polyagaye v tomu shob viznachiti stepin transcendentnosti polya K Q x 1 x n e x 1 e x n displaystyle K mathbb Q x 1 ldots x n e x 1 ldots e x n nbsp dlya kompleksnih chisel x 1 x n displaystyle x 1 ldots x n nbsp yaki ye linijno nezalezhnimi nad polem racionalnih chisel Stiven Shanuel en Stephen Schanuel pripustiv sho vidpovid prinajmni n ale dovedennya cogo poki sho nemaye U 2004 roci pravda Boris Zilber opublikuvav robotu yaka vikoristovuye teoretiko modelni metodi shob stvoriti strukturu yaka povoditsya duzhe shozhe na kompleksni chisla zabezpecheni operaciyami dodavannya mnozhennya i pidnesennya do stepenya Krim togo v cij abstraktnij strukturi gipoteza Shanuelya dijsno vikonuyetsya 20 Na zhal poki nemaye vpevnenosti sho cya struktura dijsno taka zh yak kompleksni chisla z nazvanimi operaciyami Pidhodi RedaguvatiVishe vzhe zgaduvalosya sho mnozhina algebrichnih chisel vsogo lish zlichenna i otzhe majzhe vsi chisla transcendentni Transcendentnist chisla takim chinom ye tipovim vipadkom prote zazvichaj ne prosto dovesti sho dane chislo ye transcendentnim Z ciyeyi prichini teoriya transcendentnosti chasto nadaye perevagu bilsh kilkisnomu pidhodu nehaj dano kompleksne chislo a pitayetsya naskilki blizko vono do algebrichnih chisel Napriklad yaksho vdayetsya pokazati sho niyake zrostannya stepenya mnogochlena abo jogo koeficiyentiv ne mozhe zrobiti a jogo korenem to ce chislo maye buti transcendentnim Dlya realizaciyi ciyeyi ideyi mozhna znajti nizhnyu mezhu formi P a gt F A d displaystyle P alpha gt F A d nbsp de prava storona deyaka dodana funkciya sho zalezhit vid deyakoyi miri A displaystyle A nbsp koeficiyentiv mnogochlena ta jogo stepenya d displaystyle d nbsp nizhnya mezha mira transcendentnosti viznachayetsya za vsima nenulovimi mnogochlenami Vipadok d 1 displaystyle d 1 nbsp vidpovidaye klasichnij zadachi diofantovih nablizhen tobto poshuku nizhnoyi mezhi dlya virazu a x b displaystyle ax b nbsp Metodi teoriyi transcendentnosti ta diofantovih nablizhen mayut bagato spilnogo voni obidva vikoristovuyut koncepciyu dopomizhnih funkcij Uzagalnennya RedaguvatiViznachennya transcendentnosti mozhna uzagalniti Nabir chisel a 1 a n displaystyle alpha 1 dots alpha n nbsp nazivayetsya algebrichno nezalezhnim nad polem K displaystyle K nbsp yaksho isnuye nenulovij mnogochlen P x 1 x n displaystyle P x 1 dots x n nbsp z cilimi koeficiyentami v K displaystyle K nbsp takij sho P a 1 a n 0 displaystyle P alpha 1 dots alpha n 0 nbsp Dlya polya racionalnih chisel i naboru z odnogo chisla a displaystyle alpha nbsp ce viznachennya zbigayetsya z navedenim vishe viznachennyam transcendentnosti Rozroblena takozh teoriya transcendentnih p adichnih chisel 21 Vidkriti problemi RedaguvatiZgadana vishe teorema Gelfonda Shnajdera vidkrila velikij klas transcendentnih chisel ale cej klas lishe zlichennij i dlya bagatoh vazhlivih konstant dosi ne vidomo transcendentni voni Ne zavzhdi navit vidomo sho voni ye irracionalnimi Sered nih napriklad rizni poyednannya p displaystyle pi nbsp i e stala Aperi stala Ejlera Maskeroni 22 Dosyagnennya v teoriyi stosuyutsya perevazhno chisel pov yazanih z eksponentoyu Ce oznachaye sho potribni zovsim novi metodi Golovna problema v teoriyi transcendentnosti dovesti sho konkretnij nabir transcendentnih chisel ye algebrichno nezalezhnim ce bilsh silne tverdzhennya nizh te sho okremi chisla v nabori transcendentni Mi znayemo sho p displaystyle pi nbsp i e transcendentni ale ce ne oznachaye sho transcendentnim e p e displaystyle pi e nbsp abo inshi kombinaciyi cih chisel za vinyatkom e p displaystyle e pi nbsp staloyi Gelfonda yaka yak vzhe vidomo transcendentna Gipoteza Shanuelya virishuye problemu p e displaystyle pi e nbsp odnak vona takozh