www.wikidata.uk-ua.nina.az

Тотожність Ейлера Ця стаття містить текст що не відповідає енциклопедичному стилю Будь ласка допоможіть удосконалити цю

Тотожність Ейлера

Ця стаття містить текст, що не відповідає енциклопедичному стилю. Будь ласка, допоможіть удосконалити цю статтю, погодивши стиль викладу зі стилістичними правилами Вікіпедії. Можливо, сторінка обговорення містить зауваження щодо потрібних змін. (листопад 2015)

У математичному аналізі тотожність Ейлера, що названа на честь Леонарда Ейлера, це рівняння

Тотожність Ейлера також називають «рівнянням Ейлера».

Значення тотожності Редагувати

Тотожність Ейлера є прекрасним зразком єдності математики. Як зауважив Елі Маор, вона поєднує три основні математичні операції, а саме додавання, множення, і піднесення до степеня і п'ять фундаментальних математичних констант, що належать до чотирьох класичних галузей математики:

Не дивно, що чимало хто знайшов у тотожності Ейлера містичні значення усіх зразків. («These five constants symbolize the four major branches of classical mathematics: arithmetic, represented by 0 and 1; algebra, by i; geometry, by π; and analysis by e. No wonder that many people have found in Euler's formula all kinds of mystic meanings.»)

Тотожність Ейлера викликала багато захоплених відгуків.

  • За словами відомого суднобудівника та математика академіка Олексія Миколайовича Крилова, у цій тотожності загадковим чином поєдналися числа, що символізують арифметику (0 та 1), алгебру (i), аналіз (e) та геометрію (π).
  • Карл Фрідріх Ґаусс говорив, що якщо ця формула не є відразу очевидна для студента, то він ніколи не перетвориться на першокласного математика.
  • За опитуванням читачів журналу Physics World, що проходило у 2004 році, тотожність Ейлера (разом з рівняннями Максвелла) була названа «Найвеличнішим рівнянням історії»
  • За думкою Констанс Рід[en], ця тотожність є «найзнаменитішою формулою всієї математики».

Після доведення тотожності Ейлера в лекції, Бенджамін Пірс, відомий математик XIX сторіччя і професор Гарвардського університету, сказав, «Це абсолютно парадоксально; ми не можемо зрозуміти це, і ми не знаємо, що це означає, але ми довели це, і тому знаємо, що це повинно бути істиною.»

Доведення Редагувати

Демонстрація формули Ейлера у комплексній площині

Тотожність Ейлера випливає із формули Ейлера, що має вид:

для будь-якого дійсного числа . Зокрема, якщо

Оскільки

що і доводить тотожність

Загальнішим чином, можна довести, що

Тотожність Ейлера відповідає

Примітки Редагувати

  1. Энциклопедия для детей. Т.11. Математика / Глав. Ред. М. Д. Аксёнова. —М.: Аванта+, 2000. -688 с.: ил., стр. 212
  2. Derbyshire p.210.
  3. Crease, 2004.
  4. Reid, From Zero to Infinity.
  5. Maor p.160 and Kasner & Newman p.103–104.

Посилання Редагувати

  • Crease, Robert P., «The greatest equations ever», PhysicsWeb, October 2004.
  • Derbyshire, J. Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics (New York: Penguin, 2004).
  • Kasner, E., and Newman, J., Mathematics and the Imagination (Bell and Sons, 1949).
  • Maor, Eli, e: The Story of a number (Princeton University Press, 1998), ISBN 0-691-05854-7
  • Reid, Constance, From Zero to Infinity (Mathematical Association of America, various editions).


Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Cya stattya mistit tekst sho ne vidpovidaye enciklopedichnomu stilyu Bud laska dopomozhit udoskonaliti cyu stattyu pogodivshi stil vikladu zi stilistichnimi pravilami Vikipediyi Mozhlivo storinka obgovorennya mistit zauvazhennya shodo potribnih zmin listopad 2015 U matematichnomu analizi totozhnist Ejlera sho nazvana na chest Leonarda Ejlera ce rivnyannya e i p 1 0 displaystyle e i pi 1 0 de e displaystyle e ce chislo Ejlera osnova naturalnih logarifmiv i displaystyle i ce uyavna odinicya kompleksne chislo kvadrat yakogo dorivnyuye 1 displaystyle 1 p displaystyle pi ce chislo pi vidnoshennya dovzhini kola kruga do jogo diametra Totozhnist Ejlera takozh nazivayut rivnyannyam Ejlera Zmist 1 Znachennya totozhnosti 2 Dovedennya 3 Primitki 4 PosilannyaZnachennya totozhnosti RedaguvatiTotozhnist Ejlera ye prekrasnim zrazkom yednosti matematiki Yak zauvazhiv Eli Maor vona poyednuye tri osnovni matematichni operaciyi a same dodavannya mnozhennya i pidnesennya do stepenya i p yat fundamentalnih matematichnih konstant sho nalezhat do chotiroh klasichnih galuzej matematiki chislo 0 i chislo 1 Arifmetika chislo i displaystyle i nbsp uyavnu odinicyu kompleksne chislo sho zadovilnyaye i 2 1 displaystyle i 2 1 nbsp Algebra chislo p displaystyle pi nbsp Geometriya chislo e displaystyle e nbsp osnova naturalnih logarifmiv Analiz Ne divno sho chimalo hto znajshov u totozhnosti Ejlera mistichni znachennya usih zrazkiv These five constants symbolize the four major branches of classical mathematics arithmetic represented by 0 and 1 algebra by i geometry by p and analysis by e No wonder that many people have found in Euler s formula all kinds of mystic meanings Totozhnist Ejlera viklikala bagato zahoplenih vidgukiv Za slovami vidomogo sudnobudivnika ta matematika akademika Oleksiya Mikolajovicha Krilova u cij totozhnosti zagadkovim chinom poyednalisya chisla sho simvolizuyut arifmetiku 0 ta 1 algebru i analiz e ta geometriyu p 1 Karl Fridrih Gauss govoriv sho yaksho cya formula ne ye vidrazu ochevidna dlya studenta to vin nikoli ne peretvoritsya na pershoklasnogo matematika 2 Za opituvannyam chitachiv zhurnalu Physics World sho prohodilo u 2004 roci totozhnist Ejlera razom z rivnyannyami Maksvella bula nazvana Najvelichnishim rivnyannyam istoriyi 3 Za dumkoyu Konstans Rid en cya totozhnist ye najznamenitishoyu formuloyu vsiyeyi matematiki 4 Pislya dovedennya totozhnosti Ejlera v lekciyi Bendzhamin Pirs vidomij matematik XIX storichchya i profesor Garvardskogo universitetu skazav Ce absolyutno paradoksalno mi ne mozhemo zrozumiti ce i mi ne znayemo sho ce oznachaye ale mi doveli ce i tomu znayemo sho ce povinno buti istinoyu 5 Dovedennya Redaguvati nbsp Demonstraciya formuli Ejlera u kompleksnij ploshiniTotozhnist Ejlera viplivaye iz formuli Ejlera sho maye vid e i x cos x i sin x displaystyle e ix cos x i sin x nbsp dlya bud yakogo dijsnogo chisla x displaystyle x nbsp Zokrema yaksho x p displaystyle x pi nbsp to e i p cos p i sin p displaystyle e i pi cos pi i sin pi nbsp Oskilki cos p 1 displaystyle cos pi 1 nbsp ta sin p 0 displaystyle sin pi 0 nbsp otrimuyemo e i p 1 displaystyle e i pi 1 nbsp sho i dovodit totozhnist e i p 1 0 displaystyle e i pi 1 0 nbsp Zagalnishim chinom mozhna dovesti sho k 0 n 1 e 2 p i k n 0 displaystyle sum k 0 n 1 e 2 pi ik n 0 nbsp Totozhnist Ejlera vidpovidaye n 2 displaystyle n 2 nbsp Primitki Redaguvati Enciklopediya dlya detej T 11 Matematika Glav Red M D Aksyonova M Avanta 2000 688 s il str 212 Derbyshire p 210 Crease 2004 Reid From Zero to Infinity Maor p 160 and Kasner amp Newman p 103 104 Posilannya RedaguvatiCrease Robert P The greatest equations ever PhysicsWeb October 2004 Derbyshire J Prime Obsession Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics New York Penguin 2004 Kasner E and Newman J Mathematics and the Imagination Bell and Sons 1949 Maor Eli e The Story of a number Princeton University Press 1998 ISBN 0 691 05854 7 Reid Constance From Zero to Infinity Mathematical Association of America various editions nbsp Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Totozhnist Ejlera amp oldid 40462636