stosuyetsya tilki chisel pov yazanih z eksponentoyu Primitki Redaguvati Bourbaki N Elements of the History of Mathematics Springer 1994 Gelfond 1952 s 8 Euler L Introductio in analysin infinitorum Lausanne 1748 a b Zhukov A J Liouville Sur les classes tres etendues de quantites dont la valeur n est ni algebrique ni meme reductible a des irrationelles algebriques Comptes Rendus Acad Gelfond 1952 s 9 Thue A Uber Annaherungswerte algebraischer Zahlen Journal fur die reine und angewandte Mathematik 1909 T 135 20 October S 284 305 DOI 10 1515 crll 1909 135 284 Siegel C L Approximation algebraischer Zahlen Mathematische Zeitschrift en journal 1921 Vol 10 no 3 4 20 October P 172 213 DOI 10 1007 BF01211608 Roth K F Rational approximations to algebraic numbers Mathematika en journal 1955 Vol 2 no 1 20 October P 1 20 DOI 10 1112 S0025579300000644 Mahler K On the approximation of p Proc Akad Wetensch Ser A 1953 T 56 20 October S 30 42 Hermite C Sur la fonction exponentielle C R Acad Sci Paris en 1873 T 77 20 October Lindemann F Ueber die Zahl p Mathematische Annalen 1882 T 20 2 20 October S 213 225 DOI 10 1007 BF01446522 Weierstrass K Zu Hrn Lindemann s Abhandlung Uber die Ludolph sche Zahl Sitzungber Konigl Preuss Akad Wissensch zu Berlin magazin 1885 Bd 2 pages 1067 1086 20 Oktober Schneider T Transzendenzuntersuchungen periodischer Funktionen I Transzendend von Potenzen Journal fur die reine und angewandte Mathematik magazin 1935 Bd 172 20 Oktober S 65 69 DOI 10 1515 crll 1935 172 65 Baker A Linear forms in the logarithms of algebraic numbers Cantor G Ueber eine Eigenschaft des Ingebriffes aller reelen algebraischen Zahlen Journal fur die reine und angewandte Mathematik magazin 1874 Bd 77 20 Oktober S 258 262 DOI 10 1515 crll 1874 77 258 Cantor G Ueber eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre Jahresbericht der Deutschen Mathematiker Vereinigung magazin 1891 Bd 1 20 Oktober S 75 78 Arhivovano z dzherela 7 travnya 2021 Procitovano 13 sichnya 2021 Kac M Stanislaw U Mathematics and Logic Fredering A Praeger 1968 S 13 Gray R Georg Cantor and Transcendental Numbers Amer Math Monthly journal 1994 Vol 101 no 9 20 October P 819 832 Arhivovano z dzherela 21 sichnya 2022 Procitovano 13 sichnya 2021 Zilber B Pseudo exponentiation on algebraically closed fields of characteristic zero Annals of Pure and Applied Logic journal 2005 Vol 132 no 1 20 October P 67 95 DOI 10 1016 j apal 2004 07 001 Matematicheskaya enciklopediya 1985 s 426 427 Hyun Seok Lee Literatura RedaguvatiGelfond A O Transcendentnye i algebraicheskie chisla M GITTL 1952 224 s Transcendentnoe chislo 1 M Sovetskaya Enciklopediya 1985 T 5 Arhivovano z dzherela 17 listopada 2020 Feldman N I Sedmaya problema Gilberta M Izd vo MGU 1982 312 s Hinchin A Ya 2 M GIFML 1960 Arhivovano z dzherela 2 listopada 2021 Baker Alan Transcendental Number Theory Cambridge University Press 1975 ISBN 0 521 20461 5 Baker Alan Wustholz Gisbert Logarithmic Forms and Diophantine Geometry New Mathematical Monographs 9 Cambridge University Press 2007 ISBN 978 0 521 88268 2 Lang Serge Introduction to Transcendental Numbers Addison Wesley 1966 ISBN 0 521 20461 5 Posilannya RedaguvatiZhukov A Algebraicheskie i transcendentnye chisla Arhiv originalu za 13 lipnya 2018 Procitovano 9 serpnya 2017 Feldman N Algebraicheskie i transcendentnye chisla Arhiv originalu za 19 veresnya 2004 Procitovano 9 serpnya 2017 Filaseta Michael The Beginning of Transcendental Numbers Arhivovano 16 lipnya 2012 u Wayback Machine angl Hyun Seok Lee On Transcendence Theory with little history new results and open problems Procitovano 9 serpnya 2017 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Teoriya transcendentnih chisel amp oldid 39323269